《函数极值的概念》PPT课件.ppt

2.3.1 函数极值的概念 2.3.2 函数极值的求法 第2章 极限 2.3 函数的极值 2.3.3 函数最值的求法 2.3.3 函数最值应用举例 首页上页返回下页 y xO ab yf(x) x1 f (x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4) 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值 f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各 点处的函数值，相比有什么特点? 观察图像： 首页上页返回下页 2.3.1 函数极值的概念 设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点 如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) 0 f (x)0 f (x)0 首页上页返回下页 2.3.2 函数极值的求法 (1) 确定函数的定义域； 求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (2) 求出导数f(x)； (3) 令f (x)=0，求出 f (x)的全部驻点； (4) 用驻点把定义域划分为部分区间， 考察每个部分区间内 f (x) 的符号， 以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点 。 首页上页返回下页 例求 (4) 列表讨论，如下： x f (x) f (x) (,2) + 2 0 (2 , 3) 单调减少 3 0 (3 , + ) 单调增加 函数在 x = 2处取得极小值62 在 x = 3处取得极大值16.5 的单调区间和极值. 解：(1) f (x) 的定义域为(,)； (2) f(x) =3x + 3x + 18 (3) 令 f (x) = 0得驻点 x1 =2, x2 =3 单调减少 极小值62极大值16.5 首页上页返回下页 2.3.3 函数最值的求法 y xO M ab yf(x) m x1x2x3 x4 x5 问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？ 观察极值与最值的关系： 首页上页返回下页 x O y yf(x ) ab x O y yf(x ) ab 如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b) 是 f (x)在a, b上的最大值(最小值)。 函数的最值一般分为两种情况： （1） 首页上页返回下页 x O y f(x0) yf(x ) ax0b xO y f(x0) yf(x ) ax0b 如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一 个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大 ( 小)值就是函数在区间a, b上的最大(小)值。 函数的最值一般分为两种情况： （2） 首页上页返回下页 求函数在区间内的最值的步骤 (1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值； (2) 求出区间端点处的函数值； (3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数 的最大值，最小的就是函数的最小值。 首页上页返回下页 求函数 y = x + 3 x9x在上4 , 4 的最大值和最小值。 解 (1) 由 f (x)=3x +6x9, (2) 区间端点4 , 4 处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76 (3) 比较以上各函数值， 例 得驻点为 x1=3，x2=1 驻点处的函数值为f (3)=27, f (1)=4 可知函数在4 , 4 上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (3)=27 首页上页返回下页 求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。 答 案 最大值 f (/2)=/2，最小值 f (/2)= /2 最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (5)= 5+ 最大值 f (1)=29，最小值 f (3)= 61 练 习 首页上页返回下页 2.3.4 函数最值应用举例 在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间 ( a , b )内只有一个驻点 x0 ，而且从实际问题 本身又可以知道函数在 ( a , b ) 内必有最大值 或最小值，那么 f ( x0 )就是所求的最大值或最 小值. 首页上页返回下页 把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各 截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成 方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作 的方盒容积最大？ 题 例 48 48 48-2x 解 设截去的小正方形 的边长为x cm x x 方盒容积为V cm 首页上页返回下页 把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各 截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成 方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作 的方盒容积最大？ 题 例 方盒容积为V cm 则 V = x(482x) , ( 0 x 24 ) 482x x 解 设截去的小正方形 的边长为x cm 首页上页返回下页 把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各 截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成 方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作 的方盒容积最大？ 题 例 解 设截去的小正方形的边长为x cm , 方盒容积为V cm 则 V = x(482x) , ( 0 x 24 ) 求导数得 V =(482x)+2x(482x)(2) 令V = 0 , 求得函数的唯一驻点为 x = 8 于是 , 当 x= 8