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Chapter 3(1)Chapter 3(1) 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 教学要求： 1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及 非齐次线性方程组有解的充要条件; 2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空 间的概念; 3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 形如 的方程组,称为n个未知数m个方程的线性方程组. 系数矩阵增广矩阵 常数项向量解向量是列向量 方程组的矩阵形式： 方程组的向量形式： 若方程组有解，则称方程组相容； 若方程组无解，则称方程组不相容； 若方程组有唯一解，则称方程组为确定方程组； 若方程组多于一个解，则称方程组为不定方程组. 方程组的矩阵形式： 方程组的向量形式： 1. 齐次线性方程组总有零解 所以齐次线性方程组总是相容的. 2. 齐次线性方程组AxO有非零解的条件 定理1. 推论. 3. 齐次线性方程组AxO解的结构 注意: (1) 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间 (2)若AxO有非零解, 则有无穷多个解, 这无穷多个 解作为向量必线性相关, 从而一定有最大无关组, 即 为解空间的基, 这里又称为基础解系. AxO的通解为 (2)这基础解系的线性组合. (3) 基础解系的定义 定理2. 结论1. 结论2. 结论3. 克莱姆法则 结论4. Proof. Proof. 注意: Axb的两个解的线性组合一般不是Axb的解. 其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. 所以，非齐次线性方程组Ax=b的通解为 四. 齐次线性方程组AxO的基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关 于是 可化为 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 下面证明 是齐次线性方程组的基 础解系 由线性无关的定义即可证明. 而前r个分量都由后n r个分量决定. 注意: (1) 基础解系不是唯一的; 定理3. The end 定理1. Proof. 从而A与B可互相线性表示, 即A与B等价. page413ex35 page488ex6 page
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