定积分的几何应用(新).ppt

5.5 定积分在几何中的应用 一、 定积分的微元法 二、 平面图形的面积 三、 旋转体的体积 用定积分表示一个量，如几何量、 物理量或其 他的量，一般分四步考虑， 我们来回顾一下解决曲 边梯形面积的过程. 第一步分割： 将区间 a, b 任意分为 n 个子区 间 xi - 1, xi (i = 1, 2, , n)， 其中 x0 = a，xn = b . 一、 定积分的微元法 第三步求和： 曲边梯形面积 A 第四步取极限： n ， = maxxi 0， 第二步取近似：在子区间 xi-1, xi 上， 任取一点 xi ， 作小曲边梯形面积 Ai 的近似值， Ai f (xi)xi .(i=1,2,n) 如果把第二步中的 xi 用 x 替代， 中的被积分式 f (x)dx 具有类 同的形式， 第二步取近似时其形式 f(xi)xi ，与第四步 积分 xi 用 dx 替代， 那么它就是第四步积分中的被积分 式， 第一步选取积分变量，例如选取 x， 并确定 其范围，例如 x a, b， 在其上任取一个子区间 记作 x, x + dx. 第二步取所求量 I 在子区间 x, x + dx 上的部 分量 I 的近似值 I f (x)dx， 第三步取定积分 基于此，我们把上述四步简化为三步： 几点说明： (1) 取近似值时， 得到的 是形如f (x)dx 的近似值， 并且要求 I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量， 关于 后一个要求在实际问题中常 常能满足. (2) 满足 (1) 的要求后，f (x)dx 是所求量 I 的微分， 所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即 dI = f (x)dx ， dI 称为量 I 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微 元法. x aOxx + dx y = f (x) y 计算由区间a, b上的两条连续曲线 以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。 由微元法，取x为积分变量， 其变化范围为区间a, b，在 区间a, b的任意一个小区间 x, x+dx上，相应的面积可 以用 x点处的函数值 二、 平面图形的面积 a y xbO x y = f (x) x+dx y = g(x) 为高 所以，所求平面图形的面积A为 以dx为底的矩形面积近似代替（如图），从 而得到面积元素 类似地可得，由区间c,d上的两条连续曲线 与 ，（ 当 ） 以及两直线 与 所围成的平面图 形的面积为 x o y c d y y+dy 例1 计算由曲线 及直线 所围 成的平面图形的面积。 解：作出所围成的平面图形 取x为积分变量，其变化区间 为0，1。于是，平面图形的面积 例 2 求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x 4 所 围成的平面图形的面积. 解 作草图，如图， 求抛物线与直线的交点， 即解方程组 得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4). x A B -2 4 y y = x-4 y2 = 2x(8,4) (2,-2) 于是 如果选择 x 为积分变量， 那么它的表达式就比上式复杂. 如果选择 y 作积分变量，y - 2, 4， x y A B (8,4) (2,-2) -2 4 y y = x-4 y2 = 2x y + dy 任取一个 子区间 y, y + dy - 2, 4， 则在 y, y + dy 上 的面积微元是 例 3 求 y = sinx， y = cos x， 解 由上述公式知 所围成的平面图形的面积. 也可以先 作出该平面图 形的草图， 如图， 就不必用公式了. 则直接可得 y = cos x x O y = sinx 1 y 例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其 中 a 0，b 0. 解 因为图形关于 x 轴、y 轴对称， 所以椭圆面积是它在第 一象限部分的面积的四倍， 把 x = a cos t，y = b sin t 代入上述积分式中， 上、下限也要相应地变换 (满足积分变量 t ). 由定积 分的换元公式得 即 x y O 一个平面图形绕平面内的一条定直线旋 转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫 做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠 都是旋转体。 计算由区间a、b上的连续曲线 、 两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积。 三 、 旋转体的体积 由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间 a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径，以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替， 从而得到体积元素 所以，所求旋转 体的体积 类似地可得，由区间c,d上的连续曲线 , 两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为 例 5 求由椭圆 解 利用图形的对称性,只需考虑第一象限内 (一) 绕x轴：选取积分变量为 x 0, a ， 所围图形分别绕 x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积. 任取一个子区间 x, x + dx 0, a， 的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积， 所求体积为该体积的2倍。 在子区间x , x + dx 上旋转体的微元为： 于是 dV1= py2 dx， y xO x x+dx (二)绕y轴：选积分变量 y 0, b，任取 子区间 y , y + dy 0, b. 在子区间 y , y + dy上体积的微元为 则 y xO y +dy y x x 例 6 求 y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转 所成的旋转体体积. 解 选积分变量 x 0, 1 (两曲线的交点为 (0, 0) 和 (1, 1) ， 任取子区间x, x + dx 0, 1 ，其上的体积的微元为 x x+dx (1, 1)