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下一页 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的在近似计算中的应用 教学目的： 理解微分的概念，了解概念的抽象 过程及思想方法，了解一阶微分形 式微分不变性，了解微分的几何意 义，熟练求出初等函数的微分。 教学重点： 函数微分的概念及求法 教学方式：启发讲授+自学指导 下一页上一页 一、微分的概念 的正方形，当边长边长 增加 时时，其面积积增 加多少？ 引例1：边长边长 为为 解: 设设正方形面积为积为 s，面积积增加部分记记作， 引例2：把例1中的正方形铁片改成正方体，问体积改变了多少？ 解: 则 定 义： 设函数y=f(x)在点x的一个邻域内有定义，如果 函数f(x)在点x处的增量y=f(x+ x)-f(x)可以表示为 y=Ax+,其中A与 x无关, 是 x的高阶无穷小,则 称Ax为函数y=f(x)在x处的微分,记作:dy,并称函数y=f(x) 在点x处可微. 问题1：当时dy =Ax 时,A=?与f(x)有什么关系？ 观察（1）、（2）发现： 例1 例2 下一页上一页 即函数y=f(x)在点x处可导, 且A= f (x) 证明: 因为函数y=f(x)在点x可微. 定理1 设函数y=f(x)在点x可微,则函数y=f(x)在点x处可导,且 A= f(x):反之,如果y=f(x)在点x处可导,则y=f(x)在点x可微 . 反之因为f(x)在点x处可导 所以f(x)在点x可微. 例2、求函数y=2lnx在x处的微分,并求当 x=1时的微分 (记作dy|x=1) . 解： 下一页上一页 二、微分的几何意义 上面我们已经讨论了增量、微分和 导数之间的关系，下面再从图形上直观 地反映它们之间的关系，以便进一步理 解它们。如右图: 即函数y=f(x)的微分dy就是曲线y=f(x)在点p处切线的纵坐标 在相应处x的增量，而y就是曲线y=f(x)的纵坐标在点x处的增 量。另外，我们看到当|x |很小时， |y-dy |比|x |小得多 下一页上一页 三、 微分在近似计算中的应用 可应用于求函数的近似值 可应用于求函数改变量的近 似值 例8、一个充好气的气球，半径为4m。升空后，因外
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