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函数的极值与导数 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; 【复习与思考】 (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值 与这两点附近的函数值有什么关系? x y o 7 2 -1 解析（1） 由 得增区间： 由 得减区间： （2）函数f (x)在x=0处的函数值比其附近的函 数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的函 数值都小 设函数y=f (x)在x=x0及其附近有定义， (1) 如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点 的函数值都大，即f (x)f (x0),则称 f (x0)是函数 y=f (x)的一个极小值.记作:y极小值=f (x0) 极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点 . y abx1x2x3x4 Ox 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点. (1) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一 点 附近的大小情况; (2) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3) 函数的极大(小)值可能不止一个,而且函 数的极大值未必大于极小值; 【关于极值概念的几点说明】 (4) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的 端点不能成为极值点.而函数的最值既可能在区 间的内部取得，也可能在区间的端点取得. 【问题探究】 函数y=f (x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的 导数符号有什么规律? y abx1 x2 x3x4 Ox (1) 如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)0 右侧f /(x0)0, 那么f(x0)是极小值 （3）检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右 负，那么 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值 （2）求方程 的根 （1）求导数 . 求可导函数 的极值的步骤如下： 【求函数极值的步骤 】 例、求函数 的极值 例题讲解 解： 当x变化时， 的变化情况如下表： +00+ 极大值y 2(-2,2)-2x 极小值 令 ，解得 当 时，y有极大值，并且 当 时，y有极小值，并且 例、求函数 的极值 解： 当x变化时， 的变化情况如下表： 无极值极小值0无极值y +0+00 1(0,1)0(-1,0)-1x 令 ，解得 当 时，y有极小值，并且 【思考交流】 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是 导数为0的点,反之导数为0的点不一
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