《CH184条件极值》PPT课件.ppt

第18章 第4节 条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 1 方法1 代入法. 求一元函数的无条件极值问题 例如 , 转化 条件极值的求法: 2 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 3 引入辅助函数 辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 这样就把条件极值问题转化为函数L 的无条件极值问题 4 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 5 一般的,在条件组 的限制下,求目标函数 的极值. 拉格朗日函数为 其中为拉格朗日乘数. 且有下面结论(P166TH18.6) 6 定理1 设在区域D内有连续 的一阶偏导数.若D的内点P0(x1(0),xn(0)是上述问题 的极值点,且雅可比矩阵 的秩为m,则存在m个常数使得 7 为拉格朗日函数L的稳定点. 即为下面m+n个方程 的解.证明(略).TH23.198 例1. 求旋转抛物面与平面 之间的最短距离. 解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉氏函数 到平面 9 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 , 故 10 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 ABC 面积 S最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 例2 则 11 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点对应面积 而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 点击图中任意点 动画开始或暂停 12 例3. (P168例3)求在条件 不等式 下的极小值;并证明 (其中a,b,c为任意正实数). 解:设拉格朗日函数为 得方程组 13 解得L的稳定点为 目标函数中视z为x,y的函数(由条件确定), 并令F(x,y)=xyz(x,y),则 由条件 14 根据隐函数求导得 进一步 于是当 时, 故稳定点为极小值点.即 15 例4. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 16 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 17 例5 某公司可通过电台及报纸两种方式做商品销售 广告，根据资料知销售收入 R（万元）与电台广告费用 报纸广告费用之间的关系公式： 1、在广告费用不限的情况下求最优广告策略。 2、若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略 解：最优广告策略即为用于广告费多少时可使得利润 函数 最大。 由题意可知： 18 2、若广告费用为1.5万元,则需求利润函数 在时的条件极值,辅助函数为: 即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大. 则在 时利润函数取得最大值。 19 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 20 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值, 解方程组 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题 在条件 求驻点 . 21 作业 P169 1(1); 2(1). P170 3; 5; 6; 13. 22 解 则 例1 23 例2 某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本 不同，第一个工厂生产 件产品和第二个工厂生产 件产品时的总成本是 若公司的生产任务是500件，问