《ch53基本积分法》PPT课件.ppt

一、凑微分法 例 计算 分析: 如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与 积分变量变得相同, 那么就可用公式 求出此不定积分. (u是x的函数) 不同！ 5.3 基本积分法 1 注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x)(可不必换元), 使原积分变成一个可直接用积分公式来计算. 这种方法称为凑微分法. 其理论依据为 2 定理4 注：定理4中,若u为自变量时,当然有 当u 换为(x)时, 就有成立. 不定积分的这一性质称为积分形式的不变性. 2、步骤：凑微分法的关键是“凑”, “凑”的目的是把不易计算的 不定积分化为容易用“直接计算法”计算或查表计算的不定积分： 成立; 证： （第3、4步可以省略） 1、公式： 3 常见的凑微分公式： 4 例8 求下列各式的不定积分 结论1: 5 6 例9 求下列各式的不定积分 结论2: 同理可得 7 例10 求下列各式的不定积分 8 结论3: 注：若被积函数的一部分(x)的导数是另一个因子 （ 位于分子）， 则可以这样凑微分： 9 或原式 同理可得 10 例11 求下列各式的不定积分 同理可得 结论4: 一般地, 对形如 这样的不定积分 当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分 再积分； 11 一般地,对形如 这样的不定积分 若nm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数； 若同为偶，则化为 对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分. 则化为 来积分 12 注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数 的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个 常数.如 法一: 法二: 法三: 例12 (1) 设函数(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分 解 由题意知 则 13 (2) 若己知 , 求： 14 15 课堂练习: 求下列各式 16 17 注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变 换 二、第二类换元法 18 定理5 设函数(x)连续, x=(t)单调且有连续的导函数 , 而 证明 即 则 1、公式 19 注1 换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样。重点不同，目标标相同。 注2 求解步骤为骤为 ： 2、注意 20 3、常用换元公式： （1）.被积函数含有 的因子时,可令 化简函数后再积分. 例14 求下列各式 21 22 （2）.被积函数含有 的因子时, 可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化. t a x 例15 求下列各式 23 t a x 如图 24 t a x 25 （3）.倒代换 当被积函数的分母的次数与分子的次数之差 大于1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子x. 例16 求 26 例17 求 法一: 三角代换令 法二: 根式代换令 法三:凑微分法,原式= 原式= t x 1 27 法四: 倒代换令 注：通过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补 充在基本积分表里： 28 29 定理5 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则 直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问 题;但对形如等类型的不定积分, 采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则 的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得 分部积分法. 证 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu , 对此式两边同时求不定积分, 得 1、公式 三、分部积分法 30 而不定积分 易计算, 则可采用分部积分公式,使计算大为简化. 注1:不定积分 不易计算, 例18 求 解 (1) 设u=lnx,dv=dx,则v=x ,由分部积分公式得 2、步骤： 注2：如何正确地选定u和v却显得非常重要.一般说来要 考虑以下三点: 积分容易者选作dv; 求导容易者选作u; 不可兼得时以前者为优先。 31 例19 求 否则若 比原积分更难积出. 32 例20 求下列不定积分 33 34 练习： 35 例21 求 这是一个关于 的方程,移项并两边同除以2,得 移项: 36 37 例22 求 解 令 注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使