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3.3 函数的单调性及其极值 一、函数单调性 二、函数的极值及其求法 返 回 在某区间的切线 轴正向角是锐角，则该曲线在该区间内是上升 如图（a）， 如果曲线 若这个角是钝角，则该曲线在该区 间内是下降的如图（b）。 返 回 猜想： 一、函数的单调性 返 回 . ,)()(),()( 单调减少 上在，则函数时，若当baxfxfbax02 = 证应用拉氏定理,得 返 回 例1 解 该函数的定义域为 返 回 返 回 例2 解 返 回 返 回 确定某个函数单调性的一般步骤是： （1）确定函数的定义域。 这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。 （3）确定在各个子区间内的符号，从而判断 返 回 例3证明不等式 证 返 回 （2）设 返 回 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 二、函数极值的定义 定义 返 回 极值是局部区域 上的最大或最值； 在间断点或端点 处不考虑极值。 三、函数极值的求法 定理2(必要条件) 定义 注意: 例如, 返 回 定理3(第一充分条件) (是极值点情形) (不是极值点情形) 返 回 (2)如果 ),( 00 xxxd- 有; 0)( xf ，则)(xf在 0 x 处取得极小值. (3)如果当 ),( 00 xxxd- 及 ),( 00 d+xxx 时, )( xf 符号相同,则)(xf在 0 x 处无极值. (1)如果 ),( 00 xxxd- 有; 0)( xf 而 ),( 00 d+xxx , 有0)( xf ，则)(xf在 处取得极大值. 0 x 运用定理3求函数极值的一般步骤是： （1）确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不 存在的点； （2）考虑上述点两侧导数的符号，确定极值点； （3）求出函数极值点处的函数值，得到极值。 返 回 例4 解 列表讨论 极大值 极小值 返 回 例5 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 返 回 定理4(第二充分条件) 证 同理，可证（2） 返 回 运用定理4求函数极值的一般步骤是： （1）确定定义域，并求出所给函数的全部驻点； （3）求出极值点处的函数值，得到极值。 （2）考虑函数的二阶导数在驻点处的符号，确 定极值点； 返 回 例6 解 （2）因为 所以有 返 回 （3）计算极值： 返 回 小 结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定 理的重要应用. 定理中的区间换成其它有
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