小学数学教材内容的整合与改造.ppt

智慧笑话话 田彬 小学数学教材内容的整合与改造 广州市越秀区教师进修学校 张敏铃 2013.7.1 6 【案例1：统计统计 方法的优优化】 【案例1：统计统计 方法的优优化】 师师：信封里面有正方形、三角形、圆圆的三种图图形的“宝宝”，我报图报图 形的 名称，请请你们们用自己喜欢欢的方法进进行记录记录 。 生1： 生2：三角形、圆圆、圆圆、正方形、圆圆、正方形、正方形、三角形、三角 形、三角形 生3：、 生4： ： ： 师师：你喜欢欢哪种的记录记录 方法？ 生：我喜欢欢用“”来表示，我觉觉得这这种方法快。 师师：“”方法记录记录 既清楚又方便，今后我们们就用这这种方法。 假如你现现在 是学生，你 能感受到“” 的优优越性吗吗 ？ 优优点： 让让学生用自己喜欢欢的方法记录记录 ，而且还让还让 学生对对几 种方法进进行了比较较和选择选择 ；课课堂上出现现了文字、符号、 “”等各种低、高层层次的记录记录 方法，教师还师还 强调调了画“” 方法的简简捷。 思考： 学生进进行方法的比较仅较仅 凭借直观观感觉觉，外部形式进进 行的判断，没有进进行深入思考和亲亲身体验验，教师师小结语结语 强行让让学生认认同画“”的方法，这样这样 的教教材能让让学生心 悦诚诚服吗吗？ 【案例1：统计统计 方法的优优化】 师师：信封里装有正方形、三角形、圆圆的三种图图形“宝宝”，你想知道什么呀？ 生1：我想知道里面有几个三角形。 生2：我想知道里面有几个正方形。 生3：我想知道里面有正方形、三角形和圆圆各有多少个。 师师：用什么方法能知道正方形、三角形、圆圆各有多少个？ 生1：把信封里面的图图形倒出来，数数。 生2：把它们们分开一堆一堆的，再数一数就知道了。 师师：怎么数能又快又准？ （教师师意图图是启发发学生找一人报图报图 形名称，全班记录记录 。） 生1：我先数正方形有多少个？ 生2：我先数圆圆有多少个？ 学生拿出信封，小组组自己数开了，然后汇报汇报 个数。 师师：大家数得很准确，那么除了先分类类再数出个数的方法外，还还有什么方法？ 学生讨论许讨论许 久，仍然没有结结果。 师师：如果我来报报名称，你用“”来记录记录 会不会方便很多呢？ 学生在下面嘟囔嘟囔 ，不方便。 【案例1：统计统计 方法的优优化】 为为什么学 生不能理 解教师师的 意图图？ 优优点： 教师创设师创设 了信封里有三种图图宝宝，并让让学生说说出“想知道什 么”的思维发维发 散的问题问题 情境，给给学生创创造了充分的自由想象和思 考的空间间，学生很自然地就提出了想知道正方形、三角形和圆圆形 三种图图形宝宝有多少个的数学问题问题 。 问题问题 ： 当教师师提出“用什么方法能知道信封里面装的正方形、三角 形和圆圆各有多少个”的问题时问题时 ，学生立即想到了分类类数一数的方 法而对对于课课本上介绍绍的“一个学生报图报图 形名称其余学生进进行记录记录 ”的方法却想不出来。这这是因为为学生在一年级级上学期已经经学习过习过 分类类的相关知识识，对对不同的图图形混合在一起，学生可以自发发地 调动调动 已有的知识识和学习经验习经验 ，产产生先分类类再分别别逐类类地数出个 数的意识识。由于上面活动牵动牵 扯的时间时间 太长长，教师师只得自圆圆其说说 。 教师师播放课课件：三种图图形从“图图形屋”里飞飞出来。 师师：每种图图形各有多少个？你是怎么数出来的？ 生1：正方形有5个，圆圆有8个，是在心里数的。 生2：我用纸记录纸记录 的。 师师：你为为什么用纸记录纸记录 的？ 生2：我怕数不清楚。 师师：他这这种方法挺好的，不会数漏数错错。我们们一起用这这种方法 记记一记记，好吗吗？ 【案例1：统计统计 方法的优优化】 教师师第二次播放课课件，学生用纸记录纸记录 。 生1： 生2： 生3：三角形、圆圆、圆圆、正方形、圆圆、正方形、正方形、三角形、三角形、 三角形 生4： 丨丨丨丨 丨丨丨 丨丨丨 师师：你认为认为 哪种记录记录 方法慢？ 生齐齐答：第三种 师师：在其他方法中，你喜欢欢哪一种？为为什么？ 生5：我喜欢欢第二个，因为为他排得很整齐齐，第一种要好长时间长时间 才能数出来。 生6：第一种方法好，老师说师说 一个，他就画一个。 教师师第三次播放，教师师故意加快播放速度，结结果只有用生4 方法的同学记录记录 了下来。 师问刚师问刚 才生1、2，你们觉们觉 得自己的方法怎么样样？ 两生不语语。你愿意用生4的方法尝试尝试 一下吗吗？ 第四次播放，速度更快，生1和生2都记录记录 下来，他们兴奋们兴奋 地：记记下来了。 师师：如果不是用竖线竖线 代表图图形，还还可以用什么来代替？ 生：可以用点点。 思考：你认为认为 教师师怎样让样让 学生体会到统计统计 方法的优优越性？ 第1次播放：学生脑脑子直观记忆观记忆 ，不容易记记准，学生发现脑发现脑 子硬性记忆记忆 的弊端。 第2次播放：学生用笔记录记录 ，方法不同：图图形记录记录 、符号记记 录录、简简便记录记录 。效果迥异，有的学生没有完全记录记录 下来 。 第3次播放：学生发现记录发现记录 的优优劣，产产生反思，调调整方法。 第4次播放：统统一思想、统统一方法 教师师舍弃了课课本上“情境创设创设 ”、“一人报图报图 形名 称其他人记录记录 ”等非本质环节质环节 ，准确把握教学重难难点 经历统计经历统计 方法优优化的过过程，学生边边行边边思，经经 历历了记录记录 数据方法从无到有、从模糊到清晰、从复杂杂 到简简捷的数学“再创创造”过过程。 把握数学知识识的本质质是有效进进行教材内容的 整合与改造的核心 【案例2：平行四边边形面积积的导导入】 导导入设计设计 的指导导思想：通过创设过创设 情境，使学生在解决实际问题实际问题 中掌握“转转化”的 数学思想并体会数学的应应用价值值。 呈现现情境：王奶奶家门门前有一块块形状如下的地，如何求这块这块 地的面积积？ 没有学生举举手。 师师：大家开动动小脑脑筋，仔细观细观 察一下，左边边缺一个半圆圆，右边边又多了一个半圆圆，想想 办办法，移一移，使它变变成我们们学过过的图图形容易算？ 生：老师师，我知道了，把右边边的半个圆圆形移到左边边那个坑，就是一个长长方形了。 师师：哎哟哟，这这孩子真聪聪明，只要移动动一下，就能转转化成我们们学过过的图图形。（电脑动电脑动 画 显显示移动过动过 程） 一生把手举举得高高的，老师师高兴兴的说说：你还还有什么好方法？ 生：老师师，这这是一块块“地”，您怎么移动动啊？怎么“补补”啊？ 师师：这这不是真的“地”，我们现们现 在是在做“数学题题” 该该生明白了，坐下了。 李奶奶家门门前也有一块块地，是这这个形状的，怎么求它的面积积？ 没有学生举举手，这时这时 ，刚刚才“找茬”学生举举手了，老师师万般无奈之下请请他回答问题问题 。 生：老师师，这块这块 地坑坑洼洼的，您怎么“补补”啊？ 老师师一听就生气，说说道：不是说说了吗吗？这这不是真的“地”，我们们是在做“数学题题”。 问题：你怎么看这名“找茬”的学生的疑问？ 假如你正在上课，你怎么处理？ 第一次“怎么补补”的学生困惑： 没有弄清“什么是数学问题问题 ？”“什么是运用数学解决实际问题实际问题 ？” 即混淆了“数学问题问题 ”与“实际问题实际问题 ” 生活问题问题数学问题问题数学方法 转转化 解决 第二次“怎么补补”的学生困惑： 图图形的边边界是坑坑洼洼的，没有规则规则 的，用哪个凸补补哪个凹？ 积积分思想极限思想 研究学生、了解学生是整合和创创造教材的保障 把握数学知识识本质质 + 研究学生 = 有效整合与创创造教材 数学学科本质质 1.对对基本概念的理解 主要概念：十进进位值值制、单单位（份）、用字母表示数、四则则运算 、位置、变换变换 、平面图图形、统计观统计观 念 怎样样理解：为为什么要学习这习这 一概念？ 这这一概念的现实现实 原型是什么？ 这这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么？ 能否与其他概念建立“概念网络图络图 ” 案例：乘法的意义义、分数意义义、方程意义义、角的度量 【案例3：乘法的意义义之一】 活动动1：情境中引入乘法 师师：晚上，小明一家在吃苹果，他们们家有爸爸、妈妈妈妈 、奶奶和小明，每个 人吃两个苹果，他们们一家吃了多少个苹果？（教师师板书书：爸爸下面贴贴 两个苹果的贴贴画，妈妈妈妈 、奶奶、小明类类同） 生1：用除法。 生2：二四得八。 师师：列式怎么计计算？ 学生3说说不清。 生4：因为为有4个2，写成4 2=8 生5：我在外面学过过，写乘法时时，小（的）数写在前面。 师师：这这就是今天要学习习的 生6（接着老师师的话话）：乘法的初步认识认识 。 师师：（板书书：乘法的初步认识认识 ，2+2+2+2=8）观观察一下，每个加数有什么 特点？ 生：都是2。 师师：每个加数都相同的加法可以用乘法来计计算，可以写成2 4=8， “ X”叫 乘号并板书书，乘号前、后的数叫因数，记记住了吗吗？再来读读一读读算式。 （学生再重复一遍“定义义”并读读“算式”。但不断有学生读读做“2乘以4”，教师师 就不断地纠纠正为为“2乘4”） 活动动2：巩固、强化对对“乘法意义义”的理解 要求学生用小棒摆摆5个小三角形，并算出用了多少根小棒。（还还有学生用加 法计计算） 活动动3：应应用“乘法”解决实际问题实际问题 1买买花：玫瑰花10元，合花8元，文竹9元，问问一共花了多少元？（10+8+9=27 元） 师师：还还可以怎么算？能用乘法吗吗？ 生：不能，我发现发现 “乘法”是每个加数都一样样。 师师：是这样吗这样吗 ？ 生齐齐答：是 2买买气球：每个气球1元，买买12个气球花多少钱钱？ 列式： 1+1+1=12（元）与 12X1=12（元） 师师：你喜欢欢哪种列式？为为什么？（让让学生体会乘法的必要性） 3分糖：4块块 4块块 4块块 5块块 3块块，分了多少糖？怎么算？ 活动动1：“竞赛竞赛 ”激发发学习习愿望 （教师师先展示几组组小动动物们们用小棒摆摆的图图形：小鱼鱼、小草、三角形等等。 师师：听清要求，先在头脑头脑 中想好一个图图形，在桌子上摆摆同样样的图图形，给给你们们1 分钟时间钟时间 ，看谁摆谁摆 的个数最多。 （不同学生摆摆出不同的图图形，但仍有个别别学生没有按照老师师的要求摆摆同样样的 图图形） 师师：摆摆的是什么图图形？用了多少根小棒？列式算一算。 活动动2：在“不平衡”中引出“乘法” （学生计计算） 师师：你们说们说 我来写。其中有一学生回答：摆摆的是“正方形”，用了4+4+4+ （学生边说边说 ，教师边师边 写，并不断说说：你说说慢一点说说，我跟不上了，胳膊都写 酸了。这这名学生说说的过过程中自己不好意思地笑着说说：“太多了，太多了。” ） 其他学生不耐烦烦了：别说别说 了，太罗嗦罗嗦 了，你就告诉诉老师师有几个“4”。 学生：16个“4” 【案例3：乘法的意义义之二】 但老师还师还 是坚坚持把16个“4”全加在一起（并一起数是否是16个），列出式子。 师师：这这么多的“4”加在一起，太麻烦烦了，刚刚才有的同学也不耐烦烦了。在数学学 习习上，我们们怕问题问题 、怕麻烦吗烦吗 ？有了问题问题 想办办法解决不就行了？ 师师：刚刚才某某说说4加4再加4，把我说说糊涂了，但她说说了一句话话我就明白了， 她说说什么了？ 学生：16个“4”。 师师：在数学上，用乘法就能解决“几个几是多少的问题问题 ”。引出“乘法”，并板书书 ：164 （读读算式，结结合具体问题问题 强调调每个因数的意义义） 活动动3：多样样化的巩固练习练习 师师：把刚刚才大家摆摆的式子改写成乘法算式。（事实实上，有4名学生一开 始直接就用乘法算式写的） 这时这时 有一学生1“质问质问 ”老师师：我列的算式“9+12”能改写成乘法算式吗吗？ 生2：从结结果上看不能写成912。 生3：（指着写这这个算式的学生）你说说说说 你是怎么摆摆出来的？ 生1：我摆摆一个“坦克”用12根，一个“小船”用9根。 生2：你怎么不听老师师的呢？老师师不是让摆让摆 同样样的图图形吗吗？你摆摆的是同 样样的图图形吗吗？（生1心服口服地坐下。） 师师：认识认识 乘法了，谁谁有问题问题 都可以提。 （学生提出一些问题问题 ：4 16为为什么等于64？超过过10我就不会算了；加法算式能 都改写成乘法算式吗吗？） 师师：我有问题问题 ，你们们看“ ”与“+”，有关系吗吗？ 生：“ ”是“+”的斜着看，都是“变变多”。 生1：能用加法算的不一定能用乘法算，但能用乘法算的一定能用加法算。（师师 、生不由自主地为为他鼓掌） （学生还还有发现发现 ：象加法3+2=2+3一样样，乘法也有14=41；先算乘除后算加减 等。） 活动动4：进进一步强化对对“乘法”的认识认识 在演示文稿上打出两列算式：一列是加法，一列是乘法，在两列算式中 寻寻找好朋友。其中，有一式子是“8+8”，“88”，显显然这这两个不是“好朋友”， 老师请师请 学生改一改使他们变们变 成好朋友。 下课课后，有一学生继续继续 和老师师交流：“9+12”能把它改写成“乘法”，9是3 个3，12是4个3，能改写为为37。 问题问题 ：两个案例的区别别在哪里？ 案例3之一：例子“一家有4口人，每人吃2个苹果，一共吃了几个苹果”。 教师师要求学生观观察“2+2+2+2”有什么特点。 得出结论结论 ：加法算式中每个加数都相同，就可以用乘法来表示：24=8。 分析： 这这个例子非常简单简单 ，学生没有体会到“乘法”的必要性；另一方面，关于 “乘法”的意义义是教师师告诉诉学生的（虽虽然有观观察、发现发现 ，但这这是形式上的 观观察与发现发现 ），学生就得记记住这这个“事实实”：相同加数相加可以用乘法。为为 了强化这这个“事实实”，教师师就需要举举大量的例子：买买花、买买气球、分糖等， 让让学生辨认认能否用乘法去计计算。这时这时 学生对对乘法的理解只处处于“事实实性 水平”。（一个典型现现象是教师师五、六次地纠纠正“乘”、“乘以”） 案例3之二：教师师通过过自己设计设计 的活动让动让 学生充分感受、体会到引入“乘 法”的必要性。让让学生通过过活动动直观观感知、体会相同加数连连加，一个一个 地写、算太麻烦烦了。 在这这个活动动中，教师师有意识识的话语话语 与动动作起到非常重要的作用：“慢点 说说，我写的跟不上了”、“你们们一起说说，要不我听不清了”、“我的胳膊都写 酸了（并做出动动作）”。迫使学生自己去“发现发现 ”：不用说说几加几再加几了 ，太罗嗦罗嗦 了，你就说说有几个4吧？学生自己创创造了一种新的运算：“几个 几相加用乘法”，教师师很自然地引入新的乘法运算与符号表示。 分析： 对对乘法本质质的揭示，不是教师师告诉诉学生的而是学生自己产产生的，给给予 解决矛盾的需要而产产生的。这时这时 学生对对“乘法”的理解达到是“概念性水平” ，是对对概念本质质的把握，而这这种理解与把握不是教师师“告之”的，而是在冲 突、心理不舒服（“太罗嗦罗嗦 了”）等状态态下，迫切需要产产生一种新的运算方 法的情况下引入的。 符号的理解 教师师引导导学生从“符号”上直观观比较较、综综合分析“乘法”与“加法” 有什么关系呢？有的学生的“创创造性”再一次显显示出来：乘号就是加 号斜着看，它们们有关系，都是“变变多”。甚至有学生说说：能用乘法 算的一定能用加法算，就是太麻烦烦；用加法算的不一定能用乘法， 加数必须须一样样才能用乘法。 分析： 能够够沟通新学习习的知识识与已经经会了的知识识之间间的本质联质联 系。 对对乘法的理解达到是“方法性水平” 个案的研究 “9+12”能把它改写成“乘法”，9是3个3，12是4个3，能改写为为37 。 分析： 充分经历经历 教师师所设计设计 的一系列活动动后，在对对“乘法”有了本质质 的认识认识 ，并对对 “乘法”与“加法”的逻辑逻辑 关系有深刻认识认识 的基础础上， 创创造性地解决了这这一难题难题 ，他的认认知过过程不亚亚于解决“歌德巴赫猜 想”，是没有教师师的引导导而自主地创创造。乘法的理解就已经经达到“ 主体性水平”。 概念的本质质理解 事实实性水平记忆记忆 、模仿、提取事实实 概念性水平认认知不平衡而产产生心理需要，本质质理解 方法性水平沟通新知与原有知识联识联 系与区别别 主体性水平综综合运用知识识（新旧知识识）自主创创造、发现发现 问题问题 ：为为什么具有生活原型的概念放在数学书书里就变变得难难以理解 ？ 一方面这这是由数学的“学科定义义”导导致的，数学的学科定义义高度概括、抽 象，不符合小学生的思维维水平与认认知特点；其次是由于教师师的不恰当的教 学设计导设计导 致的。（例如没有“过过程”的教学，不顾顾及学生已有“经验经验 ”和认认知 发发展水平的教学） 问题问题 ：教师师不恰当的教学设计设计 是什么原因造成的 ？ 一、是否有追问问学科的本质质？ 问题问题 ：为为什么具有生活原型的概念放在数学书书里就变变得难难以理解 ？ 一方面这这是由数学的“学科定义义”导导致的，数学的学科定义义高度概括、抽象，不符 合小学生的思维维水平与认认知特点；其次是由于教师师的不恰当的教学设计导设计导 致的。 （例如没有“过过程”的教学，不顾顾及学生已有“经验经验 ”和认认知发发展水平的教学） 问题问题 ：教师师不恰当的教学设计设计 是什么原因造成的 ？ 一、是否有追问问学科的本质质？ 二、是否真的了解学生？ 学生的生活概念是什么？ 学生的思维维水平与认认知特点什么？ 学生已有的知识储备识储备 是什么？ 【案例4：分数的意义义】 分数的符号 分数语语言 分数理解的两种形式 定义义入手: 形如 ，a0的数叫做分数。 动动作行为为入手：把一个物体或一些物体（即单单位“1”）平均 分成若干份，这样这样 的一份或几份都可以用分数表示。 分数的意义义（五年级级） 1.借助“面积积”的“部分与整体”复习习分数。 （1）用分数表示图图中的阴影部分，并说说说说 分数的意义义。 （2）归纳归纳 ：把一个物体平均分成若干份，取其中一份或几 份，用分数表示。 2.借助“集合”的“子集与全集”认识认识 分数 （1）呈现现 （2）观观察：圈住部分的铅铅笔占全部铅铅笔的几分之几？ （3）新知与复习对习对 比异同，得出平均分的物体不再真正是 “1个整体”，而是把几个物体看做“1个整体”，通常叫做单单 位“1” 3.借助“数轴轴”上的点抽象出分数概念。 用分数表示直线线上的点 分数的意义义 1.一个物体的“部分与整体”关系 2.一些物体的“子集与全集”关系 3.数轴轴上的点表示分数的关系 您认为这样认为这样 的教学有什么好处处？ 具体直观观抽象概括，全面、系统统地认识认识 分数。 数学学科本质质 1.对对基本概念的理解 主要概念：十进进位值值制、单单位（份）、用字母表示数、四则则运算、位置、 变换变换 、平面图图形、统计观统计观 念 怎样样理解：为为什么要学习这习这 一概念？ 这这一概念的现实现实 原型是什么？ 这这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么？ 能否与其他概念建立“概念网络图络图 ” 方程的初步认识认识 与代数思维维 含有未知数 x 等式叫方程 学习习方程的核心意义义是渗透方程思想（建模思想、化归归思想） 方程学习习的难难点 1.理解等号的意义义 四则则运算的等号意义义 63 + 2 = 18+2 = 20 方程中等号的意义义 x + 0.5 = 2.5 等号表示计算的 结果。 等号表示两个等 价事件。 x + 0.5 = 2.5 x+0.5=2.5 = x+0.5-0.5=2.5-0.5 x=2.5-0.5 = x=2 x=2 思考：在学生思维维中，方程中的等号表示什么意义义？ 【案例5：方程的意义义】 1. 直接导导入，明确等号的作用。 出示等号。师师：这这是什么符号？ 生：等号 师师：有什么作用？请举请举 例说说明 生：1+2=3 师师：等号表示计计算的结结果。1+2还还可以等于什么？ 生：1+2=1+1+1 师师：多聪聪明的孩子。1+2的结结果和1+1+1的结结果相等 师师：等号不仅仅表示计计算结结果，还还表示等量关系。 设计设计 意图图：等号不仅仅可以表示计计算结结果，还还可以表示等量关系。 2. 借助天平，初识识方程的意义义。 （1）认识认识 天平。 课课件出示天平 师师：天平指针针指着中间间表示什么？ 生：左边边和右边边物体的质质量相等 （2）看图图写式，师师：你能用数学式子表示这这些数量间间的关系吗吗？ A.课课件出示图图1： 师师：你看到了什么等量关系？ 生：一个苹果加一个雪梨的重量等于3根香蕉的重量 师师：给给你一个数量，你能列一个式子吗吗？(出示：苹果160克、雪梨200克；每根 香蕉120克) 生：160+200=1203 师师：等号有表示什么？ 生：天平左右两边边的重量相等 师师：天平左右两边边的重量相等，所以用等号连连接 B. 课课件出示图图二：师师：你看到了什么等量关系？ 出示数量：一个西瓜4500克；一个哈密瓜4000克，一个橙子300克，一个 雪梨200克 师师：列出式子 生：4500=4000+300+200 师师：有什么特别吗别吗 ？等号的右边边3个数可以吗吗？ 生：可以 小结结：不管出现现几个数，只要左右两边质边质 量相等就可以用等号。 C. 课课件出示图图三 ：（一个苹果，一个桃子），（三个香蕉） 师师：能不能讲讲出相等关系？ 生：一个苹果和一个桃子的重量等于三个香蕉的重量 课课件出示数量：一个苹果x克，一个桃子200克；每个香蕉120克 师师：糟了，不敢列式子了。出现现了未知数。 生：x+200=1203 师师：x+200表示什么？ 师师：虽虽然苹果的重量是未知数，也可以当作已知数。 师师：刚刚才我们们表示了左右两边边相等的式子，叫等式。 课课件同时时出示：图图4： 砝码码10、20、50克；方块块25、a、a克。 图图5： 3个桃子；1个桃子、砝码码100克。 图图6： 柿子5个；苹果4个。 生独立完成，指名到黑板板演，师师巡视视 讲评图讲评图 4： 师师：同意吗吗？有什么特别别的地方？ 生：未知数在等式的右边边 师师：未知数在等号的左边边是没有关系，只要找到等量关系就行了。 讲评图讲评图 5 师师：桃子不知道，可以用a吗吗？b呢？ 师师：用什么字母都不重要，只要他们们的等量关系相等就可以了。 讲评图讲评图 6 师师：有什么特别别的？ 生：等式两边边都出现现了未知数 师师：x表示什么？y表示什么？ 生：x表示柿子的重量，y表示的重量 师师：两个未知数相同不相同？ 生：不相同 师师：表示了什么等量关系？ 生：5个柿子的重量等于4个苹果的重量 板书书呈现现： （1）160+200=1203 （3）x+200=1203 （2）4500=4000+300+200 （4）10+20+50=25+a+a （5）3a=b+100 （6）5x=4y D.小结结： 观观察图图1、2：等号右边边出现现了算式，等号表示天平左右两边边物体质质量 相等的关系，即等号的另一个功能是表示等量关系。 观观察图图36：虽虽然天平上出现现了未知数，但不管未知数在哪边边，有多 少个未知数，只要两边边相等，就可以用等号连连接。 3.分析算式： （1）相同点：这这些算式都有等号，表示天平两边边数量相等，数学上称 这样这样 的式子为为等式。 （2）不同点：有的含有未知数，有的不含有未知数。 （3）分类类：根据异同，请请把等式分类类。 （4）定义义：含有未知数的等式叫方程。 理解方程是含有未知数的等式，用以表示数量间间的相等关系。 经历经历 “情境描述语语言描述数学符号描述的”建模过过程。 方程学习习的难难点 1. 理解等号的意义义 2. 不愿意用列方程的方法解决问题问题 原因：学生思维维主要是算术术思维维，即运算的每一步都是具 体的数值值，未习惯习惯 于将未知数参与到运算中。 2.82 + 2x = 10.4 水果总总元数 水果总总元数 字母式表示 具体数值值表示 方程学习习的难难点 1. 理解等号的意义义 2. 不愿意用列方程的方法解决问题问题 原因1：学生思维维主要是算术术思维维，即运算的每一步都是具 体的数值值，未习惯习惯 于将未知数参与到运算中。 原因2：小学阶阶段问题问题 比较简单较简单 ，运用算术术非常顺顺利，学 生体验验不到方程方法的必要性。 3.学生找不到等量关系。 练练归纳归纳 应应用 例3 您有什么想法？ 【案例5之一：角的度量】 1、认识认识 量角器 师师：知道量角要用什么测测量工具吗吗？（生：量角器） 师师：那现现在就让让我们们拿出量角器，观观察量角器上面有什么？看谁谁的眼睛 最亮？并把你的发现发现 和同桌小声说说一说说 学生小组组活动动，并汇报汇报 。 老师师用多媒体课课件演示，补补充并小结归纳结归纳 ： 量角器半圆圆周上所刻的线线就是量角器的刻度线线，每10格上标标一个数 。圆圆心就是量角器的中心点。外圈刻度（顺时针顺时针 方向）从0度开始到 180度止，内圆圆刻度（逆时针时针 方向）也是从0度开始到180度止。再结结 合课课件展示说说出量角器各部分的名称：中心点、0刻度线线、内圈刻度 、外圈刻度、90刻度线线等等。并板书书：中心点、0刻度线线。 2.尝试尝试 量角 （呈现练习纸现练习纸 ，纸纸上有4个角）师师：你们们能用量角器量一量1的大小吗吗？ 学生尝试尝试 用量角器试试着量一量1，量完后，与同桌交流量法。 预设预设 ：量角时时主要出现现的错误错误 有中心与顶顶点不重合；边线边线 不重合；读错读错 度数 生1：我量的角是120。 生2：肯定不对对，120是一个钝钝角，这这个角一看就知道是一个锐锐角，肯定就是错错 的。 师师：某某能够够从锐锐角和钝钝角的意义义判断量得对对不对对，真棒！但是我们观们观 察一下 ，要量角的大小他已想到中心对对角的顶顶点，一条边对边对 0刻度线线，这这个思路是 正确的，真不简单简单 。角的另一条边对边对 着两个刻度，究竟看哪一圈呢？ 生3：要看第二圈，要从0开始嘛！ 师师：说说得真好！起点0刻度线线在内圈读读内刻度，起点0刻度线线在外圈读读外圈刻度 ，我们们要感谢这谢这 个同学，他的错误错误 提醒了我们们从0开始度量角的度数。 3.课课件演示量角，教师师引导导学生总结总结 步骤骤并简单简单 板书书关键词键词 。 一放 量角器的中心与角的顶顶点重合； 二移 量角器的0刻度线线与角的一条边边重合； 三看 看角的另一条边边所对对的量角器的刻度是几，注意0刻度线线在内圈读读内圈刻度， 0刻度线线在外圈读读外圈刻度。 【设计设计 意图图】本环节环节 通过过自主探究认识认识 量角器后再尝试尝试 量角，从尝试尝试 体验验中掌握 了量角的方法，而且还还成功突破如何选择选择 内外刻度这这一难难点。叶圣陶先生说说：“ 教师师之为为教，不在全盘盘授予，而在相机诱导诱导 。”所以我认为认为 探究体验验知识识是最好 的教育，只有学生真心感悟，亲亲身经历经历 体验验到的东东西才能最终终沉淀到他们们的内 心深处处。 【案例5之二：角的度量方法】 1. 认识认识 量角器 师师：我们们先不去研究到底有多少度，看到这这个量角器，这这么复杂杂你有什么问题吗问题吗 ？ 生1：两圈数字到底看哪圈数字 生2：角是尖尖的直直的，量角器怎么是圆圆圆圆 的。 师师：还还有其它问题吗问题吗 ？（学生思考）虽虽然没有人回答，但大家都在思考 生3：外面一圈是什么用的？ 生4：为为什么左边边是外圈大，右边边是内圈大。 （1）师师：我们们来讨论讨论 第二个同学的问题问题 ，量用器是用来量角的，能在量角器上找到角 吗吗？ 生：不能，因为为那里虽虽然有一条是直的，但另外一条是弯的。 师师：角是两条射线线。那量角器上有没有角，角在哪儿？ 生：这这里有一个角，这这个角是90角 师师：大家注意这这个角的顶顶点在哪里？这这个角的顶顶点就是量角 器的中心，这这一条边边是0，我们们就叫他0度刻度线线。另外一条 呢?（90度刻度线线） （2）师师：在纸纸量角器上画出一个90度的角。想一想，顶顶点的哪里？画长长画短有关系吗吗？ 12 34 （3）师师：在第二个纸纸量角器上画一个60度的角。尽可能与同学画得不一样样。 (展示两个作品左右两边边的角） 师师：相同的是60度，什么不一样样 生1：位置不一样样 生2：边边画的地方不同。 生3：边长边长 不同 生4：两条边边所夹夹的角的方向不同。 师师：对对，也就是开口方向不同。我们还发现这们还发现这 里是外圈是60度，而另一个是 内圈是60度。 现现在你们们知道内圈和外圈有什么用了吗吗？ 生：左边边就是内圈，右边边就读读外圈。 师师：说说得直好，其实实我们们也可以不用去记记左边边右边边，这这里有一条0刻度线线。 我们们知道0就是对对，就是表示开始，我们们只要记记住从0这这里开始了。 （4）师师：在第三个纸纸量角器上画上一度的角。 师师：太难难了是吗吗？这这里有没有标标出1度呢？其实实从边边开始的一小格就是 1度的角。 师师：能找到多少个1度多的角？试试着画一个1的角 师师：相互欣赏赏一下别别人的角，你觉觉得画1的角怎么样样？ 生：太难难画了。 生：太窄了。 师师：想想看，量角器上有多少个1的角？ 生：180个 师师：对对，全世界就是这样规这样规 定的，把一个半圆圆平均分成180份，每一份 所对应对应 的的角就是1的角。 （5）师师：现现在在第四个纸纸量角器上画一个157度的角。 展示作品。 2、运用量角器量角。 （1）师师：现现在，请请大家看看真正的量角器，你看到了什么？ 生:0刻度线线 生：中心 生：两圈刻度 师师：刚刚才我们们在纸纸量角器上画了角，现现在看到真正的量角器，不画角你就看不到角？ 从量角器上你能看到角吗吗？ 生齐齐答：能 （2）师师：有一双数学的眼睛，我们们就能在量角器上看到若干个大小不同的角，那么怎 么用量角器来量角呢？想一想，试试着量出1是多少度？ 生量，有的说说是130，大部分人说说50 师师：小组组交流一下，1怎么量？ 交流后，师师：有人说说是130，怎么回事？ 一学生到讲讲台前摆摆放量角器。师师（满满意地点点头头）：你发现刚发现刚 才她把量角 器放在角上的时时候注意了什么？ 生1:1和量角器上的角重合了。 生2：角的顶顶点和量角器的中心点重合。 生3:0刻度线线与一条边边重合。 生4：还还有一条边边和量角器上的边边重合。 师师：听大家这这么一说说，我觉觉得：量角其实实就是把量角器上的角和要量的角重 合，一边边与50刻度线线重合，另一边边与0刻度线线重合，这这两个重合，应该应该 先重合哪一个？ 生：0刻度线线 师师：刚刚才有人说说50，有人说说130，到底是50还还是130呢？ 生：50 师师：为为什么是50呢？ 生：因为为从右边边的0刻度线线开始的。 师师：这这句话说话说 得多好！ 问题问题 1：两个教学案例有什么不同？ 问题问题 2: 在实际实际 教学中，你愿意采用哪种？ 产产生困惑： 角的度量一课课我的困惑是：它的教学难难点是什么？为为什么会有这样这样 的 难难点？量角器的结结构很复杂杂。量角之前先要认识认识 量角器，那认识认识 量角器的 什么呢？怎么认识认识 量角器？教学中简简要概括出了“二合一看”等要点，为为什么 学生还还是不会量角？ 查阅书查阅书 籍，思考消化： 度量线线段与度量角作为为以数量来刻画特征是具有一致性。尺子上有刻度，从 0端点起，到某一个刻度端点之间间的长长度就是线线段的度量，其本质质就是尺子 中的线线段与要度量的线线段完全重合。角的度量本质质也是要度量的“角”与量角 器上“标标准角”完全重合。但学生理解这这两种不同量的度量时时其难难度不一样样， 因为为角的大小是一种二维维特征，和长长度的一维维特性有着较较大的差异。 但是学生拿着量角器手足无措的样样子，原来学生找不到量角器的 上的“角”！学生意识识不到在量角器上“描角”（描出角的顶顶点、两条边边 ）的重要作用，而且学生所使用的量角器千奇百怪，尤其是中部镂镂空 的量角器，很难难在其上准确找到“角”，我大胆地想：能让让学生先在量 角器上画角再量角吗吗？进进而，我再追问问：量角的本质质是什么？重合。 如果学生在量角器上清晰地找到角了，量角的问题问题 就能迎刃而解。因 此，我决定不惜时间让时间让 学生在“纸纸上量角器”上画角，使他们们看到量角 器上的隐隐藏“角”。 接着，看到了量角器上的“角”，但不知道怎样样才能使量 角器上的“角”与所度量的角重合。 。“二合一看”等要诀诀，看似 简洁简洁 ，颇颇得要领领，其实这实这 是我们们成人的偏好，对对孩子来说说却 是不得要领领的，要孩子们们想象出这这四个字背后的内涵是挺难难的 。因为为孩子们们是以形象思维为维为 主，老师师抽象概括出的词语词语 反 而增加学习习的难难度，老师师附加的认认知负负荷挤挤占和压缩压缩 了学生 生成的认认知负负荷。只有能让让学生整体把握量角与其他度量方法 本质质一样样，即“量角就是把量角器上的角重叠在要量的角上”， 才能为为学生的量角操作提供表象支持！ 聆听了教师师的思考笔记记，您有什么想说说的？ 技能的背后是对对数学概念的理解 技能是按照某种步骤骤或程序进进行的操作活动动或内部思维维活动动，技 能可以分为为操作技能和认认知技能（思维维技能）。数学基本技能都离不 开思维维的参与，一旦有思维维的参与掌握技能就不能单纯单纯 地依靠模仿、 练习练习 和背诵诵。像“角的度量”这样这样 的操作技能背后都以理解相关“核心 概念”为为支撑点，把度量的方法与为为什么这样这样 度量的道理融合在一起 。 数学学科本质质 1.对对基本概念的理解 主要概念：十进进位值值制、单单位（份）、用字母表示数、四则则运算、位 置、变换变换 、平面图图形、统计观统计观 念 2.对对数学思想方法的把握 重要思想方法： 分类类思想、转转化思想、数形结结合思想、一一对应对应 思想、函数思想、 方程思想、集合思想、符号化思想、类类比法、不完全归纳归纳 法 数形结结合思想 “数”与“形”是数学研究的两个基本对对象，利用“数形结结合”方法能 使“数”与“形”统统一起来，借助于“形”的直观观来理解抽象的“数”，运用 “数”与“式”来细细致入微地刻画“形”的特征，直观观与抽象相互配合，取 长补长补 短，从而顺顺利有效解决问题问题 “数形结结合”思想在小学数学教学中的渗透 1.利用“数尺”“数线线”或“数轴轴”感知“数与形”的结结合。 数，有规规律、有方向地排列。将数与点建立一一对应对应 关系。 加法，在数轴轴上继续继续 向右数，或看作向右平移若干个单单位。 减法，在数轴轴上先找到被减数，再向左数，或者看作向左平移若干个 单单位。 乘法，在数轴轴上几个几个地向右数。 除法，在数轴轴上先找到被除数，然后向左几个几个地数，恰好数到0， 就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到0，就产产生 “余数”，数轴轴是理解“有余数除法”的形象化载载体。 【案例6：20及20以内数的认识认识 】 1.数出10根小棒，扎成一捆当做“1个十”。 2.摆摆出1捆和2根小棒，说说说说 表示数字“几” 10个一 1个十 1 2 3.看小棒图说图说 出12是怎样组样组 成的。 1 2 1个十 2个一 4.呈现计现计 数器，明确计计数器右边边起第1位是个位，第二位是十位。数 “12”怎样样在计计数器上表示？为为什么可以这样这样 表示？ 1 2 5.用小棒摆摆出11，在计计数器上拔出11，然后写出11。 设问设问 ：数“11”有两个1，表示的意义义一样吗样吗 ？为为什么？ 6.计计数器拨拨珠，19再添上1颗颗珠子是多少？怎样拨样拨 珠？怎样样写？ 数20怎样样用小棒表示？它是由什么组组成的？在计计数器上怎样拨样拨 珠？ “数形结结合”思想在小学数学教学中的渗透 1.利用“数尺”“数线线”或“数轴轴”感知“数与形”的结结合。 2.借助线线段图图直观观形象地理解抽象的数量关系。 题题目：去年小东东和小丽还丽还 一样样高，今年小东长东长 了15厘米，小丽长丽长 了7厘米，现现在小东东比小丽丽高1/20。今年小丽丽身高多少厘米？ 将复杂杂的解题过题过 程化繁为简为简 ，较较好地帮助学生理清数量之间间 的关系，进进一步明确和拓宽宽解题题思路。 “数形结结合”思想在小学数学教学中的渗透 1.利用“数尺”“数线线”或“数轴轴”感知“数与形”的结结合。 2.借助线线段图图直观观形象地理解抽象的数量关系。 3.借助于“面积积模型”理解分数及其运算，“数”与“形”的再一 次结结合。 “数形结结合”思想在小学数学教学中的渗透 1.利用“数尺”“数线线”或“数轴轴”感知“数与形”的结结合。 2.借助线线段图图直观观形象地理解抽象的数量关系。 3.借助于“面积积模型”理解分数及其运算，“数”与“形”的再一 次结结合。 4.渗透“直角坐标标”思想，初步感知函数关系与图图像的结结合。 研究教材把握数学学科本质质 寻寻根问问源，准确抓住数学知识识本质质。 形成以概念为为核心的数学技能。 渗透数学思想方法。 研究学生 【案例7：算法多样样化的苦恼恼】 一、背景介绍绍 开学初，我们们班转进转进 一位名叫王虎的学生，一段时间时间 的学习习下来 ，我认为认为 他在数学学习习上的问题问题 主要表现现在学习习“两位数与一位数相 加（进进位）、两位数减一位数（退位）的口算加减法”这这部分内容， 主要症状：速度慢，处处于班级级最后，经经常出现错误现错误 ，错误错误 率居于班 级级上游，似乎是一个“计计算学困生”。众所周知，计计算是学好数学的基 础础，一年级级的孩子计计算能力如此弱，学好数学就比较较困难难了，我不 免着急担忧忧起来。 二、过过程观观察与谈话谈话 ： 那天我把他叫到办办公室，原因是他在课课堂上算10题错题错 了6题题，于 是我静静地侯在一旁看他如何做题题： 31-7 64-40 82-9 83-6 92-8 47-9 他在完成“64-40，47-9，82-9”时时，能正确