数学必修3-3.3.2均匀随机数的产生(z).ppt

均匀随机数的产生 1.古典概型与几何概型的异同. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件总数有有限个， 几何概型要求基本事件总数有无限多个. 复 习 2. 我们可以利用计算机或计算器产生的整数值 随机数，可以近似估计古典概型的概率.步骤？ (1)设计概率模型 (2)进行模拟试验 (3)统计试验结果 均匀随机数 2.电脑中实现:在Excel中产生0,1区间 上均匀随机数. rand() 若(1) 产生0,100区间上均匀随机数呢？ (2) 产生100,150区间上均匀随机数呢？ (3) 产生a,b区间上均匀随机数呢？ 1.计算器实现 对于区间a,b,实验结果X是该区间内的任何 一个实数，且是等可能出现。则X为a,b上 的均匀随机数。 新 课 思考 计算机只能产生0，1上的均匀 随机数，如果需要产生a，b上的均匀 随机数，对此，你有什么办法解决？ 首先利用计算器或计算机产生0，1上 的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩 和平移变换： Y=X*(ba)a计算Y的 值，则Y为a，b上的均匀随机数. 例1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意 位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的 概率有多大？ （一维型的几何概型） 解（1）利用计算器或计算机产生0到1区间的 N个均匀随机数a1 （2）经过伸缩变换，a=a1*（3-0）+0转化到 【0，3】的均匀随机数 （3）统计出1，2内随机数的个数n （4）计算频率fn(A)= 即为概率P（A）的近似值 变式：随机模拟投掷硬币的试验，估计掷得正面的概率。 解法一：用计算器产生一个01之间的随机数，如 果这个数在00.5之间，则认为硬币正面向上，如 果这个随机数在0.51之间，则认为硬币正面向下 。 记下正面向上的频数及试验总次数(填入下表)，就 可以得到正面向上的频率了。 试验次数正面向上的频数证明向上的频率 70 80 90 100 例如我们得到如下数据：例如我们得到如下数据： 试验试验试验试验 次数次数正面向上的正面向上的频频频频数数正面向上的正面向上的频频频频率率 505023230.460.46 606029290.4830.483 707032320.4570.457 808038380.4750.475 909047470.5220.522 10010054540.540.54 送报人可能在早上6:30 7:30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间 在早上7:008:00之间 问你父亲在离开家前能得到报 纸(称为事件A)的概率是多少? 例2假设你家订了一份报纸 （二维型的几何概型） 6:307:30之间 报纸送到你家 7:008:00之间 父亲离开家 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率 是多少? 提示： 如果用X表示报纸送到时间 用Y表示父亲离家时间 那么X与Y之间要满足哪些关系呢？ 解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在 离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以 法2：（随机模拟法） 设随机模拟的试验次数为a，其中父亲得到报纸的次数 为n（即为满足 的试验次数），则由古典概型 的知识可得，可以由频率近似的代替概率，所以有： 解：设x是报纸送到时间，y是父亲离家时间，则 用0,1 区间上的均匀随机数可以表示为： 变式：一海豚在水池中自由游弋，水池为 长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖 离岸边不超过2m的概率 30m 2m A 20m 解解2 2： 随机模拟海豚在水池中自由游弋的随机模拟海豚在水池中自由游弋的 试验，并估计事件试验，并估计事件A A：“ “海豚嘴尖离岸边不海豚嘴尖离岸边不 超过超过2m”2m”的概率。的概率。 我们利用计算机产生随机数我们利用计算机产生随机数x x和和y y，用它，用它 们来表示海豚嘴尖的横坐标与纵坐标，如们来表示海豚嘴尖的横坐标与纵坐标，如 果果( (x x，y y) )出现在图中的阴影部分，我们就出现在图中的阴影部分，我们就 认为事件认为事件A A发生了。发生了。 下面我们设计一个算法使计算机或计算下面我们设计一个算法使计算机或计算 器能模拟这个试验并根据事件器能模拟这个试验并根据事件A A发生的概率发生的概率 . . S1 S1 用计数器用计数器n n记录做了多少次试验，用计记录做了多少次试验，用计 数器数器mm记录其中有多少次记录其中有多少次 ( (x x，y y) )出现在阴出现在阴 影部分中，首先置影部分中，首先置n n=0=0，mm=0;=0; S2 S2 用变换用变换rand( )*30rand( )*301515产生产生15151515之之 间的随机数间的随机数x x作为海豚嘴尖的横坐标，用作为海豚嘴尖的横坐标，用 变换变换rand( )*20rand( )*201010产生产生10101010之间的随之间的随 机数机数y y作为海豚嘴尖的纵坐标；作为海豚嘴尖的纵坐标； S3 S3 判断判断( (x x，y y) )是否落在阴影部分中，即是是否落在阴影部分中，即是 否满足否满足| |x x| |15|215|2或或| |y y| |10|210|2，如果是，如果是， 则则mm= =mm+1+1，如果不是，则，如果不是，则mm不变；不变； S4 S4 表示随机试验次数的计数器表示随机试验次数的计数器n n值加值加1 1， 即即n n= =n n+1, +1, 如果还需要试验，则返回步骤如果还需要试验，则返回步骤 S2S2继续执行，否则，程序结束。继续执行，否则，程序结束。 程序结束后，事件程序结束后，事件A A发生的频率发生的频率 作为作为 A A的概率近似值。的概率近似值。 试验试验试验试验 次数次数事件事件A A频频频频数数mm事件事件A A频频频频率率mm/ /n n 10010035350.350.35 100010003243240.3240.324 1000010000299729970.29970.2997 10000010000030506305060.305060.30506 N N= =inputinput(“(“N N=“);=“); n n=0;=0;mm=0;=0; forfor i=1:1:N i=1:1:N x x= =randrand()*30-15;()*30-15; y=rand()*20-10;y=rand()*20-10; c=c=absabs(abs(x)-15);(abs(x)-15); d=d=absabs(abs(y)-10);(abs(y)-10); if c=2|d=2 if c=2|d=2 mm= =mm+1;+1; endend n n= =n n+1;+1; endend p p= =mm/N;/N; p p 例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随 机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率. 解:记“豆子落入圆内”为事件A,则 P(A)= 答:豆子落入圆内的概率为 撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有m颗落在 圆内，当n很大时，频率接近于概率 （用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 ） 变变式训练训练 1 如图图所示，向边长边长 为为4的正方形内投 入飞镖飞镖 ，求飞镖飞镖 落 在中央边长为边长为 2的 正方形内的概率 先计计算其概率，并 用计计算机随机数模 拟试验拟试验 估计计其概率 ，写出算法步骤骤 S2 用变换变换 rand()*42产产生两个22的随机数x，y， x表示所投飞镖飞镖 的横坐标标，y表示所投飞镖飞镖 的纵纵坐标标 S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是 否满满足|x|1，|y|1，如果是，则计则计 数器m的值值加1， 即mm1；否则则m的值值保持不变变 S4 表示随机试验试验 次数的计计数器n值值加1，即nn1.如 果还还需要继续试验继续试验 ，则则返回步骤骤S2继续执继续执 行，否则结则结 束 例4：利用随机模拟方法计算 右图中阴影部分（由y=1和 y=x2 所围成的部分）的面积 利用随机模拟的方法可以得到落在阴影部分内的 点与落在矩形内的点数之比，再用几何概型公式 就可以估计出阴影部分的面积 分析：如右图所示，由直线 围成的的矩形的面积为2， 想一想：你能设计一个随机 模拟的方法来估计阴影部分 的面积吗？ (3)数出落在阴影内的样本点数m，用几何概型公 式计算阴影部分的面积为： (2)进行平移和伸缩变换： (1)利用计算机产生两组01区间的均匀随 机数： 做题步骤如下： 变式变式 在一个边长为在一个边长为2 2的正方形中有一个椭圆的正方形中有一个椭圆 （如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落 入椭圆的概率为入椭圆的概率为0.3, 0.3, 求椭圆的面积求椭圆的面积 2、计算机通过产生均匀随机数进行模拟试验的思路： (1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机 数的个数，如长度、角度型只用一组即可；而面积型需要 两组随机数, 体积型需要三组随机数； (2)根据总体对应的区域确定产生随机数的范围； (3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式 注意 用模拟的方法得到的计算结果是估计值. 小 结 1：知道如何由计算器或计算机Excel软件产生均匀随机数 ，并能正确区分整数值随机数与均匀随机数 思考：想一想，这一节课的三个例题分别说明了什么 问题？ 答：例1告诉我们可以利用随机模拟的方法估计几何 概型中随机事件的概率值； 例2与例3说明可以利用随机模拟方法估计几何 图形的面积，而当面积容易算出时进而可以估计其 它未知量，这里的频率由随机试验获得，概率由几 何概型得到 思考：想一想，在用随机模拟方法估计未知量时，为 什么不同次数的试验得到的结果一般也不同？ 答：用随机模拟方法估计未知量的基本思想是用频率 近似概率，得到的结果是不精确的，只是一个“估计” 值，而随机事件的发生具有随机性，频率本身也是一 个随机的量，因此不同次数的试验得到的“估计”结果 （即频率）可能完全不一样，但在多数重复试验下可 以看出，该值稳定的在某一确定数值（概率）周围， 也就是频率是概率的近似值；一般地，试验的次数越 多，估计值的精确度就越高 例例5. 5. 利用随机模拟法近似计算图中阴影部利用随机模拟法近似计算图中阴影部 分（曲线分（曲线y=2y=2 x x 与与x x=1=1及及x x轴围成的图形）轴围成的图形） 的面积的面积. . 解：在坐标系中画出正方解：在坐标系中画出正方 形，用随机模拟的方法可形，用随机模拟的方法可 以求出阴影部分与正方形以求出阴影部分与正方形 面积之比，从而求得阴影面积之比，从而求得阴影 部分面积的近似值。部分面积的近似值。 用随机模拟法近似计算不规则图形 的面积 利用随机模拟拟的方法近似计计算图图中阴影部分 (y22xx2与x轴围轴围 成的图图形)的面积积. 【思路点拨拨】 解答本题题可先 计计算与之相应应的规则规则 多边边形的 面积积，而后由几何概率进进行面积积估计计 例例3 3 【解】 (1)利用计计算机产产生两组组0,1上的均 匀随机数， a1rand( )，b1rand( ) (2)经过经过 平移和伸缩变换缩变换 aa1N1,N)就是点 落在阴影部分的概率的近似值值 【名师师点评评】 本题题在解答过过程中易犯如下 错误错误 ：认为认为 阴影部分的点满满足条件b22a a2，导导致错误错误 的原因是没有验证验证 而直接给给 出 变变式训练训练 3 利用随机模拟拟法近似计计 算图图中阴影部分(曲线线 ylog3x与x3及x轴围轴围 成的图图形)的面积积 解：如图图所示，作矩形，设设事件A表示“随机向 矩形内投点，所投的点落在阴影部分” S1 用计计数器n记录记录 做了多少次投点 试验试验 ，用计计数器m记录记录 其中有多少次 (x，y)满满足ylog3x(即点落在阴影部 分)首先置n0，m0； S2 用变换变换 rand()*3产产生03之间间的均匀随机数 x表示所投的点的横坐标标；用函数rand( )产产生 01之间间的均匀随机数y表示所投的点的纵纵坐标标 ； S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满满足 ylog3x.如果是，则计则计 数器m的值值加1，则则 mm1.如果不是，m的值值保持不变变； S4 表示随机试验试验 次数的计计数器n的值值加1 ，即nn1.如果还还要继续试验继续试验 ，则则返回 步骤骤S2继续执继续执 行，否则则，程序结结束 S1 S1 用计数器用计数器n n记录做了多少次投点试验，记录做了多少次投点试验， 用计数器用计数器mm记录其中有多少个记录其中有多少个( (x x，y y) )满足满足 11x x11，00y y22 x x ( (即点落在阴影部分即点落在阴影部分) )。 首先置首先置n n=0=0，mm=0=0； S2 S2 用变换用变换rand( )*2rand( )*21 1产生产生1111之间的均之间的均 匀随机数匀随机数x x表示所投的点的横坐标；用变表示所投的点的横坐标；用变 量量rand( )*2rand( )*2产生产生0202之间的均匀随机数之间的均匀随机数y y表表 示所投的点的纵坐标；示所投的点的纵坐标； S3 S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满判断点是否落在阴影部分，即是否满 足足00y y22 x x ，如果是，则计数器，如果是，则计数器mm的值加的值加1 1， 即即mm= =mm+1+1；如果不是，；如果不是，mm的值保持不变；的值保持不变； S4 S4 表示随机试验次数的计数器表示随机试验次数的计数器n n的值加的值加1 1， 即即n n= =n n+1+1，如果还要继续试验，则返回步，如果还要继续试验，则返回步 骤骤S2S2继续执行，否则，程序结束；继续执行，否则，程序结束； 程序结束后事件程序结束后事件A A发生的频率发生的频率 作为事作为事 件件A A的概率的近似值。的概率的近似值。 设阴影部分的面积为设阴影部分的面积为S S，正方形的面积，正方形的面积 为为4 4，由几何概型计算公式得，由几何概型计算公式得 所以所以 的另一种求法的另一种求法 17771777年法国科学家年法国科学家布丰布丰做了一个投针试验做了一个投针试验 ，这个试验被认为是几何概型的第一个试验，这个试验被认为是几何概型的第一个试验 。他在一张大纸上画了一些平行线，相邻两。他在一张大纸上画了一些平行线，相邻两 条平行线间的距离都相等。再把长度等于平条平行线间的距离都相等。再把长度等于平 行线间距离一半的针投到纸上，并记录投针行线间距离一半的针投到纸上，并记录投针 的总次数及针落到纸上与平行线中的某一条的总次数及针落到纸上与平行线中的某一条 相交的次数，共计投针相交的次数，共计投针22122212次，其中与平行次，其中与平行 线相交的有线相交的有704704次，发现它们的次，发现它们的商商2212 2212 7043.1420457043.142045与与 非常接近。非常接近。 以后又有多位数学家重复做过投针试验以后又有多位数学家重复做过投针试验 ，都得到了类似的结果。那么，投针试验，都得到了类似的结果。那么，投针试验 为什么能算出为什么能算出 的近似值呢？的近似值呢？ 如图，取一张大纸，如图，取一张大纸， 在上面画上一组平行线在上面画上一组平行线 ，使相邻两平