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控制系统的状态空间模型 v现代控制理论是在引入状态和状态空间概念 的基础上发展起来的。 在用状态空间法分析系统时,系统的动态特性是用 由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。 它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时 确定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便地 处理初始条件。 因而,状态空间模型反映了系统动态行为的全部信 息,是对系统行为的一种完全描述。 v状态空间分析法不仅适用于SISO线性定常系 统,也适用于非线性系统、时变系统、MIMO 系统以及随机系统等。 因而,状态空间分析法适用范围广,对各种不同的 系统,其数学表达形式简单而且统一。 更突出的优点是,它能够方便地利用数字计算机进 行运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制, 从而显示了它的极大优越性。 第一节 状态和状态空间模型 v系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上 的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须 准确掌握和深入理解。 状态 状态变量 状态空间 状态空间模型 1. 系统的状态和状态变量 v动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统 过去、现在将来的运动状况。 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分 重要。 “状态”的定义如下。 v定义 动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为 的一个最小变量组。 该变量组的每个变量称为状态变量。 该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。 一、状态空间的基本概念 v“状态”定义的三要素 完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的 值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行 为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。 动态时域行为。 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互 独立的。 v减少变量,描述不全。 v增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必 要。 v若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状 态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), ,xn(t). 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这 个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下: 多输入多输出系统示意图 v状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或 观测的量； 可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直 接相对应的抽象的数学变量。 状态空间 v状态变量与输出变量的关系 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量 。 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与 控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的 全部动态特性。 因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化 规律。 v可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变 量的输出空间的投影,一个子集。 输出 空间 空间映射 x y 2. 系统的状态空间 v若以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t) 为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空 间,并称为n维状态空间,记为Rn. v状态向量的端点在状态空间中的位 置,代表系统在某一时刻的运动状 态。 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。 状态轨线如图2-2所示。 图2-2 二维空间的状态轨线 状态变量选取的特点： 状态变量的选取具有非唯一性：即可用某一组， 也可用另一组数目最少的变量。 状态变量个数的选取具有唯一性： v要注意的是状态变量虽然具有非唯一性，但不是 所有的变量都可以作为状态变量。例如：纯电阻 电路就没有状态变量，因为在这类电路的元件上 ，任意时间的电流、电压仅取决于该时刻的激励 ，其形成是一个瞬时的作用，元件过去的历史（ 初始条件）对确定电路中任意元件上的响应是无 关的，输入输出之间仅是一般的代数关系，这种 系统属于瞬时（无记忆）系统，所以这种系统就 不能用状态变量法来分析。因此，选状态变量的 条件是：各状态变量间不能用代数方法互求，且 其数目对于给定系统是确定的。 状态变量的个数一般应为独立一阶储能元件(如电感和 电容)的个数 二、系统的状态空间模型 v状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一 种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的 基础。 状态空间模型由 v描述系统的动态特性行为的状态方程和 v描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方 程 所组成。 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电 网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进 行一般的讨论。 v例 某电网络系统的模型如图所 示。 试建立以电压ui为系统输入, 电容器两端的电压uC为输出 的状态空间模型。 q 解 1. 根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。 对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各 电压和电流所满足的方程 例RLC电网络系统 2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件的个数。 对本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的 一阶矩阵微分方程组-状态方程。 每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1, 非导数项列写在方程的右边。 对本例,经整理可得如下状态方程 写成向量与矩阵形式为： 4. 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。 对本例 其中 5. 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态 空间模型的状态空间模型 v由上述例子,可总结出状态空间模型的形式为 其中x为n维的状态向量; u为r维的输入向量; y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵; C为mn维的输出矩阵; D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。 描述线性系统 的主要状态空 间模型,切记! v对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性, 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这 种直联关系,即直联矩阵D=0。 v上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至 非线性系统、 时变系统。 1. 非线性时变系统 其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为如下n维和m维关于状态向量x、输 入向量u和时间t的非线性向量函数 f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u,t) fn(x,u,t) g(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t) 2. 非线性系统 其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量 函数。 这些非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不 随时间变化而变化。 3. 线性时变系统 其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。 4. 线性定常系统 q 为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为 (A(t),B(t),C(t),D(t). 类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为 (A,B,C,D). 几种简记符的意义: 三、线性系统状态空间模型的结构图 v线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象 说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。 在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。 系统结构图主要有三种基本元件: v积分器, v加法器和 v比例器, 其表示符如图2-4所示。 图2-4 系统结构图中的三种基本元件 v例 线性时变系统 的结构图如图所示。 图 多输入多输出线性时变系统的结构图 v若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出 各变量间的结构图。 图2-6表示的是状态空间模型如下所示的双输入-双输出线 性定常系统的结构图。 双输入双输出线性定常系统结构图 第二节 控制系统的状态空间模型的建立 由机理出发 由微分方程出发 由传递函数出发 由系统结构图出发 一、 根据系统机理建立状态空间模型 建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步,是 控制理论和工程的基础. 上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构 成的电网络系统的状态空间模型的建立，其依据为各电 气元件的物理机理及电网络分析方法. 这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称 为机理建模. 机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和 热量等)在储存和传递中的动态平衡关系,以及各环节、元 件的各物理量之间的关系,如电感的电压和电流满足的动 态关系. 建立动态系统数学模型的主要机理/依据有: 电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电感和 电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系. 机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力 与位移、速度间的关系. 对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度. 化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系 统中参加反应的物料的传递和平衡关系. 经济系统中的投入产出方程。 双输入-三输出机械位移系统 例 设机械位移系统如图所示。 力F及阻尼器汽缸速度v为两种 外作用，给定输出量为质量块 的位移x及其速度 、加速度 。图中m、k、f分别为质量、弹 簧刚度、阻尼系数。试求该双 输入-三输出系统的动态方程。 解 据牛顿力学，故有 显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微 分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 和 作为状 态变量。设 ，三个输出量为 ， 可由微分方程导出下列动态方程： 其向量-矩阵形式为 式中 机电系统的状态空间描述 图表示某电枢控制的直流电动机,其中Ra和La为电枢回路总电阻和 总电感,J为转动惯量,负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦. 试列写以电枢电压u(t)为输入,轴的角位移(t)为输出的状态空间模 型. 解 1. 设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区. 按照图所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转 动动力学方程 其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩 Ea=Ced/dt, M=CMia 其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量 ) . 因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为 2. 选择状态变量. 对于本例,若已知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初 始时刻t0的值,以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解. 因此,可以选择状态变量如下 3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程 4. 建立输出方程 y=x2 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型 二 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程 与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态 空间模型。 这样的问题称为系统的实现问题。 这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持 系统输入输出间的动态和静态关系不变。 由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型 多输入多输出线性系统 非线性系统 1、高阶常微分方程建立状态空间模型 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含 输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n)+a1y(n-1)+any=bu 其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如 下状态空间数学模型-状态空间模型 问题的关键是如何选择状态变量 由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0) 已知,则对给定的输入u(t),微分方程有唯一解,也即系统在tt0 的任何瞬时的动态都被唯一确定。 因此,选择状态变量为如下相变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻划系统的动态特性。 取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明 确,易于接受。 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如 下状态方程 和输出方程 y=x1 将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有 该状态空间模型可简记为: 其中 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方 程中的系数a1, a2, an之间,输入矩阵B与方程中系数b之 间的对应关系。 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1 个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是 一类重要的矩阵,这在后面的章节中可以看到。 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”+6y”+11y+6y=2u 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=2 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时, 可得状态空间模型如下 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方 程的一般表达式为 y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu 建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型- -状态空间模型 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量? 若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程 根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为 分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连 续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。 因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接 将输出y的各阶导数项取作状态变量。 为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常, 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原 则是: 使状态方程中不显含输出u的各阶导数。 根据上述原则,选择状态变量如下 其中i(i=0,1,n)为待定系数。 因此,有 若待定系数i(i=0,1,n)满足如下关系式 0=b0 1=b1-a10 2=b2-a11-a20 n =bn-a1n-1-an0 即i(i=0,1,n)满足如下方程组 则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的 状态空间模型 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24u 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此,有 0=b0=0 1=b1-a10=2 2=b2-a11-a20 =4 3=b3-a12-a21-a30 =-12 因此,当选择状态变量如下时 即得系统的状态空间模型为 其系统结构图如下所示 2、由传递函数建立状态空间模型 下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状 态空间模型。 关键问题: 1. 如何选择状态变量 2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变 线性定常微分方程 由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前 面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适 用于将传递函数建立变换为状态空间模型。 类似地, 由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分 方程建立状态空间模型。 传递函数 建立状态空间模型方法 对线性定常系统 拉氏变换 实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母 多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。 而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真 有理传递函数。 描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的 如下传递函数 对上述传递函数,由长除法,有 其中 建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D) 。 上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D; 严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即 1. 传递函数中极点互异时的变换 对于传递函数G(s),其特征方程为 sn+a1sn-1+an=0 若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可 将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为 下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。 将G(s)的乘以s-s1,有 因此,由于特征根s1,s2,sn互异，有 q 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。 考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足 因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足 则,经反变换可得系统状态方程为 相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为 Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s) 因此,经拉氏反变换可得如下输出方程 y=k1x1+k2x2+knxn 整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重 要特征,即A为对角线矩阵。 系统矩阵A具有上述对角线 形式的状态空间模型即为 对角线规范形。 事实上对角线规范形其实 是将系统转换为n个一阶子 系统(惯性环节)的并联,如 右图所示。 图2-11 对角线规范形的结构图 例用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型 y”+6y”+11y+6y=2u 解 由系统特征多项式 s3+6s2+11s+6 可求得系统极点为 s1=-1 s2=-2 s3=-3 于是有 其中 故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性 环节的输出, 可得如下状态空间模型 q 将上述结果与前例的结果