奥数训练——数的整除.doc

晨曦书院数的整除一、解答题（共15小题，满分0分）1判断能否被3，7，11，13整除2试说明形式的6位数一定能被11整除3在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？4求被179整除的最小和最大的四位数5一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？6首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？9五个数之和是308这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数10一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？11一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？12某六位数能被17和19整除，求13五位数能被36整除，求这样的五位数14是105的倍数，求xy15给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分0分）1判断能否被3，7，11，13整除考点：数的整除特征菁优网版权所有专题：整除性问题分析：首先判定能否被3整除，因为能同时被7、11、13整除的最小数为1001，把这个数写成100198666+766，探讨766能否被7，11，13整除即可解答：解：因为9+8+7+6+5+4+3+2=44，不能被3整除；因为98765432=100198666+766，766不能被7整除；766不能被11整除；766不能被13整除；所以不能被3，7，11，13整除点评：掌握能被3，7，11，13整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理2试说明形式的6位数一定能被11整除考点：数的整除特征菁优网版权所有专题：整除性问题分析：根据被11整除数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除由此说明即可解答：解：=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c=1001（100a+10b+c）因为11能整除1001，所以形式的6位数一定能被11整除点评：此题考查数的整除特征，掌握被11能出数的特征是解决问题的根本3在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？考点：数的整除特征菁优网版权所有专题：整除性问题分析：不妨设，添加的两个数字为ab，则8ab能被8整除，则ab可以是00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；且7能整除1998ab，也就是整除3ab，相当于整除20+ab，进一步验证得出答案即可解答：解：设添加的两个数字为ab，8能整除1998ab，则ab可以为：00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；7能整除1998ab=285427+6+ab，也就是7能整除6+ab，经过验证可知，ab=08，64所以所添的两个数字是08或64点评：此题考查能被7，8整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力4求被179整除的最小和最大的四位数考点：数的整除特征菁优网版权所有专题：整除性问题分析：先求出1000179的商，该商+1后，与179相乘的积即为所求的被179整除的最小四位数；先求出9999179的商，然后用商与179相乘的积即为所求的被179整除的最大四位数解答：解：1000179=5105，179（5+1）=1796=10749999179=55154，17955=9845；答：被179整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845点评：此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键5一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？考点：数字问题菁优网版权所有专题：数性的判断专题分析：五位数与各位数字和的差为7xxxx，已知万位为7，那么4x+7应是9的倍数，进一步解决问题解答：解：设原来的三位数是abcde，由题意得：10000a+1000b+100c+10d+e（a+b+c+d+e）=7xxxx，9999a+999b+99c+9d=7xxxx，因此，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，可得4x+7=9（或18，或27，36）经验证，只有4x+7=27符合题意，因此x=5点评：设原来的三位数是abcde，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，然后通过验证推出结果6首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？考点：数的整除特征菁优网版权所有专题：整除性问题分析：首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，且9+1+2+3+4+x=18+（x+1）要能被3整除，求得x=2或8，最小且不重复就是8解答：解：要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，则9+1+2+3+4+x=18+（x+1）需能被3整除，则x=2或8，2与前面的数字重复，所以x取8所以能被6整除最小数是9012348点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2或3整除数的特征是解决问题的关键7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？考点：分数和百分数应用题（多重条件）菁优网版权所有专题：分数百分数应用专题分析：根据“卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡（180%）=鸭（175%），所以鸡：鸭=（175%）：（180%）=5：4那么鸡有810（5+4）5=450（只），进而求出鸭的只数解答：解：（175%）：（180%）=5：4鸡有：810（5+4）5=81095=450（只）鸭有：810450=360（只）答：原来鸡养了450只，鸭养了360只点评：此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键8五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？考点：平均数问题；整除性质菁优网版权所有专题：平均数问题；整除性问题分析：123+345+567+789=1824，根据题意“已知五个数的平均数是9的倍数”所以得出这五个三位数的能既能被5整除，又能被9整除，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724，因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，然后分析当这五个数的和的个位是0或5时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论解答：解：123+345+567+789=1824，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，当个位是0时，2+7+9+0=18，能被9整除，所以这个数的和是2790，则要求的数为：27901824=966；当个位是5时，2+7+4+5=18，能被9整除，所以这个数的和是2745，则要求的数为：27451824=921；因为921966所以要求的三位是最大是966答：第5个数最大是966点评：此题考查了数的整除特征，明确能被5和9整除的数的特征，是解答此题的关键9五个数之和是308这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数考点：整除性质菁优网版权所有专题：整除性问题分析：先求出2、3、5、7、11的和，然后用308除以这五个数的和，求出商，然后用商分别乘2、3、5、7、11，即可求出这五个数解答：解：2+3+5+7+11=28，30828=11，所以这五个数分别是：211=22，311=33，511=55，711=77，1111=121；答：这五个数分别是22，33，55，77，121点评：求出2+3+5+7+11的和，然后用308除以28，求出商，是解答此题的关键10一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？考点：最大与最小菁优网版权所有专题：整除性问题分析：因为是193，3只能和13才出3所以这个数的最后一个数是3，又390=270，十位9070=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，9123=2093，百位还差1，只要找个数与1相乘得1相乘得1就可以了，1与1相乘得了，则这个数最小是123，即12391=11193解答：解：由于13=3，则这个数个位是3，390=270，十位9070=20，120=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，9123=2093，百位还差1，1与1相乘得1，则这个数最小是123，即12391=11193答：这个数最小是123点评：首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键11一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？考点：整除性质菁优网版权所有专题：整除性问题分析：先把33333分解质因数：33333=311111，能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个也就是11111111111111133333=3333366667；由此解答即可解答：解：能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个，即这个数最小是111111111111111；答：这个数最小是111111111111111点评：明确能被3和11111整除的数的特征，是解答此题的关键12某六位数能被17和19整除，求考点：整除性质；位值原则菁优网版权所有专题：整除性问题分析：根据六位数23xy22能被17和19整除，得出这个六位数能被1719=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案解答：解：因为六位数23xy22能被17和19整除，所以这个六位数能被1719=323整除，这个数最小为230022，故230022323=712.46，这个数最大为239922，故239922323=742256，因为2322能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为4，符合要求的只有714，724，734故试一下323714=230622，323724=233852，323734=237082，只有323714=230622符合要求，故原数为：230622；答：xy=06点评：此题主要考查了数的整除性，根据已知得出2322除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键13五位数能被36整除，求这样的五位数考点：整除性质；位值原则菁优网版权所有专题：整除性问题分析：36=49，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y可能是2或6，如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6；如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2；由此即可求出这个五位数解答：解：36=49，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y可能是2或6，如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6；如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2；所以这个五位数是26892或22896答：这个五位数是26892或22896点评：明确能被4和9整除的数的特征，是解答此题的关键14是105的倍数，求xy考点：数的整除特征菁优网版权所有专题：整除性问题分析：首先105=357，能被3整除则2+7+x+y能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，进一步验证是否能被7整除得出答案即可解答：解：因为105=357，则2+7+x+y能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，当y=0时，2+7+x+0能被3整除，则x=0，3，6，9；当y=5时，2+7+x+5能被3整除，则x=1，4，7；则能被7整除的只有200760所以x=6，y=0点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被3、5、7整除数的特征是解决问题的关键15给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除考点：整除性质；位值原则菁优网版权所有专题：整除性问题分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0x，y10，由此列举即可；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2x+y能被3整除，即要求2x+y能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）几个组合；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11因此即2xy2能被11整除，