《zal矢量分析》PPT课件.ppt

1.3 标量场的梯度 场的概念场的概念 场的一个场的一个重要的属性重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有 限个点和表面外，其物理量应是处处连续的；限个点和表面外，其物理量应是处处连续的； 场的分类场的分类 1 空间某一区域定义一个标量函数，其值随空间坐标 的变化而变化，有时还可能随时间变化。则称该区 域存在一个标量场。 在标量场中，各点的场量是随空间位置变化的标量 。 一个标量场可以用一个标量函数来表示。 例如，在直角坐标下， 如温度场，电位场，高度场。 1.3.1 标量场的等值面 标量场标量场 2 等值面的定义等值面的定义 例如：等温面、等位面 在研究标量场时，常用在研究标量场时，常用等值面等值面形象、直观地描述物理量在空间的分布状况形象、直观地描述物理量在空间的分布状况 。 等值面的特点等值面的特点 常数c取一系列不同的值，就得到一系列不同 的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面族充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 3 1.1.方向导数的概念方向导数的概念 1.3.2 方向导数 标量场标量场u u(x,y,z(x,y,z) )的等值面只描述了场量的等值面只描述了场量u u的的分布状况分布状况， 而研究标量场的另一个重要方面是，研究标量场而研究标量场的另一个重要方面是，研究标量场u u(x,y,z(x,y,z) )在场中任一在场中任一 点的邻域内点的邻域内沿各个方向的变化规律沿各个方向的变化规律。为此，引入了标量场的。为此，引入了标量场的方向导方向导 数数和和梯度梯度的概念。的概念。 设设MM 0 0 是标量场是标量场u u(M(M) )中的一个已知点，从中的一个已知点，从MM 0 0 出发沿某一方向引一条射出发沿某一方向引一条射 线线l l。MM是是l l上的动点，到点上的动点，到点MM 0 0 的距离为的距离为l l，如图所，如图所示。若当示。若当MM沿射线趋沿射线趋 于于MM 0 0 ( (即即 l l趋于零趋于零) )时时，比值，比值 的极限存在，则称此极限为标量场的极限存在，则称此极限为标量场 u(Mu(M) )在点在点MM 0 0 处沿处沿l l方向的方向导数，即：方向的方向导数，即： 4 由此可知，方向导数是标量场由此可知，方向导数是标量场u(M)u(M)在点在点MM 0 0 处沿处沿l l方向对距离的变化率。方向对距离的变化率。 注：方向导数与点M0和l方向都有关，因此，标量场中，在 一个给定点M0处沿不同的方向，其方向导数一般是不同 的。 5 2.2.方向导数的计算公式方向导数的计算公式 方向导数的定义方向导数的定义与坐标系无关与坐标系无关，但其具体的计算公式却与坐标系有，但其具体的计算公式却与坐标系有 关。根据复合函数求导法则，在直角坐标系中：关。根据复合函数求导法则，在直角坐标系中： 设设l l方向的方向余弦为方向的方向余弦为coscos、coscos、coscos，即，即： 则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为： 6 例题： 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方 向的方向导数。 解：l方向的方向余弦为： 7 而： 数量场在l方向的方向导数为： 在点M处沿l方向的方向导数： 8 1.3.3 梯度 从标量场的某一点出发有无穷多个方向。一般来说，沿这些不同方从标量场的某一点出发有无穷多个方向。一般来说，沿这些不同方 向上的变化率的大小向上的变化率的大小( (方向导数方向导数) )是不同的，必然存在一个是不同的，必然存在一个变化最大变化最大 的方向的方向。为此，引入。为此，引入梯度梯度的概念。的概念。 1.1.梯度的概念梯度的概念 标量场的梯度是一个标量场的梯度是一个矢量矢量。标量场标量场变化最大的方向变化最大的方向为标量场梯度的为标量场梯度的 方方 向，其大小为向，其大小为最大的变化率最大的变化率或者或者最大的方向导数最大的方向导数。记作。记作grad ugrad u， 即：即： 2.2.梯度的计算式梯度的计算式 梯度的定义与梯度的定义与坐标系无关坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。，但梯度的具体表达式与坐标系有关。 9 在直角坐标系中，变化率最大的方向上的单位矢量表示为在直角坐标系中，变化率最大的方向上的单位矢量表示为 最大的变化率（方向导数）表示为最大的变化率（方向导数）表示为 令令 则则 矢量矢量 是在给定点处的一是在给定点处的一常矢量常矢量，与方向与方向l l无关无关。因此上式中，当。因此上式中，当 与与 的方向一致时，即的方向一致时，即cos( , )=1 cos( , )=1 时，标量场在该点处的方向导数最大，时，标量场在该点处的方向导数最大， 即即沿矢量沿矢量 方向的方向导数最大方向的方向导数最大，此最大值为矢量，此最大值为矢量 的模。根据梯度的模。根据梯度 的定义，的定义， 就是梯度。就是梯度。10 在直角坐标系中，梯度的表达式为在直角坐标系中，梯度的表达式为 引入哈密顿算符引入哈密顿算符“ “” ”，在直角坐标系中表示为，在直角坐标系中表示为 哈密顿算符的哈密顿算符的双重性质双重性质：哈密顿算符是：哈密顿算符是矢量矢量 哈密顿算符具有哈密顿算符具有微分微分特性特性 则标量场的梯度可表示为则标量场的梯度可表示为 这表明标量场这表明标量场u u的梯度可认为是的梯度可认为是算符算符作用于标量函数作用于标量函数u u的一种运算。的一种运算。 又称为矢性微分算符 11 在圆柱坐标系中，哈密顿算符在圆柱坐标系中，哈密顿算符“ “” ”和梯度的表达式为和梯度的表达式为 在球坐标系中，哈密顿算符在球坐标系中，哈密顿算符“ “和梯度的表达式为和梯度的表达式为 12 3.3.梯度的性质梯度的性质 （1）标量场u的梯度是一个矢量场，通常称u为标量场 u所产生的梯度场； （2）标量场u(M)中，在给定点沿任意方向l的方向导数 等于梯度在该方向上的投影。 （3）标量场梯度的大小表示标量场的最大变化率。 （4） 标量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直于过该点的 等值面，且指向函数u(M)增加的方向。即，梯 度就是该等值面的法向矢量。 13 4.4.梯度的运算法则梯度的运算法则 14 15 简单描述 16 简单描述 17 简单描述 18 矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数，其大小和方向随 空间坐标的变化而变化，有时还可能随时间变化。 则称该区域存在一个矢量场。 如速度场，电场，磁场。 一个矢量场可以用一个矢量函数来表示。 一个矢量场可以分解为三个分量场。 例如，在直角坐标下， 1.4 矢量场的通量与散度 其中的三个分量分别是 沿x、y、z方向的分量。 19 对于矢量场，可用一些有向曲线来形象对于矢量场，可用一些有向曲线来形象 描述矢量在空间的分布，这些有向曲线描述矢量在空间的分布，这些有向曲线 称之为称之为矢量线矢量线。 矢量线的矢量线的疏密程度疏密程度代表矢量线的大小。代表矢量线的大小。 在矢量线上，任一点的在矢量线上，任一点的切线方向切线方向都都 与该点的与该点的场矢量方向场矢量方向相同。相同。 在直角坐标系中，矢量场表示为 1.4.1 矢量场的矢量线 矢量线定义矢量线定义 矢量线性质矢量线性质 20 M(x,y,z)是场中的矢量线上的任意一点， 其矢径与其微分矢量分别为 点M处的矢径微分与矢量线相切， 即点M处 与 共线， / ，于是有 这就是矢量线的这就是矢量线的微分方程组微分方程组。解此方程组即可得到矢量线方。解此方程组即可得到矢量线方 程，从而绘制出矢量线。程，从而绘制出矢量线。 21 简单描述 【例1.4.1】设点电荷q位于坐标原点， 它在空间任一点 M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为： 式中，q、均为常数， =exx+eyy+ezz为M点的位置矢量 。求 的矢量线方程并画出矢量线图。 22 简单描述 23 简单描述 24 1.4.2 矢量场的通量 分析和描绘矢量场的性质时，分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量矢量场穿过一个曲面的通量是一个重是一个重 要的基本概念。要的基本概念。 设设S S是一空间曲面，是一空间曲面，dSdS为其上的面元，取一个与此面元相垂直的单位为其上的面元，取一个与此面元相垂直的单位 矢量，即法向单位矢量矢量，即法向单位矢量 ，则称矢量：，则称矢量： 为为面元矢量面元矢量。即：。即： 法向单位矢量法向单位矢量 的取法有两种情况：的取法有两种情况： 25 闭合曲面情况 非闭合曲面情况 26 通量的概念通量的概念 将矢量场将矢量场 与其中的任一面元矢量与其中的任一面元矢量 的的标量积标量积 定定义为义为义为义为 矢量矢量 穿穿过过过过面元矢量面元矢量 的通量。将曲面的通量。将曲面S S上各面元的上各面元的 相加，相加，则则则则得到矢量得到矢量 穿穿过过过过曲面曲面S S的的通量通量，即：，即： 例如：在电场中，电位移矢量例如：在电场中，电位移矢量D D在某一曲面在某一曲面S S上的面积分就是矢量上的面积分就是矢量D D 通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度B B在某一曲面在某一曲面S S上的面积分上的面积分 就是矢量就是矢量B B通过该曲面的磁通量。通过该曲面的磁通量。 如果如果S S是一个闭合曲面，则通过闭合曲面的总通量可表是一个闭合曲面，则通过闭合曲面的总通量可表 示为：示为： 27 若若 从面元矢量从面元矢量 的负侧穿到的负侧穿到 的正侧时，的正侧时， 与与 相交成相交成锐角锐角， 则通过面元则通过面元 的通量为的通量为正值正值；反之，二者相交成；反之，二者相交成钝角钝角，通过面元，通过面元dSdS 的通量为的通量为负值。负值。 通过闭合曲面的总通量则表示通过闭合曲面的总通量则表示穿出穿出闭合面闭合面S S内的正通量与内的正通量与进入进入闭闭 合曲面合曲面S S的负通量的的负通量的代数和代数和。 通量的物理意义通量的物理意义 正通 量源 28 1.4.3 矢量场的散度 矢量场穿过闭合曲面的通量是一个矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量积分量，不能反映场域内，不能反映场域内每一点每一点 的通量特性的通量特性，为此，引入矢量场的散度。，为此，引入矢量场的散度。 1. 1. 散度的概念散度的概念 在矢量场在矢量场 中的任一点中的任一点MM处作一个处作一个包围该点包围该点的任意闭合曲面的任意闭合曲面S S，设，设S S所所 限定的体积为限定的体积为VV，当体积，当体积VV以以任意方式任意方式缩向缩向MM点，即趋近于零时，点，即趋近于零时， 若下若下 列极限列极限: : 存在，则称此极限为矢量场存在，则称此极限为矢量场 在点在点MM处的处的散度散度。 29 由散度定义可知，散度表示单位体积内散发出来的由散度定义可知，散度表示单位体积内散发出来的矢量的通量矢量的通量 。 30 2. 2. 散度的计算式散度的计算式 散度与散度与VV的的形状形状无关无关，只要在取极限过程中，所有尺，只要在取极限过程中，所有尺 寸都趋于零即可。寸都趋于零即可。 31 一些常用的散度运算恒等式 32 1.4.4 散度定理 散度定理或高斯定理散度定理或高斯定理 散度定理表明，矢量场的散度在体积散度定理表明，矢量场的散度在体积V V上