近世代数课件--3.7理想.ppt

7 理想 7.1 定义及例子 7.2 理想的交与和 7.3 除环的理想 7.4 生成理想 7.1 定义及例子 在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如 （） （） (强闭合性) 注1：理想一定是一个子环. 由（），一个理想 是一个加群，由于（）， 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个 子环。但（）不仅要求 的两个元的乘积必须 在 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个 任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。 注2：可以定义左(右)理想, p113, ex6. 注3：一个环R至少有以下两个理想： 1. 只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想； 2. R自己，这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想. 我们举两个例。 例 1 看整数环R。那么一个整数 ，n的所有 倍数 作成一个理想。 例 2 看一个环R一元多项式环 。那么所有多 项式 作成 的一个理想。 7.2 理想的交与和 命题1 设 是R的两个理想,那么 (i) 仍然是理想 (ii) 仍然是理想, 称为和. 注4： 一般不是理想. 是包含 的最小 理想. 7.3 除环的理想 定理 1 一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位 理想。 证明 假定 是R的一个非零理想。那么 ， 由理想的定义， ，因而R的任意元 这就是说， 证完。 注5：在一个有单位元1的环中, 如果理想 包含一个 可逆元, 那么 是单位理想. 注6：定理1的逆命题不成立(p119, ex.4). 7.4 生成理想 给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想, 称为生成理想. 一个元素生成的理想主理想 设 是R里一个元，利用 我们作一个集合 ， 包 含所有可以写成 形式的元。那么 1 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元 相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从 左边去乘 一个元也得到一个这种形式的元，就是 用r从右边去乘的元 情形一样。 2 显然是包含 的最小的理想。 定义2 上面 的叫做由元 生成的主理想。这个 理想我们用符号 来表示。 以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 的元的形式并不是永远象上面那样复 杂。 1 当R是交换环时， 的元显然都可以写成 的形式 2 当R有单位元的时候， 的元都可以写成 的形式，因为这时， 3 当R既是交换环又有单位元的时候， 的元的形 式特别简单，这时它们都可以写成 因此, 这时 也可以写出aR。 例3. 例1里的理想就是由n生成的主理想 。 注7：如果R=2Z, (4)的元素形如: ? 多个元素生成的理想 在环R里任意取出m个元 , 主理想的概 念容易加以推广。 定义3 m个主理想 的和, 叫做 生成的理想。这个理想我们 用符号 来表示。 注8： 是包含 的最小理想。 例4 在Z中, (a,b) 可以简化为主理想. 我们举一个例 例 5 在一些环中, (a,b) 不可以简化为主理想 假定 是整数环R上的一元多项式环。我们看 的理想 。因为 是有单位元的交换环， 由所有的元 作成：换一句话说，2刚刚包含所有多项式