[理学]第7章曲线和曲面.ppt

计算机图形学基础 第7章 曲线和曲面 本章主要内容 曲线曲面基础 数学描述的发展，表示要求 参数化表示的优点 插值与拟合 连续性条件 三次样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 NURBS曲线 我们需要曲线曲面? Geri Geris model Geris game 3D艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾 第7章 曲线和曲面 7.1 背景 离散点近似决定曲线曲面。 计算机辅助几何设计（CAGD，Computer Aided Geometric Design） 曲线曲面基础 数学描述的发展，表示要求 参数化表示的优点 插值与拟合 连续性条件 7.2 三次样条曲线/曲面 7.3 Bezier曲线/曲面 7.4 B样条曲线/曲面 7.5 NURBS曲线 参数曲线基础 自由曲线 一.概述 曲线：规则曲线可用曲线方程式表示的曲线。 不规则曲线不能确切给出描述整个曲线的方 程，而是由从实际测量中得到的一系列离散数据点采用曲 线拟合的方法来逼近的。这类曲线也称之为自由曲线。 曲线的表示方法： 1. 直角坐标曲线 显式 y = f(x) 隐式 f(x,y) = 0 2. 极坐标曲线 =() 3. 参数坐标曲线 x = x(t); y = y(t) 参变量的规范 化 曲线的绘制方法：用很多短直线段来逼近曲线。曲线上 点的数量取多少，直线段取多长，取决于绘制曲线的精度 要求和图形输出设备的精度。 曲线曲面的表示形式 显式表示 z = f (x, y) 隐式表示 f (x, y, z) = 0 参数表示 x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (x, y) 常用生成方法： 插值生成的曲线经过每个数据点 ，如：多项式插值（常见三次多项式 ）、样条函数插值，Hermite曲线等 ； 逼近生成的曲线靠近每个数据点 （不一定通过每个点），如：Bezier 曲线，B样条曲线 7.1.2 拟合 插值和逼近 型值点指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形 状的数据点。 控制点指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身 不一定通过控制点。 插值和逼近 曲线曲面设计中的两种不同方法。 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型，严格通过已 知的每一个型值点。 逼近设计方法建立的曲线曲面数学模型只是近似地接近已 知的型值点。 拟合：是指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼 近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。 7.1.2 插值与拟合 插值 拟合 Example control points. Joining the control points gives the control polygon. P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 插值与拟合 插值 Interpolating (through the control points). 拟合 Approximating (near the control points). P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 通过移动控制点形成不同的曲线 Edit curves by moving control points (click and drag): Original curve. Curve after P2 is moved. 实现交互控制，生成曲线: 画控制点； 看看曲线的生成结果； 调整控制点直到最佳。 P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 7.1.3曲线曲面数学描述的发展 1963年，波音，将曲线曲面表示为参数的矢函数 方法（参数三次曲线） 1964，Coons曲面 1964，样条函数 1971，Bezier控制多边形定义曲线（法，雷诺汽车） 1972，De Boor，B样条标准算法 80年代，非有理B样条（NURBS） 7.1.4曲线曲面的表示要求 在计算机内表示曲 线曲面，其形状的 数学描述应保留产 品的形状的尽可能 多的性质。 满足要求： 惟一性 几何不变性 易于定界 统一性 易于光滑连接 几何直观 惟一性 形状定义 由已给定的有限信息，决定的形状是 惟一的。（传统上采用：模线样板法 是按模拟量传递，不能保证形状定义 的惟一性） 几何不变性 当用有限的信息决定图形时，如4点决 定一条3次曲线，当这些点的相对位置 固定后，形状也就固定的，不应该随 坐标系更改而改变。 如果采用的数学方法不具有几何不变 性，则不同测量坐标系测得的同一组 数据点，会得到不同的拟合曲线。 几何不变性 易于定界 工程中，曲线曲面的形状总是有界的 ，形状的数学描述应该易于定界。 可用：参数方程表示 统一性 能统一表示各种形状及处理各种情况 （包括特殊情况），如曲线描述，用 统一的形式表平面曲线、空间曲线。 统一性的高要求是，用统一的数学形 式既能表示自由型曲线曲面，也能表 示初等解析曲线曲面，建立统一数据 库，便于形状信息的传递和产品数据 交换。 易于光滑连接 单一的曲线段或曲面片难以表达复杂 的形状，需要将若干线段连接成为光 滑曲线（曲面片连接为组合曲面）。 其连接必须是光滑的。 几何直观 几何意义明显 7.1.4曲线和曲面的表示 有一空间点A，从原点O到A点的连线表示一 个矢量，此矢量称为位置矢量。 空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空 间曲线是空间动点运动的轨迹，也就是空间 矢量端点运动形成的矢端曲线，其矢量方程 为： 曲线曲面表示方法： 非参数形式 f(x,y,z)=0 参数形式 p(t)=(x(t),y(t),z(t) 规范化区间： 若t的区间a,b t=(t-a)/(b-a)0,1 7.1.4曲线和曲面的表示 参数化表示的优点 点动成线（t可看为时间，曲线成为随时 间而动的轨迹） 几何不变性 可以表示无穷大斜率 用规格化参数变量 此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为： 规范化区间 若t的区间：a,b，如果把它转换为0,1 ，如何做？ 方法（相似性，比例不变）： （例：区间5，8，通过仿射变换到区间 0,1 ） 解： t=(t-a)/(b-a) , 则 t 0,1 参数表示的优点 1)有更大的自由度控制曲线曲面的形状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换 ，而不需要对曲线曲面的每个数据点进行几 何变换； 3) 可以处理斜率无穷大的情况； 4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的 ，对变量个数不限，便于将低维空间中的曲 线曲面扩展到高维空间中； 5)便于采用规格化的参数变量 如：区间 a,b （如区间5，8）可由区间 0,1通过 仿射变换得到 。 直线上的插值点可以下两式表示 变换为： 6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算； 7.1.5连续性条件 多条曲线首尾相连形成一条曲线，要 求：连接处具有合乎要求的连续性。 参数连续性 用 C 阶数表示 几何连续性 用 G 阶数表示 两曲线段的连接 Examples: These two curves do not fit together at all. These two curves fit together, but not smoothly. These two curves fit together smoothly. 曲线段间的连续性定义 参数连续性 : C0连续（0阶参数连续） 前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。 C1连续（一阶参数连续） 连接点处 一阶导数 相同。 C2连续（二阶参数连续） 连接点处一阶导数和二阶导数 相同。 曲线段间的连续性定义 几何连续性 : G0连续（0阶几何连续） 与C0连续相同。 G1连续（一阶几何连续） 一阶导数在相邻段的交点成比例，（切向量不 一定相等）。 得出结论： C1连续，则G1连续，反之不然 G2连续（二阶几何连续） 两相邻曲线段的连接点处一阶导数和二阶导数 均成比例（此时，两曲线段在交点出的曲率相等 ）。 参数连续性与几何连续性的区别 参数连续性 传统意义上的、严格的连续 几何连续性 只需限定两个曲线段在交点处的参数导数 成比例，不必完成相等，是一种更直观、 易于交互控制的连续性。 样条的插值 样条的插值 一般：进行分段插值（三次曲线，不高不低 ） n+1个控制点将线段分n段，每段有4个待定系数 。 通过线段交点处，设置边界条件求出。 7.2.1 曲线的参数空间： 笛卡儿坐标x,y,z定义的三维空间，其参数空间 为(x,t)、(y,t)、(z,t)，能把任意一条参数曲线 分解成参数空间的三个分量。 x(t)= y(t)= z(t)= t的取值范围：0，1 7.2 三次样条曲线与调和函数（基函数） 三次样条曲线推导 简化为： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （式一） p(t)= （写出 ） p0= , p1= , p0= , p1 = 。（式二） 将式二代入式一，解得： D = C= B= A= 将A、B、C、 D分别代入式一中,整理得: p(t)=( ？) p0+ ( ？ ) p1+ ( ？) p0+ ( ？) p1 (t 0，1 ) 三次样条曲线推导 简化为： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （式一） p(t)= （写出 ） p0= , p1= , p0= , p1 = 。（式二） 将式二代入式一，解得： D = p0 C= p0 B=-3p0 +3 p1 -2 p0 - p1 A= 2 p0 -2 p1 + p0 +p1 将A、B、C、 D分别代入式一中,整理得: p(t)=(2t3-3t2+1) p0+ (-2t3+3t2) p1+ (t3-2t2+t) p0+ (t3-t2) p1 F1(t) F2(t) F3(t) F4(t) (t 0，1 ) 调和函数（基函数） 开始出现于从代数形式到几何形式的推导中。 调和函数: F1(t) = 2t3-3t2+1 F2(t) = -2t3+3t2 F3(t) = t3-2t2+t F4(t) = t3-t2 参数三次（pc）样条曲线几何形式可以表示为： p(u)=(2u3-3u2+1) p0+ (-2u3+3u2) p1+ (u3-2u2+u) p0+ (u3-u2) p1 简化： p(u)=F1 (u) p0+ F2 (u) p1+ F3 (u) p0+ F4 (u) p1 表示该曲线：两点的坐标及其一阶导数+调和函数， u的取值范围：0，1 通常，用基函数和控制点信 息来决定一条该曲线 7.2.2 三次Hermite样条曲线 （插值方法） 上例产生的是： 三次Hermite（法国 数学家命名）样条曲 线： 几何意义： 由两个端点（Pk 、Pk+1 ）和端点切矢（Rk 、 Rk+1 ）来定义。 p(t)= Pk H0(t)+ Pk+1 H1(t)+ Rk H2(t)+ Rk +1 H3(t) p(0)= Pk p(1)= Pk+1 p (0)= Rk p (1)= Rk+1 7.2.2 三次Hermite样条曲线 （插值方法） Hermite样条曲线调和函数 H0(t)=2t3-3t2+1 H1(t)=-2t3+3t2 H2(t)=t3-2t2+t H3(t)=t3-t2 起点坐标 终点坐标 起点导数 终点导数 p(t)= Pk H0(t)+ Pk+1 H1(t)+ Rk H2(t)+ Rk +1 H3(t) Pk = p(0) Pk+1 = p(1) Rk = p (0) Rk+1 = p (1) 可以看作：是矢量 Pk 、 Pk+1 、 Rk 、 Rk +1 的加权和。 例：已知两个端点的坐标值及其 一阶导数，求其Hermite三次曲 线方程。 7.3 Bezier曲线 1Bezier曲线的定义 在给定空间个点0,1,n，称下列 参数曲线为次的Bezier曲线 其中， 是Bernstein基函数，即 一般称折线0,1,n为C(u)的控制多边形 ；0,1,n各点为C(u)的控制顶点。控制 多边形是C(u)的大致形状的勾画；C(u)是对 0,1,n的逼近。 图7.2 Bezier曲线 Bernstein基函数具有下列性质： 1） 非负性： 对于所有的i,n以及 均有 成立； 2） 规范性： 3) 对称性 4)递推性 5)端点性 6)最大性 在 处达到最大值； 7)可导性 8)升阶公式 9)分割性 10)积分性 常用Bezier曲线的矩阵表示 由Bezier曲线C(u)的定义，可推出常用的一次 、二次、三次Bezier曲线矩阵表示 一次、二次、三次 Bezier曲线 ： 一次Bezier 曲线 （写出一次Bezier曲线的展开参数方程 ） 矩阵表示为 这是一条从 到 的直线段 图7.3 一次Bezier 曲线 2）二次Bezier曲线 （写出二次Bezier曲线的展开参数方程 ，是一条抛物线） 矩阵表示为 图7.4 二次Bezier 曲线 3）三次Bezier曲线 （写出三次Bezier曲线的展开参数方程 ） 矩阵表示为： 图7.5 三次Bezier 曲线 Bezier 曲线 具体计算 p0 = x0,y0 p1 = x1,y1 p2 = x2,y2 p3 = x3,y3 p(t) = (1-t)3p0 + 3(1-t)2tp1 + 3(1-t)t2p2 + t3p3 转化为平面上的点，计算方法如下： x(t) = (1-t)3x0 + 3(1-t)2tx1 + 3(1-t)t2x2 + t3x3 y(t) = (1-t)3y0 + 3(1-t)2ty1 + 3(1-t)t2y2 + t3y3 p(t) = Si=03 Bi(t) pi Bi(t) = (3i) ti (1-t)3-i 三次Bezier曲线举例 已知4控制顶点坐标分别为： P0(1,1),P1(2,3),P2(4,3),P3(3,1) 分别计算当t=0,0.15,0.35,0.5,0.65,1 时 ，曲线上点的坐标值，并用光滑曲线连 接该6点。 先计算t=0.5时，曲线上点的坐标P(0.5)。 x= , y= 2Bezier曲线的性质 Bezier曲线C(u)具有以下性质： 1)端点性质 2) 端点切矢量 Bezier曲线在 点处与边 相切，在点 处 边 相切。 3) 端点的曲率：在C(u)两端点的曲率分别为 ： 这是因为 4）对称性 若保持原全部顶点的位置不变，只是把 次序颠倒过来，则新的Bezier曲线形状 不变，但方向相反。 5）几何不变性 Bezier曲线的位置和形状只与特征多边 形的顶点的位置有关，它不依赖坐标系 的选择。移动第i个控制顶点 将对曲线 上参数为 的那个点 处发生最 大的影响。 6）凸包性 因为是多边形各顶点0,1,n的加权平均， 而权因子 ，这反映在几何图形上有 两重含义： a. Bezier曲线C(u)位于其控制顶点0,1, n的凸包之内； b. Bezier曲线C(u)随着其控制多边形的变化而 变化； 凸包 7）变差缩减性 对于平面Bezier曲线C(u)，平面内任意条直 线与其交点的个数不多于该直线与其控制多 边形的交点个数。 8. Bezier曲线的顶点反求 已知Bezier曲线上给定参数处的位置矢量和 参数阶次，利用Bezier曲线定义和端点特性 ，可列出一组方程，求解方程组，就可得到 相应的控制顶点。 例子： 已知三次Bezier曲线上的四个点分别为 Q0(120,0),Q1(45,0), Q2(0,45),Q3(0,120), 它们对应的参数分别为0, 1/3, 2/3, 1,反求 三次Bezier曲线的控制顶点。 由已知条件可得方程组： Q0 = P0 (t=0) Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3) Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3) Q3 = P3 (t=1) Bezier曲线的端点性质得到的P0 、P0 ，其余两 式是由三次Bezier曲线的展开式： C(u)=(1-u)3P0+3u(1-u)2P1+3u2(1-u)P2+u3P3 分别将Q0、Q1、Q2、Q3的x、y坐标代入方程组 求解，可得： x0 = 120 x1= 35 x2 = 27.5 x3 = 0 y0 = 0 y1 = 27.5 y2 = 35 x3 = 120 作图： 4Bezier曲线的De Casteljau算法 给定三维空间点 以及一维标量 参数 ；假定： 并且 那么 即为Bezier 曲线上参数 处的点。 DeCasteljau (P,n,u,C) /* Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm */ /* Input : P,n,u */ /* Output: C (a point) */ for(i=0;i0， 是两个( )次基函数的线性组合； 计算一系列的基函数，需要指定节点矢量 和次数 ; 是一分段多项式；我们仅仅对其在区间 感兴趣； 称为第i 个节点区段；其长度可以为零； 若 则称上式中除以外的每一节点为的重 节点。 例如： 1)令 ， =2，如下计算0，1，2次的B-样条基函数： 可以发现， 仅仅在区间 内有值非零，这是 二次Bernstein多项式，因此，具有如下节点矢量 的B-样条实际上就是Bezier表达式 2 B样条基函数的性质: 1)局部性 即只在区间 中为正，在其它地方均取零值； 在给定节点区段 , 最多只有 个值为非 零： ， 2)非负负性 对于所有的 ， ；这是由下式决定的 ： 3） 规规范性 对任意节点区段 , 4）分段多项项式 在每一长度非零的区间 上都是次数不高于次的多项式。 5）连续连续 性 的求导公式如下： 在重节点处的连续阶 不低于 因此增加次数可提高连续性次数，增加重节点数将降低连 续性次数 ； 6）可微分性 3 B样样条曲线线定义义 为给定空间的个控制顶点， 是个节点矢量：称下列参数曲线 为次的B样条曲线，折线为B样条曲线的控制多边形。 ，控制顶点个数 , 节点个数 具有如下关系： 设 次数 图8.11 B样条曲线 4B样样条曲线线的性质质 ， ， , 位于控制顶点 所建立的凸包内； 图8.12 B样条曲线凸包性 1.严格的凸包性： 曲线严格位于控制多边的凸包内；如果 2.分段参数多项项式： 在每一区间上都是次数不高于 3.可微性或连续连续 性： 在每一曲线段内部是无限次可微的，在定义域内重复度为 的节点处则使 次可微或具有 4.几何不变变性： B样条曲线的形状和位置与坐标系的选取无关。 的多项式； 阶参数连续性； 5.局部可调调性： 只在区间中为正，在其它地方均取零值, 次的B样条曲线在修改时只被相邻的 而与其它顶点无关。当移动其中的一个顶点 定义在区 间 上那部分曲线，并不对整条曲线产生影响。 因为 使得 个顶点控制， 时，只影响到 6.近似性： 控制多边形是B样条曲线的线性近似，若进行节点插入或升阶 会更加近似；次数越低，B样条曲线越逼近控制顶点； 7.变变差缩缩减性： 设 n为B样条曲线的控制多边形，某平面与B 样条曲线的交点个数不多于该平面与其控制多边形的交 点个数 图8.13 B样条曲线的变差缩减性 例子： 给定控制顶点 ，定义一条三次B样条曲线。 ， ，各种关系如下确定： 这说明 1.节点矢量 2.曲线定义域 3.当定义域内不含重节点时，曲线段数=n p +1 =6; 4.当由四个控制顶点定义， 与其他顶点无关 5.移 动 时将至多影响到定义在 区间上那些曲线段的形状 6.在上的三次B样条基及计算定义在 上那段三次B样条曲线将涉及 共6个节点。 5重节点对B样条曲线的影响 节点的非均匀或非等距分布包含两层含义： (1)节点区间长度不等； (2)重节点，即节点区间长度为零。 1)重节点的重复度每增加1，曲线段数就减1，同时样条曲线 在该重节点处的可微性或参数连续阶降1； 2)当定义域端点节点重复度为时， 次B样条曲线的端点将与 相应的控制多边形的端顶点重合，并在端点处与控制多边形 相切； 3)当在曲线定义域内有重复度为 的节点时, 次B样条曲线插 值于相应的 控制多边顶点 4)当端节点重复度为 时 ， 次B样条曲线就具有和 次Bezier曲线相同的端点几何性质； 5) 次B样条曲线若在定义域内相邻两节点都具有重复度 ，可以生成定义在该节点区间上那段B样条曲线的Bezier点； 6)当端节点重复度为的 一个非零节点区间，则所定义的该 次B样条曲线就是 次Bezier曲线； 次B样条曲线的定义域仅有 6. 均匀B样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀等距分布，所有节点区间长度 为大于零的常数；可将定义在每个节点区间 上用整体参数 表示的B样条基变换成用局部参数 表示，只需做参数变换： 则B样条曲线可改写为矩阵形式： 将上式改写为矩阵形式： 其中1-3次系数矩阵 分别为： 则可以很容易写出三次均匀B样条曲线的方程： 7. 非均匀B样条曲线 非均匀B样条函数其节点参数沿参数轴的分布是不均匀的， 因而不同节点矢量形成的B样条函数各不相同，需要单独 计算，其计算量较大。在CAD/CAM软件中，对于开曲线包 括首末端点位置连续的闭曲线，都建议两端点取重复度 以使具有同次Bezier曲线的端点几何性质，便于人们 对曲线端点的行为有较好的控制，且通常将曲线的定义域 取成规范参数域，即 于是有 在这种情况下，非均匀B样条曲线可重新描述为： 设 为给定空间的 个点； 基函数是定义在非均匀节点矢量： 其中分别是具有重的节点； ) (在一般情况下，除非说明，我们假定 计算B样条上给定参数处的点需要以下三步： 1)找出u所在的节点区段； 2)计算非零的基函数； 3)计算非零基函数与相应控制顶点的乘积和； 例： 令 p =2, U = 0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5, 计算u =5/2处的B-样条曲线上的点； 因为 ,并且： 可得： 除了具有B样条曲线的基本性质外，还具有如下的特殊性： 1) 若 且 则 是一Bezier曲线； 2) 3)沿着曲线由 u=0 到 u=1移动时， 如同一开关；当u 移过一个节点时， 关闭，下一段打开； 4)可利用多重节点构造复杂的曲线： 如图所示是一二次曲线，U=0，0，0，1/4，1/2，3/4，1，1，1,P2=P3， C(1/2)=P2=P3, C(1/4)到C(1/2)和C（1/2）到C（3/4）分别是两段直线。 8. 非均匀B样条基的计算 假定节点矢量为 ，次数为 我们只需计算非零的 个基函数就可以了。 int FindSpan(n, p, u, U) /* Determine the knot span index */ /* Input : n, p, u, U */ /* Return : the knot span index */ if(u=Un+1) return n ; /*special case*/ low = p ; high = n+1 ; /*Do binary search*/ mid = (low + high)/2 ; while(u = Umid+1) if (u 0，若 则 NURBS曲面在控制顶点 ， 构成的凸包内； d. 局部性： 当 变化时，仅仅影响 矩形区域所对应的曲面 部分； e. 一般性 非有理B样条和Bezier、有理Bezier曲 面是NURBS曲面的特殊情况； f. 可微分性： 在节点处 具有 次连续， 为节点重复度； g.不具有变差递减性： 图8.18 NURBS曲面 利用齐次坐标可将NURBS曲面表示如下： 例子： 令 并且： 计算曲面在 处的值； 因为 ，可得： 那么： 得到 SurfacePoint(n, p, U, m, q, V, Pw, u, v, S) /* Compute point on rational B-Spline surface */ /* Input: n, p, U, m, q, V, Pw, u, v */ /* Output: S */ uspan = FindSpan(n, p, u, U) ; BasicFuns(uspan, u, p, U, Nu) ; vspan = FindSpan(m, q, v, V) ; BasicFuns(vspan, v, q, V, Nv) ; for(j=0; j=q; j+) tempj = 0.0 ; for(k = 0; k=p ; k+) tempj=tempj+Nuk* Pwuspan-p+kvspan q +1 ; Sw = 0.0 ; for(j=0; j=q; j+) Sw = Sw + Nvj*tempj ; S = Sw / w ; 2 NURBS的优点： 1） 对标准的解析形状和自由曲线、曲面 提供了统一的数学表示； 2） 可通过控制顶点和权因子来灵活地改 变形状； 3） 对插