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2.2 连续函数的运算与初等连续性 定理1 例1 由于连续性是特定的极限形式, 借助极限的四则 运算法则, 可得到连续函数的如下运算性质: 一、连续函数的运算性质 1. 四则运算 例2 设 均在上连续, 证明函数 也在上连续. 证 根据连续函数运算法则, 可知也在 上连续. 2.反函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调、连 续的反函数. 例如,在 上单调递增且连续, 故 在 上也单调递增且连续. 同理, 在 上单调递减且连续; 而 在 上单调递增且连续, 在 上单调递减且连续. 小结 三角函数及其反函数在其定义域内皆连续. 注意到前述运算性质及三角函数的连续性,我们有 定理3 连续函数的复合函数是连续的. 证 设函数 于是 故复合函数 且 即 3.复合函数的连续性 在上连续 单调 递增, 又如, 其反函数在 上也连续单调递增. 由连续函数链 因此在 上连续. 复合而成, 附注 定理3的意义与应用： 1)给出了变量代换 的理论根据： 例3 函数 例4 求 解 原式 例5 求 解 令则 原式 特别 对 有 2)给出了复合函数求极限的简洁方法-极限符号 与函数符号可以交换顺序. 例6 求 解 原式 说明 若 则有 （待证） 二、初等函数的连续性 指数函数 在上述运算性质的基础上, 由于 在 上单调而连续; 从而 在 上单调连续; 进而, 幂函数 对 的不同取值, 在相应的定义域上均连续. 综上所述并 结合初等函数的定义, 即得如下的: 定理5 基本初等函数在定义域内连续. 定理6 初等函数在其定义区间上连续. 说明 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1)初等函数仅在其定义区间内连续, 而在整个 定义域内不一定连续. 例如, 但在原点x = 0 的邻域内没有定义, 注意 2)由此给出了初等函数求极限的最基本方法- 代入法： 的定义域为 上连续. 故仅在区间 例7 例8 解 解 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 思考与练习 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断,处处连续 . 反之是否成立? 提示:“反之” 不成立 . 2. 阅读：书P42 例3；
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