基本不等式提高题.doc

基本不等式提高题1已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx（a2+1）y1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A5B4C2D12已知a0，b1且2a+b=4，则+的最小值为（）A8B4C2D3设ab0，则a+的最小值为（）A2B3C4D3+24 已知M是ABC内的一点，且，BAC=，若MBC，MCA，MAB的面积分别为，x，y， 则的最小值为（）A16B18C20D245实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则xy的最大值为（）ABCD26 已知D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y， 则xy的最大值为（）ABCD7若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（）A2B4CD38若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+49设a1，b0，若a+b=2，则的最小值为（）A3+2B6C4D10已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A3BC4D2（+1）11设x0，y0，x+yx2y2=4，则的最小值等于（）A2B4CD12已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）AB0C1D13若x，yR，函数f（x）=（x+y）2+（y）2的最小值是（）A4B0C2D114设a，b，cR，且a+b+c=2，a2+b2+c2=12，则c的最大值和最小值的差为（）A2BCD15“”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（）A3B5C7D816若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是（）A1，2B1，2C1，1D2，217已知x，y满足x0，x2+（y2）2=2，则w=的最大值为（）A4B5C6D718若k1，a0，则k2a2+取得最小值时，a的值为（）A1BC2D419已知a0，b0，f=，则f的最小值为（）A8B16C20D2520若正数x，y满足+=1，则+的最小值为（）A1B4C8D1621若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）AB2C2D222设a，b0，且2a+b=1，则24a2b2的最大值是（）A+1BCD123已知实数x0，y0，02，且x+y=3，则的最小值为（）AB2CD324 设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S1，2，则下列 不等式一定成立的是（）A（a+b）16 Bbc（b+c）8C6abc12D12abc2425 已知点F（0，1），直线l：y=1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且 =，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交 于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为_26 设f（x）=a22b2x（ab0），当1x1时，f（x）0恒成立，当取得最小值时，a=_27在ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是_28已知x，y，zR+，且x+4y+9z=1，则+的最小值是_29 已知点A（1，1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+（1a，1b） 的点P（x，y）组成的区域若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为 _30设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（ac）2+（bd）2的最小值为_参考答案1（2015嘉兴一模）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx（a2+1）y1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A5B4C2D1考点：基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值解答：解：直线l1与l2的斜率存在，且两直线垂直，a2b（a2+1）=0，b=0，当a0时，|ab|=ab=a+2；当a0时，|ab|=ab=a2，综上，|ab|的最小值为2故选C点评：此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满足的关系是解本题的关键2（2015重庆模拟）已知a0，b1且2a+b=4，则+的最小值为（）A8B4C2D考点：基本不等式菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：a0，b1且2a+b=4，由b=42a0，解得0a2则+=f（a），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出解答：解：a0，b1且2a+b=4，b=42a1，解得0a则+=f（a），f（a）=+=，当时，f（a）0，此时函数单调递减；当时，f（a）0，此时函数单调递增当a=时，f（a）取得极小值即最小值，=+的最小值为故选：D点评：本题考查了导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（2015哈尔滨校级二模）设ab0，则a+的最小值为（）A2B3C4D3+2考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式分析：由题意可得ab0，a+=（ab）+b，由基本不等式可得解答：解：解：ab0，ab0，a+=（ab）+b4=4当且即当（ab）=b即a=2且b=1时取等号，a+的最小值为：4故选：C点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键4（2015烟台一模）已知M是ABC内的一点，且，BAC=，若MBC，MCA，MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A16B18C20D24考点：基本不等式；平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：由，BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4利用三角形的面积计算公式可得SABC=1已知MBC，MCA，MAB的面积分别为，x，y可得，化为x+y=再利用基本不等式=即可得出解答：解：，BAC=，bc=4SABC=1MBC，MCA，MAB的面积分别为，x，y，化为x+y=18，当且仅当y=2x=时取等号故的最小值为18故选：B点评：本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题5（2015上海二模）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则xy的最大值为（）ABCD2考点：基本不等式菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cos，2xy=2sin，0，2）化简利用三角函数的单调性即可得出解答：解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cos，2xy=2sin，0，2）则（xy）2=（x+y）24xy=4cos24sin=54（sin+）25，xy故选：C点评：本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（2015河南一模）已知D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）ABCD考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：如图所示，由于点P是线段DE上的任意一点，利用向量共线定理可得：存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得2x+y=，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：如图所示，点P是线段DE上的任意一点，存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得：，2x+y=，化为xy，当且仅当2x=y=时取等号故选：B点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（2015湖南一模）若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（）A2B4CD3考点：基本不等式菁优网版权所有专题：解三角形分析：设三角形另外两边分别为a，b可得a+b=6由余弦定理可得：42=a2+b22abcosC，化为，利用=5ab25，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：设三角形另外两边分别为a，b则4+a+b=10，a+b=6由余弦定理可得：42=a2+b22abcosC，16=（a+b）22ab2abcosC，化为，=5ab25=20，当且仅当a=b=3时取等号故选：A点评：本题考查了三角形的周长及其面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题8（2014重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+4考点：基本不等式；对数的运算性质菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：利用对数的运算法则可得0，a4，再利用基本不等式即可得出解答：解：3a+4b0，ab0，a0b0log4（3a+4b）=log2，log4（3a+4b）=log4（ab）3a+4b=ab，a4，a0b00，a4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a4）+7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号故选：D点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题9（2014淄博一模）设a1，b0，若a+b=2，则的最小值为（）A3+2B6C4D考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式即可得出解答：解：a1，b0，a+b=2，a10，a1+b=1=3+=3+2当且仅当b=（a1），a+b=2，即a=，b=2时取等号的最小值为故选：A点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题10（2015春和平区校级月考）已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A3BC4D2（+1）考点：基本不等式；二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得1z2=x2+y22xy，从而可得，由基本不等式和不等式的性质可得4解答：解：由题意可得0z1，01z1，z（1z）（）2=，当且仅当z=（1z）即z=时取等号，又x2+y2+z2=1，1z2=x2+y22xy，当且仅当x=y时取等号，1，1，4，当且仅当x=y=且z=时取等号，S=的最小值为4故选：C点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题11（2015赫章县校级模拟）设x0，y0，x+yx2y2=4，则的最小值等于（）A2B4CD考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由x+yx2y2=4可得x+y=x2y2+4，x0，y0于是=xy+，再利用基本不等式即可得出解答：解：由x+yx2y2=4可得x+y=x2y2+4，x0，y0=，当且仅当xy=2时取等号，因此的最小值等于4故选：B点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题12（2014鸠江区校级自主招生）已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）AB0C1D考点：基本不等式菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：由a2+b2=1，可设a=cos，b=sin，0，2）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性即可得出解答：解：a2+b2=1，可设a=cos，b=sin，0，2）a4+ab+b4=cos4+cossin+sin4=（cos2+sin2）22sin2cos2+cossin=+1=，当sin2=1时，上式取得最小值为0故选：B点评：本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了转化方法，属于中档题13（2014四川二模）若x，yR，函数f（x）=（x+y）2+（y）2的最小值是（）A4B0C2D1考点：基本不等式菁优网版权所有专题：计算题；不等式的解法及应用分析：f（x）=（x+y）2+（y）2表示（x，）与（y，y）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线y=上的点到y=x上的点的距离的最小值的平方，由曲线的性质可求答案解答：解：f（x）=（x+y）2+（y）2表示（x，）与（y，y）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线y=上的点到y=x上的点的距离的最小值的平方，而两曲线关于y=x对称，（1，1）或（1，1）到（0，0）的距离的平方即为所求，d=2=2，故选：C点评：该题考查函数的最值问题，考查转化思想，解决该题的关键是熟练式子的几何意义并能正确转化14（2014绵阳三模）设a，b，cR，且a+b+c=2，a2+b2+c2=12，则c的最大值和最小值的差为（）A2BCD考点：基本不等式菁优网版权所有专题：计算题分析：将c看成常数，求出a+b，ab，构造方程x2（2c）x+c22c4=0，应用判别式不小于0，解出不等式，求出c的最大值和最小值，作差即可解答：解：a+b+c=2，a+b=2ca2+b2+c2=12，（a+b）22ab+c2=12，（2c）22ab+c2=12，ab=c22c4于是a，b可以看成是关于x的方程x2（2c）x+c22c4=0的两根，=（2c）24（c22c4）0，解得，2c，c的最大值为，最小值为2，即c的最大值和最小值的差为故选C点评：本题主要考查多元最值问题，解决的方法是将其中的一个看作常数，应用基本不等式或二次方程有实数解的条件，判别式不小于0，解出不等式15（2014金华模拟）“”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（）A3B5C7D8考点：基本不等式菁优网版权所有专题：综合题；不等式的解法及应用分析：由调和平均数的定义，结合已知得到x=，再由x0得到y1，把x=代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值解答：解：由“调和平均数”定义知，x，y，xy的调和平均数为，整理得：x+y+1=xy，x=，x=0，y1则x+2y=当且仅当2（y1）=，即y=2时上式等号成立x+2y的最小值是7故选：C点评：本题考查了基本不等式求最值，在利用调和平均数的定义结合已知得到x、y的关系后，关键在于整理变形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求解，是中档题16（2014黄冈模拟）若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是（）A1，2B1，2C1，1D2，2考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：利用（xy）2+（xz）2+（yz）20，可得x2+y2+z2xy+xz+yz，又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）0，即可得出解答：解：（xy）2+（xz）2+（yz）20，x2+y2+z2xy+xz+yz，xy+yz+zx2；又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）0，xy+xz+yz=1综上可得：1xy+xz+yz2故选：A点评：本题考查了不等式的性质和灵活应用乘法公式的能力，属于中档题17（2014惠州模拟）已知x，y满足x0，x2+（y2）2=2，则w=的最大值为（）A4B5C6D7考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：首先将w的式子展开成3+，要求w的最大值，即求的最大值，运用不等式x2+y22xy，当且仅当x=y时取等号，结合条件x2+（y2）2=2，求出x，y，从而得到最大值解答：解：w=可化为w=3+，要求w=的最大值，即求的最大值，x0，x2+（y2）2=2，x0，2y2，若x=0，则y=2，w=3，若x0，y=0，则不成立，x0，y0x2+y22xy，1，当且仅当取等号，即x=y=1时，w=取最大值，且为4故选：A点评：本题主要考查基本不等式及变形的运用，应注意等号成立的条件，即取最值的条件，有时要检验18（2014武清区三模）若k1，a0，则k2a2+取得最小值时，a的值为（）A1BC2D4考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由基本不等式可得k2a2+当且仅当a=时取等号，又16，当且仅当=，即k=2时取等号，代入a=，可得答案解答：解：k1，a0，由基本不等式可得k2a2+2=当且仅当k2a2=，即a=时取等号，又=8（+）16当且仅当=，即k=2时取等号，当k=2即a=时，k2a2+取得最小值故选：B点评：本题考查基本不等式，准确变形并注意等号成立的条件是解决问题的关键，属中档题19（2014上海模拟）已知a0，b0，f=，则f的最小值为（）A8B16C20D25考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：两次利用基本不等式的性质即可得出解答：解：a0，b0，f=16，当且仅当a=4b，=2，即a=4，b=1时取等号故选：B点评：本题考查了基本不等式的性质，注意等号成立的条件，属于基础题20（2014和平区校级模拟）若正数x，y满足+=1，则+的最小值为（）A1B4C8D16考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由正数x，y满足+=1，可得x1=（y1），代入利用基本不等式即可得出解答：解：正数x，y满足+=1，（y1），x1=则+=（y1）+=4，当且仅当y=3（x=）时取等号+的最小值为4故选：B点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题21（2014唐山二模）若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）AB2C2D2考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由于正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，利用乘法公式和基本不等式可得：（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，即可得出解答：解：正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，当且仅当a=2b0时取等号，因此a+2b+c的最小值为故选：D点评：本题考查了乘法公式和基本不等式的应用，属于中档题22（2014春峰峰矿区校级期末）设a，b0，且2a+b=1，则24a2b2的最大值是（）A+1BCD1考点：基本不等式菁优网版权所有专题：计算题分析：先将2a+b=1两边平方，然后将24a2b2化简一下，然后利用二次函数求出ab的最值，从而可求出所求解答：解：2a+b=1，（2a+b）2=1，S=24a2b2=4ab+21，ab有最大值时S有最大值2a+b=1，2ab=bb2=（b）2，当b=时，2ab有最大值当b=时，a=，S有最大值+1=故选C点评：本题主要考查了基本不等式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题23（2014春沙坪坝区校级期末）已知实数x0，y0，02，且x+y=3，则的最小值为（）AB2CD3考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由于实数x0，y0，x+y=3，可得2x+（2）y+y=6变形为=，利用基本不等式的性质即可得出解答：解：实数x0，y0，x+y=3，2x+（2）y+y=6=3，当且仅当2x=（2）y=y，x+y=3，即x=1，y=2，=1时取等号的最小值为3故选：D点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题24（2015南宁二模）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S1，2，则下列不等式一定成立的是（）A（a+b）16Bbc（b+c）8C6abc12D12abc24考点：基本不等式；三角形中的几何计算菁优网版权所有专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：利用和差化积可得：sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB，可得sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R，利用正弦定理可得及S=，可得sinAsinBsinC=，即R2=4S，由于面积S满足1S2，可得2R，即可判断出解答：解：sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（AB）+2sinCcosC=2sinCcos（AB）cos（A+B）=4sinCsinAsinB，4sinCsinAsinB=，即sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，可得sinAsinBsinC=，即R2=4S，面积S满足1S2，4R28，即2R，由sinAsinBsinC=可得8abc，显然选项C，D不一定正确，Aab（a+b）abc8，即ab（a+b）8，但ab（a+b）16，不一定正确，Bbc（b+c）abc8，即bc（b+c）8，正确，故选：B点评：本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题25（2014怀远县校级模拟）已知点F（0，1），直线l：y=1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且=，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为（）A2B3C2D3考点：基本不等式；平面向量的综合题菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：如图所示，设P（x，y），则Q（x，1），由=，利用数量积运算得到动点P的轨迹C为：x2=4y设M（aR）得到M的方程为：=令y=0，则x22ax+a2=4，可得A（a+2，0），B（a2，0）利用两点之间的距离公式可得|DA|=l1，|DB|=l2当a0时，+=变形利用基本不等式即可得出a=0，直接得出解答：解：如图所示，设P（x，y），则Q（x，1），=，（0，y+1）（x，2）=（x，y1）（x，2），2（y+1）=x22（y1），化为x2=4y动点P的轨迹C为：x2=4y设M（aR）则M的方程为：=化为令y=0，则x22ax+a2=4，解得x=a+2，或a2取A（a+2，0），B（a2，0）|DA|=l1=，|DB|=l2=当a0时，+=22=2，当且仅当a=时取等号当a=0时，+=2综上可得：+的最大值为2故选：C点评：本题综合考查了数量积的运算、点的轨迹方程、两点之间的距离公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题26（2014凉山州模拟）设函数f（x）=a22b2x（ab0），当1x1时，f（x）0恒成立，当取得最小值时，a的值为（）ABCD考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：利用一次函数的单调性可得a2b22再利用基本不等式可得=，令|b|=t0，g（t）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出解答：解：函数f（x）=a22b2x（ab0），当1x1时，f（x）0恒成立，f（1）=a22b20，化为a2b22=，令|b|=t0，g（t）=，则=，令g（t）=0，解得t2=1令g（t）0，解得t21，此时函数g（x）单调递增；令g（t）0，解得0t21，此时函数g（x）单调递减当t2=1时，函数g（t）取得最小值，g（1）=12此时a2=b2+2=1+2=3，解得a=故选：D点评：本题考查了一次函数的单调性、基本不等式、利用导数研究其单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题27（2014春红岗区校级期末）在ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是（）A2，B2，C3，D3，考点：基本不等式菁优网版权所有专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：由三角形的面积公式可得SABC=bcsinA，可得sinA，由余弦定理可得cosA，可得，再由基本不等式可得2，综合可得解答：解：BC边上的高AD=BC=a，SABC=bcsinA，sinA=，cosA=（），=2cosA+sinA=sin（A+），其中tanA=2，又由基本不等式可得2=2，的取值范围是2，故选：A点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式以及基本不等式，属中档题28（2014春龙华区校级期末）已知x，y，zR+，且x+4y+9z=1，则+的最小值是（）A9B16C36D81考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：变形可得+=（+）（x+4y+9z）=14+