导数与不等式的证明(高考真题)【含答案】.docx

导数与不等式的证明1.【2013湖南文科】已知函数f（x）=.（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）(x1x2)时，x1+x20.【解析】 () .所以，。（）由()知，只需要证明：当x0时f(x) 0, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2xln xxx(2ln x1)，令f(x)0，得.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)证明：当0x1时，f(x)0.设t0，令h(x)f(x)t，x1，)由(1)知，h(x)在区间(1，)内单调递增h(1)t0，h(et)e2tln ettt(e2t1)0.故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立(3)证明：因为sg(t)，由(2)知，tf(s)，且s1，从而，其中uln s.要使成立，只需.当te2时，若sg(t)e，则由f(s)的单调性，有tf(s)f(e)e2，矛盾所以se，即u1，从而ln u0成立另一方面，令F(u)，u1.F(u)，令F(u)0，得u2.当1u2时，F(u)0；当u2时，F(u)0.故对u1，F(u)F(2)0.因此成立综上，当te2时，有.3【2013天津文科】设, 已知函数 () 证明在区间(1,1)内单调递减, 在区间(1, + )内单调递增; () 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. (1)设函数f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x)(x0)，f1(x)3x2(a5)，由a2,0，从而当1x0时，f1(x)3x2(a5)3a50，所以函数f1(x)在区间(1,0内单调递减f2(x)3x2(a3)xa(3xa)(x1)，由于a2,0，所以当0x1时，f2(x)0；当x1时，f2(x)0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增综合，及f1(0)f2(0)，可知函数f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增(2)由(1)知f(x)在区间(，0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增因为曲线yf(x)在点Pi(xi，f(xi)(i1,2,3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f(x1)f(x2)f(x3)不妨设x10x2x3，由(a5)(a3)x2a(a3)x3a，可得(a3)(x2x3)0，解得x2x3，从而0x2x3.设g(x)3x2(a3)xa，则g(x2)g(0)a.由(a5)g(x2)a，解得x10，所以x1x2x3，设t，则a，因为a2,0，所以t，故x1x2x3，即x1x2x3.4【2014天津理科】已知函数，.已知函数有两个零点，且.（）求的取值范围；（）证明 随着的减小而增大；（）证明 随着的减小而增大.（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）时 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.（2）时， 由，得.当变化时，的变化情况如下表：0这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：1；2存在，满足；3存在，满足.由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.（）证明：由，有.设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，. 对于任意的，设，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.又由，得.所以，随着的减小而增大.（）证明：由，可得，.故.设，则，且解得，.所以，. 令，则