逻辑代数基础-第1讲.ppt

逻辑代数基础及逻辑门电路 第二章 逻辑代数基础 逻辑代数基础及逻辑门电路 2.1逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换 2.4 逻辑函数的化简 逻辑代数基础及逻辑门电路 1逻辑指事物的前因和后果之间 所遵循的规律。 2.1 逻辑代数的基本概念 2.1.1 基本概念 在数字电路中，我们要研究的是电路 的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电 路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。 逻辑代数基础及逻辑门电路 2.逻辑代数用于描述客观事物逻辑关系的数学工具 ，又称布尔代数 (Boole Algebra)或开关代数。 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数 称逻辑函数，变量称逻辑变量。 逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个， 通常用 1和 0 表示。 与普通代数比较 用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处 相异处 运算规律有很多不同。 2.1 逻辑代数的基本概念 2.1.1 基本概念 逻辑代数基础及逻辑门电路 3逻辑状态逻辑代数中的 1 和 0 不表示数 量大小，仅表示两种相反的状态。 例如： 开关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1 断开为 0 截止为 0 低为 0 4.基本逻辑函数及运算 基本逻辑函数 与逻辑 或逻辑 非逻辑 与运算(逻辑乘) 或运算(逻辑加) 非运算(逻辑非) 逻辑代数基础及逻辑门电路 1、“与”运算 若决定某一事件的所有条件都成立，这个事件就 发生，这样的逻辑关系称为逻辑“与”或逻辑“乘 ”。 举例：灯L亮的条件是开关A、B都闭合 2.1.2 逻辑运算 “与”的运算法则 00=0 01=0 10=0 11=1 A0=0 A1=A AA=A 有0出0，全1出1 逻辑代数基础及逻辑门电路 2、“或”逻辑 当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一 个以上条件具备，这件事情就会发生。我们把这种 因果关系称为或逻辑。 举例：灯L亮的条件是开关A、B只要一个闭合 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 A+0=A A+1=1 A+A=A “或”门的运算法则 有1出1，全0出0 逻辑代数基础及逻辑门电路 3、“非”逻辑 某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是 对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件 不具备时事情才发生。 举例：灯L亮的条件是开关A断开。 “非”门的运算法则： 逻辑函数表示： 2.1.3 逻辑函数 逻辑函数的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0 和1两个值。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。 （3）遵守“先括号，再非，然后乘(与)，最 后加（或）”的运算顺序 两个逻辑函数相等的条件： 对应变量A1、A2An的任一组取 值，F1和F2的值都相同。 记作F1=F2 (1)变量相同； (2)真值表相同或卡诺图相同 逻辑代数基础及逻辑门电路 逻辑常量运算公式 逻辑变量与常量的运算公式 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 0 1 律重迭律 互补律 还原律 0 + A = A 1 + A = 1 1 A = A 0 A = 0 A + A = A A A = A 1、公理系统 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则 逻辑代数基础及逻辑门电路 普通代数没有！ 利用真值表 逻辑等式的 证明方法 利用基本公式和基本定律 (一) 与普通代数相似的定律 交换律 A + B = B + A A B = B A 结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C) 分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 2、基本定理 逻辑代数基础及逻辑门电路 11 11 11 11 11 00 解： 真值表法 公式法右式 = (A + B) (A + C) = AA + AC + BA+ BC = A + AC + AB + BC = A (1 + C + B) + BC = A 1 +BC 00 00 A B C A + BC (A + B) (A + C) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 例 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C) 逻辑代数基础及逻辑门电路 (二) 有关变量和常量的定律 0，1律 A 1 = A A 0 = 0 A +1 = A 互补律 (三) 逻辑代数的特殊定律 重迭律 A A = A A + A = A 否定律 反演律 (德摩根 定律 ） 逻辑代数基础及逻辑门电路 公式1 证明： 公式2 证明： A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A 公式3 证明：= A + B 公式4 证明： 3、逻辑代数中常用公式 逻辑代数基础及逻辑门电路 (一) 代入规则 将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替 代，等式仍然成立。 A A A A均用 代替 A均用 代替 B均用C代替 利用代入规则能扩展基本定律的应用。 4、逻辑代数中常用规则 逻辑代数基础及逻辑门电路 (二) 反演规则 变换时： (1) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。 对任一个逻辑函数式 ，将“”换成“+”， “+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0” ，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原 逻辑函数的反函数。 注意 逻辑代数基础及逻辑门电路 举例： 求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演 规则或摩根定律。 原运算次序为 原函数 反函数 分析： 结论 逻辑代数基础及逻辑门电路 (三) 对偶规则 对任一个逻辑函数式 Y，将“”换成“+”，“+”换成 “”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数 式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 注意变换时注意：(1) 变量不改变 (2) 不能改变原来的运算顺序 A (A + B) = A A + AB = A 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 23 2.3.1 2.3.1 逻辑函数的建立及表示方法逻辑函数的建立及表示方法 逻辑函数描述了某种逻辑关系。 常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。 1. 真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对 应输出逻辑函数值的表格称真值表。 列 真 值 表 方 法 (1)按 n 位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。 (2) 分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格。 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换 24 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1111 0111 1011 0011 1101 0101 1001 0001 1110 0110 1010 0010 1100 0100 1000 0000 YDCBA 输出变量 输 入 变 量 4 个输入 变量有 24 = 16 种取 值组合。 25 2. 逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 (1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替， 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。 真值表 逻辑式 例如 ABC 1000 1111 0011 0101 0001 0010 0100 YCBA 0110 1000 1111 逻辑式为 26 3. 逻辑图 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。 由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 根据逻辑式画逻辑图的方法: 将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。 例如 画 的逻辑图 反变量用非门实现 与项用与门实现 相加项用或门实现 27 例 图示为控制楼道照明的开关电路。 两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上 和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后 关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下 楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻 辑电路。 (1) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表 1 1 YA B 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 (2) 根据真值表写出逻辑式 解： 方法： 找出输入变量和输出函数， 对它们的取值作出逻辑规定， 然后根据逻辑关系列出真值表。 设开关 A、B合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表 示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时 为 0 状态。则可列出真值表为 28 (3) 画逻辑图 与或表达式(可用 2 个非门、 2 个与门和 1 个或门实现) 异或非表达式(可用 1 个异 或门和 1 个非门实现) =B 设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。 29 卡诺图主要用于化简逻辑式。 真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻 辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。 逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功 能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻 辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。 逻辑图是分析和安装实际电路的依据。 30 真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换 (1)按 n 位二进制数递增 的方式列出输入变量的各 种取值组合。 (2)分别求出各种组合对 应的输出逻辑值填入表格 。 逻辑式 真值表 输入输出 ABCF 0000 0011 0100 0111 1001 1011 1100 1110 31 真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换 (1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，取值为 0 的用 反变量代替，则得到一系列与项 。 (3)将这些与项相加即得逻辑式 。 真值表 逻辑式 实用中通常先由真值表画卡诺图，然后 应用卡诺图化简法写出简化表达式。 输入输出 A B CF 0 000 0 011 0 100 0 111 1 001 1 011 1 100 1 110 32 真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换 (1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。 (2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。 (3)根据与或式填图。 逻辑式 卡诺图 根据电路逐级写出相应逻辑运算。 将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。 逻辑式 逻辑图 逻辑图 逻辑式 33 (1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。 (2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。 (3)根据与或式填图。 逻辑式 卡诺图 根据电路逐级写出相应逻辑运算。 将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。 逻辑式 逻辑图 逻辑图 逻辑式 2.逻辑函数表达式的基本形式 多个与项由或符号“+”连接而成的表达 式。 （2）“或-与”表达式 “和之积” 多个或项由与符号“”连接而成的表达式。 （1）“与-或”表达式 “积之和” 对于n个变量，如果某乘积项含有n个变量 ,每个变量都以原变量或反变量的形式出现, 且仅出现一次,则这个乘积项称为最小项 3.逻辑函数表达式的标准形式 （1）最小项表达式(最小项之和) n个变量一共有2n个最小项。 比如：3变量 有8个最小项 比如 ： 最小项记为mi 确定下标i方法： 首先确定变量的顺 序（A、B、C)； 将与项中的原变量 记为1、反变量记 为0，并按顺序排 列成二进制数； 确定与二进制数对 应的十进制，就是 该最小项的下标i 。 简记为 记为：F（A,B,C）=m2 + m3 + m6 + m7 010011110111 2367 最小项是组成逻辑函数的基本单元 由最小项组成的与-或表达式称为最 小项之和（简称为最小项表达式）。 任何逻辑函数都可以表示成为最小项 之和的形式，并且这种形式是唯一的 。就是说，一个逻辑函数有且只有一 个最小项表达式。 F（A,B,C）=m1 + m3 + m4 + m5=m(1,3,4,5) 先将逻辑表达式转换成“与-或”表达式。 再将“与-或”表达式中非最小项的“与”项添 加变量扩展成最小项。 逻辑表达式最小项表达式代数法 A B CF 0 0 00 0 0 11 0 1 00 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 00 1 1 10 先根据“逻辑表达式真值表” 方法，写出逻辑表达式的真值表 。 根据“真值表逻辑表达式”方 法，给出逻辑表达式，该表达式 即为最小项表达式 逻辑表达式最小项表达式真值表法 F（A,B,C）=m1 + m3 + m4 + m5=m(1,3,4,5) 最小项性质: n个变量的F有2n个最小项；且变量的每组取 值，只能使一个最小项的值为1，其它均为0 。 任意两个最小项之积恒为0， 记作：mimj=0（ij）； 所有最小项之和恒为1， 记作：mi=1（i=0，1，2，2n-1） n个变量的最小项有n个相邻项。 相邻是指：两个最小项中除一个变量相反外， 其它都相同，这两个最小项就是相邻。 相邻项相加可以消去互反的变量。 逻辑相邻 逻辑相邻的项可以 合并，消去一个变量 对于n个变量，如果某或项含有n个变量, 每个变量都以原变量或反变量的形式出现, 且仅出现一次,则这个或项称为最大项。 由最大项组成的或-与表达式称为最大项 之积（简称为最大项表达式）。 任何逻辑函数都可以表示成为最大项之积 的形式，并且这种形式是唯一的。就是说， 一个逻辑函数有且只有一个最大项表达式。 （2）最大项表达式(最大项之积) 最大项记为Mi 确定下标i方法： 首先确定变量的顺序 （A、B、C)； 将或项中的原变量记 为0、反变量记为1 ( 与最小项相反),并按 顺序排成二进制数； 确定与二进制数对应 的十进制，就是该最 大项的下标i。 记为：F（A,B,C）=M0 M1 M4 M5 101100001000 5410 简记为：F（A,B,C）=M(0,1,4,5) 最大项性质: n个变量的F有2n个最大项；且变量的每组 取值，只能使一个最大项的值为0，其它均 为1。 任意两个最大项之和恒为1， 记作：Mi+Mj=1