三个素数分布定理的初等证明.pdf

- 1 - 三个素数分布定理的初等证明 三个素数分布定理的初等证明 许作铭 ，罗贵文 辽宁大学数学学院，沈阳（ 110036 ） e-mail: 摘要：摘要：本文通过创立一种新的筛法与台阶理论，研究了素数（孪生素数、哥德巴赫素数） 分布与台阶数、台阶数字个数以及台阶系数的关系，并利用初等方法证明了素数分布定理 （不大于n的素数个数的计算公式） 、 孪生素数定理 （不大于n的孪生素数对数的计算公式） 以及goldbachs定理（“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数之和”表示法个数的计算公 式）。应用本计算公式，可以有效的估算素数、孪生素数和哥德巴赫素数的实际分布。 关键词： 关键词：素数分布；孪生素数；goldbach 素数；台阶系数；筛法。 中图分类号： 中图分类号：o156.1 o156.4 数学主题分类号：数学主题分类号：11n05 11p32 文献标识码： 文献标识码：a 1.台阶的划分与1.台阶的划分与p筛法 定义 1 筛法 定义 1 我们把小于并最接近x的素数称为方根素数方根素数， 用(),px表示。 显然(),pxx。 定义 2 定义 2 令 () () 1 , , p fxe p p p xe = （1-1） 我们把(),p xe称为台阶素数台阶素数；(), 1p xe 为(),p xe前面的一个素数；(),1p xe为(),p xe后面的 一个素数。称(),fxe为素数的台阶系数，简称台阶系数台阶系数。显然，(),fxe具有以下性质： （1）(),fxe是非负有界函数 ()0,0.5fxe （1-2） （2）(),fxe 是单调递减函数 ()()(),1, 1fxefxefxe （1-3） （3） 当x 时 (),0fxe 渐近线 (),0fxe= （1-4） (),px与(),p xe的关系： 当x较小时， ()(),p xepx； 在第 7 台阶后 ()(),p xepx? 。 定义 3 定义 3 将正整数集合n+分成无限个有限数字组成的台阶，每个台阶中的数字具有同 一个台阶素数(),p xe，把这些数字称为同一台阶的数。每一个台阶中第一个数称该台阶的首 数 台阶的首 数，用(),a xe表示；最后一个数称该台阶的尾数台阶的尾数，用(),b xe表示。 k t表示第k个台阶。 台阶的划分由台阶系数(),fxe来决定. 令 () ()1,1 , f xefk b xebee k = () () 1, 1,11 1 f xe aeb xeb kk =+=+=+ + （1-5） 则bk为(),p xe的台阶尾数； 1k a + 为 (),1p xe 台阶的首数。（见1388-391） k b 定义 4 定义 4 设集合 p=2，3，5，7，11，。将正整数xn+按集合 p 的次序逐次扩大 235.pn倍，然后将这些素数及合数对应的数字也筛去，这种筛法称p筛法筛法。 根据定义 1 及定义 4，把正整数x逐次筛分到(),px时， 第一个 x 区间的数字除 1 以 - 2 - 外全部为素数。当继续扩大筛分到(),p xe，这时平均每个 x 区间的数字个数为： () () , 1 , p p xe p xxfxe p = （1-6） 定义 5 定义 5 我们把(),xfxe称为诸 x 区间数字个数的平均值平均值。 定义 6 定义 6 我们把每个台阶中实际素数个数与该台阶数字个数的比称为素数在该台阶中 平均分布密度，简称分布密度分布密度，用(),fxe 表示。显然第k个台阶的分布密度为： () ()() 1 1 , kk k kk bb fxef bb = 。（( )x的定义见2数论导引 90） （1-7） 定义 7 定义 7 将正整数x逐次乘以 2，3，5，. ()e,p x，其数值达到 (),pp xe p 。然后将其 分成若干个个数相等的 x 区间，其数量为 (),pp xe p 个。首先将 2，3 及其合数筛去。然后 把位于数列56k+（kn）之中，5，7，11，13 (),p xe 及其合数全部筛去，再将这些素 数和合数加 2 的那些数字也全部筛去。将16k+（kn）之中，5，7，11，13 直到(),p xe 及其合数全部筛去，再将这些素数和合数减 2 的那些数全部筛去。这种筛法叫p筛法筛法。 经过上述筛分后，在每个 (),pp xe p 中剩余数字对数为 () (), 3 1 2 6p p xe p p ? 。x个 (),pp xe p 区 间数字对数为 () (), 3 x 2 6p p xe p p ? 。平均每一个 x 区间数字对数为 () () () 3, ,33 -21-2 62p pp xepp xe pp xepp xxppp ppp = ? 命 () () 3, ,3 1-2 (,) 2p p p xe p p xep xpp xw xe pp = ? 则 () ()() 12 33 , 1 , 2 pp pp pp pp xepp xe w xe = ? （1-8） 定义 8 定义 8 我们把(),w xe称为孪生素数（或双生素数）的台阶系数台阶系数。把(),xw xe称为孪生素 数的诸 x 区间数字对数平均值平均值。孪生素数的台阶系数(),w xe具有以下性质： （1）(),w xe是非负有界函数 ()0,0.25w xe （1-9） （2）(),w xe 是单调递减函数 ()()(),1, 1w xew xew xe （1-10） （3） 当x 时 (),0w xe 渐近线 (),0w xe= （1-11） 定义9 定义9 我们把每个台阶中实际孪生素数对数与该台阶数字个数的比值称为孪生素数在该 台阶中的平均分布密度，简称分布密度分布密度，用(),wxe 表示。显然第k个台阶的分布密度为： () ()() 1 1 , kk kk z bz b wxe bb = （1-12） - 3 - 定义 10 定义 10 我们把构成偶数x (),px pp mmi =为两个奇素数之和的素数称为 goldbach 素数。 定义11定义11为了比较第一个x区间的数字个数与诸x区间的数字个数平均值， 将正整数x乘 以 2，3，5，()e,p x其数值达到 (),pp xe p 。对于每个 (),pp xe p 区间，首先将 2,3，(),p xe及 其合数筛去，再将以这些素数为模与x同余的数全部筛去，这种筛法称为p筛法。 在每个 (),pp xe p 区间中剩余的数字个数为 ：（同余的概念见4基础数论，30-47） () () () 2 2 | e, e, 1 2 1 2 4p p p x pp x pp x p p p ? ? x个 (),pp xe p 剩余数字的个数为 () () () 2 2 | , e, 1 2 2 4p p p x pp xe pp x p p x p ? ? 平均每个 x 区间剩余数字个数的平均值为 () () 12 2 22 |, , 4 pp pp pp p xp p xe p p xe x ? 命 () () () 12 2 22 |, , , 4 pp pp pp p xp p xe p p xe x xg xe = ? 则 () () () 112 2 22 2 |, , 1 , 2 ppp ppp pp p p xp p xe p p xe g xe = = ? （1-13） 定义 12 定义 12 我们把(),g xe称为 goldbach 素数的台阶系数。 把(),xg xe称为 goldbach 素 数的诸 x 区间数字对数平均值。 goldbach 素数对数 （或表示法个数） 用( )d x表示 （见3 解析数论基础） 。 显然第一个 x 区间的 goldbach 素数以2x为对称轴前后二个数字相加， 均等于偶数x。(),g xe具有以下性质： （1）(),g xe是非负有界函数 ()0,0.25g xe （1-14） （2）(),g xe 是单调递减函数 ()()(),1, 1g xeg xeg xe （1-15） （3） 当x 时 (),0g xe 渐近线 (),0gxe= （1-16） 定义 13 定义 13 我们把偶数x的 goldbach 素数对数（或称表示法个数）( )d x与x的比值称为 goldbach 素数的实际分布密度，简称分布密度，用(),gxe 表示。 () ( ) , d x gxe x = （1-17） 2不大于2不大于x的素数个数的计算公式（或称素数分布定理） 的素数个数的计算公式（或称素数分布定理） 对任意xtn，即,xab nn ，恒有 - 4 - ( )( )( )( ) nnn hxxxx + 。 （2-1） 并且 ( ) ( ) lim1 x x x + = ， ， ( ) ( ) lim1 x x x = ， ， ( ) () lim1 , x xf xe x = 。 （2-2） 其中：（1）当( )()() 1 150 :0.5 11 1 n nxbbfxbfn nn nkkk k =+ = ( )()() 1 51:0.2512.5 11 1 n nxbbfxbfn nn nkkk k =+ = （2-3） （2） ( )()() 1 0.5 11 1 n xbbfxbf nn nkkk k + =+ = （2-4） （3） (),pp xe n = kn 。 1 k p p p p fk = （4） ( )(),hxxf xexfn n = （2-5） 证明： 证明： （1）首先证明 对任意 n tx 即 x,ab n n 恒有 15 32 nxx （2-6） 由（1-5） n xt： () () 1, 1,11 1 f xe eb xeba nn +=+=+= + ，ab nn 。 当1k=时 对 任 意 1 xt 即 x 11 ,1,7ab= 由 于 15 3215 32 11 1ab即 15 3215 32 117 因此关系式 15 32 1x 成立。 假设对任意kn= n xt 即x,ab nn 15 3215 32 nab nn ，关系式 15 32 nx成立。则 当1kn=+ 1n xt + 即x, 11 ab nn+ 时 1nn ba + =+ +1 15 3215 3215 32 1 naba nn n + 显然3kn=： 15 3215 32 11nab nn +。因此 15 3215 3215 32 1 11 nbab n nn + + 即 15 3215 32 11 1 nn nab + + 15 32 1nx+。 于是，根据数学归纳法原理，对任意 n tx 即 x,ab n n 恒有 15 32 nx。 由于 015 321 2 ， 因此 15 32 nxx 。 （2）下面证明： 对任意 x tn即x ,ab nn ， ( )( ) nn hxx （2-7） 显然，当 50n 时，由（2-3）（2-5）公式 ( )( ) nn hxx 恒成立； 当 51n 时： ( )()() 1 0.2512.5 11 1 n xbbfx bfn kkkn nn k =+ = () 1 0.2512.5 1 1 n ffbxfn kkk n k =+ + = - 5 - 1 10.2512.50.7513.5 1 n xfnnxfxfxfn nnn k +=+ = ? ( )hxxfn n = ( )( )hxx nn （3）可以验证，当50n 时 公式 ( )( )( )( ) nnn hxxxx + 成立。 （4）当 51n 时：设( )( )( ) nn r xxx + = （2-8） 由（2-3）（2-4） ( )( )( )0.25130.5 nn r xxxnn + =+ 由（2-6）及（2-7） ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ()() 0.50.51 ,2, r xxxnx nn xf xex f xe xxx nnn + = （2-9） 显然，由于 2()|, | 1fxe 当n ，x ()2,x fxe 即 () 1 0 2,x f xe ( )( )( )( ) ()( )()() ,r xxxoxoxnx nnn + = 即 ( ) ( ) lim1 x xx + = 。根据夹逼准则或称极限存在准则（见31-7 64-71） ( ) ( ) lim1 x x x + = ， ( ) ( ) lim1 x xx = 。 （2-10） （5） 设 ( )( )( ) nn r xxhx + = （2-11） 由（2-4），（2-5）： ( )()() 1 0.5 11 1 n r xbbfx bfxf kknn kn k =+ = ()()()() 10213212 12311 .0.51 nn nnn bbfbbfbbfbbfxfxfn n bf + () 1 11 111 1 1 111 k kk kk nnn pf b k k ffbffb kkkk pp kkk + + =+=+=+ + = () 2 1 1 220.50.52 2 1 n n n knn k +=+=+ = （51n ） 由（2-6） ( ) 15 1615 32 0.50.52r xxx+ ( )( ) 15 1615 32 0.50.52112 n 11617 32 nnnn22 nn r xxxfxx n xfxfxfxf f xf x + =+ 显然，|0.5 n f 2 | 1 n f 当 ,nx ： 116 2 n f x ； 17 32 2 n f x ； n f x ；即 1 0 116 2 n f x ； 1 0 17 32 2 n f x ； 2 0 n f x ， 因此 - 6 - ( ) () 112 0, 11617 32 nn22 nn r x nx xfxf f xf x + ( )()( )() n r xo xfo xf x= 即 ( ) () lim1 , x xf xe x + = 根据夹逼准则 ( ) ( ) lim1 x x x + = ( ) () lim1 , x xf xe x = （2-12） 由（2-7）（2-8）（2-11）以及（2-10）（2-12）公式 2-1）（2-2）成立。证毕。 推论 1 任意两个自然数推论 1 任意两个自然数 m x 与 与 n x之间的素数个数计算公式 之间的素数个数计算公式 设 xt mm xt nn m x ， n nx + ； n ， nm + nm ( )()(),xx f x exf x e nnmm （n m?即不在同一台阶） （2-13） ( )()(), 1xx f x exf x e nnmn （n m=即在同一台阶） （2-14） 或 ()()( )()()xxxxx nmnm nmnm + （2-15） 推论 2 任意相邻两个素数之间的最大距离公式 推论 2 任意相邻两个素数之间的最大距离公式 设 n p为第 n 个素数，pt nk ，kn + 则 n p与其相邻的下一个素数 1n p + 的最大距离 () (), 1 1 ,11 1 1 1n n nn nn f p kk p pp fp p epp e + + + =+ （2-16） 证明：如果任一素数 n p为第 n 个素数pt nk ，kn + 则下一个素数为 1nk pt + 11nk pt + 即若不在一个台阶中，必定在相邻的下一个台阶中。 设相邻两个素数之间的距离为： 1 dppn n = + （1）当 1n p + ， k pt n ， 时 ()(), 1 fpefp e nn = + 由（2-14） ()() 1 ,1 11 d pp nn pf pep f p e nnnn = + + ()()(),1 n dpfp epp e nnn f+ () () () 1 , 1 1 111 1 ,11 1 , 1 pk p f p e nn ppp knn d p f p efpfpk nkkkk f p e n pk +=+ + 考虑其实际意义 () () 11 ,111 ,1 pp nn d f p epfp np ekk n +=+ + （2-17） （2）当pt nk ， 11 pt nk + 时 ()(),1 1 fpefp e nn = + 由（2-13） ()() 1 ,1 11 dpp nn pf pep f p e nnnn = + + ()()() () ()() ,1 1 ,1,1 dpfpep fp e nnn n dpfp ep fp e nnnn + + + - 7 - () () () 1 1 , 1 111 1 1 ,1111 111 , 1 pk p f p e nn p pp knn d p f p efpfpk nkkkk f p e n pk + + + + + + 考虑其实际意义 () () 11 ,111 ,1 pp nn d f p epfp np ekk n +=+ + （2-18） 由（2-17）（2-18）， 无论 n p与其相邻的下一个素数 1n p + 是否在同一个台阶，恒有 () () 1 1 1 1,1 1 ,1 pp nn dppn n pf p e fp np e kk n =+=+ + + 成立。即从 n p到 1nn pp + =+ () () 1 ,11 , pn dpn f p ep np e n + 之间至少存在一个素数。证毕。 3. 不超过3. 不超过x的孪生素数对数的计算公式（孪生素数定理） 的孪生素数对数的计算公式（孪生素数定理） 命 ( )zx为不超过x的孪生素数对数，对任意xtn，即,xab nn ，恒有 ( )( )( )( ) nnn hxzxz xzx + （3-1） 并且 ( ) ( ) lim 1 zx zx x + = ； ( ) ( ) lim 1 z x zxx = ； ( ) ( ) lim 1 zx z x x + = ； （3-2） 其中：（1）( ) ()() 1 11 1 4 n n zxbbwxbw nn kkkk k + =+ = （3-3） （2）150n： ( )()() 1 11 1 2 n n zxbbwxbw nn kkkk k =+ = 51n ： ( )()() 1 11 1 4 n n zxbbwxbw nn kkkk k =+ = -12.5 （3-4） （3） ( )( )zxhxxwn nn = （3-5） （4） () ()() 1 12 , 2 33 , pp ww b e nn pp pp p p b ep p b e nn = ? （3-6） 证明：证明：（1）首先证明对任意 x tn即x ,ab nn ，恒有 ( )( )hxzx nn （3-7） 显然当50n ： ( )( )hxzx nn 。当51n ： ( )()() 1 12.5 11 1 4 n n zxbbwxbw nn nkkk k =+ = () 1 12.5 11 1 4 n n bbwbwxw nn nkkk k =+ = () 1 12.50.25 1 1 n wwbxwn kkk n k =+ + = - 8 - 1 112.50.25513.5 1 n xwnnxwnnxw nnn k += +=+ = ( )xwxwhx n nn = ? 即 ( )( )hxzx n n （2） 设 ( )( )( ) nn r xzxzx + = （3-8） 当 51n 时：（3-3）（3-4） ( )( )( )0.512.5 nn r xzxzxnn + =+ 由（2-6）及（3-7） ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ()() 1 , r xzxzxnx nn xw xexw xe zxzxzx nnn + = 。 （3-9） 显然，由于 2()|, |0.5w xe 当n ，x (),xw xe 即 () 1 0 ,xw xe ( )( )( )( ) ()( )()() ,r xzxzxo zxo zxnx nnn + = 即 ( ) ( ) lim1 zx zxx + = 。根据夹逼准则或称极限存在准则（见4高等数学1-7 64-71） ( ) ( ) lim1 zx z x x + = ， ( ) ( ) lim1 z x zxx = （3-10） （3） 设 ( )( )( ) nn r xzxhx + = （3-11） 当 51n 时：由（3-3）（3-5）： ( )( )( )()() 1 0.25 11 1 nn n r xzxhxbbwx bwnxw kknn kn k + =+ = () 1 11 111 22 5 1 111 k kk kk nnn pw b k k wwbnwwbnn kkkk pp kkk + + +=+=+ + = () 2 1 1 0.25 2 1 n n n knnnn k +=+= = （51n ） 由（2-6） ( ) 15 1615 32 0.50.25r xxx ( )( ) 15 1615 32 0.50.2511 n 11617 32 nnn24 nn r xzxxwxx n xwxwxw w xw x + = 显然，|0.25 n w 2 |0.5 n w 当 ,nx ： 116 2 n w x ； 17 32 4 n w x ； 即 1 0 116 2 n w x ； 1 0 17 32 4 n w x ， 因此 ( ) () 11 0, 11617 32 n24 nn r x nx xw w xw x ( )()( )() n r xo xwo xw x= 即 ( ) () lim1 , zx xw xe x + = 根据夹逼准则或称极限存在准则 ( ) ( ) lim1 zx z x x + = ( ) () lim1 , z x xz xe x = （3-12） - 9 - 于是，由（3-7）（3-8）（3-11）以及（3-10）（3-12）公式（3-1）（3-2）成立。证毕。 推论 1 任意两个自然数推论 1 任意两个自然数 m x 与 与 n x之间孪生素数对数的计算公式 之间孪生素数对数的计算公式 设 xt mm xt nn m x ， n nx + ； n ， nm + nm 则 ()()()()()() nmnm zxzxz xz xzxzx nmnmnm + 4. “任何偶数为两个奇素数之和”表示法个数的计算公式 4. “任何偶数为两个奇素数之和”表示法个数的计算公式 goldbachs 定理： 定理： 对任意偶数6 n xt, 恒有 ( )( )( )( )hxdxd xdx nnn + （4-1） 并且 ( ) ( ) lim1 dx d x x + = ； ( ) ( ) lim1 d x dxx = ； ( ) () lim1 , d x xg xe x = （4-2） 其中：（1） 12 12 eeee nr xpppp nr =，1 1 e ，当2:k 0ek，rn。 （2）( ) , px pp mmi = pm pi 为奇素数。p为素数，(),p xe为台阶素数。 （3）tn表示第n个台阶，bk表示第k个台阶的尾数， 0 0b =。 （4）( )()() 1 28:0.25 11 1 n ndxbbgx bgn kkkn nn k + =+ = （4-3） ( )()() 1 11 1 29:7 n kkkn nn k ndxbbgx bg + = =+ （4-4） （5）( )()() 1 140:/7/70.75 11 1 n n ndxbbkgx bngn kkn kn n =+ = （4-5） ( )()() 1 141:/7/70.2570 11 1 n n ndxbbkgx bngn kkn kn n =+ = （4-6） （6）50n ： ( )(),11hxxg xexgn n = ； 51n ： ( )hxxgn n = （4-7） （7） () () () 22 2 |, , 1112 , 22pp p p xp p xe p p xe ppp gg xe n ppp = = ? （4-8） 证明：证明：（1）首先证明 对任意 xtn 即x ,ab nn ，恒有 ( )( )hxdx n n 显然，当140n 时： 对任意 xtn 即x ,ab nn 恒有( )( ) n hxdx n 成立。 当( )()() 1 141:/7/70.2570 11 1 n ndxbbkgx bngn kknn kn n =+ = - 10 - () 1 /7/ 70.2570 1 1 1 n bbkgxgbgngn kk knnnn n =+ = () 1 1 0.2570 1 7 11 k nn ggbxgkgn kk kn nk =+ + = 1 1 1 12 10.2570 7 11 k k nn p gbxgkgn k knk p nk + + =+ = 1 2 0.2570 11 n bk k gxgngn knn pk k =+ += ( ) 1 10.45700.5571 1 n xgnnxgxghx nnnn k +=+= = 因此，对任意 xtn 即x ,ab nn 恒有 ( )( )dxhx nn （4-9） （3） 对任意xtn 即 , xan bn ， ，由算术基本定理知x可以唯一的表示成为 12 12 eeee nr xpppp nr = 1 1 e ，当2:k 0ek，rn 可以验证，当140n 时公式（4-1）成立。 （4） 设：( )( )( )r xdxdx nn + = （4-10） 由（4-4），（4-6）当141n 时： ( )()()()() 11 7/7/70.2570 1111 1 1 nn r xbbgx bgbbkgx bngn kkknkknn kn k n =+ = = ()1111132 0.25770.257777 72825656 1 n n n kgnnnn k n + = +=+ = 即 ( ) 2 13 77 5656 nn r x + 由（2-6） ，对任意偶数6 n xt 即,xab nn ： 15 32 nx 于是 ( ) ()()() 2 15 3215 3215 32 1313215 16 13 777777 565656565656 xxx nnx r x +=+ 由（4-8）任意偶数6 n xt 即,51xab nn ： ( )dxg nn x ( ) ( )( ) 215 1615 32 1313 777715 1615 32 1377 56565656 5656 nnxx r xxx xgxgxgxg nnnndxdx nn + =+ 11377 11617 32 5656 g xgn nxgx n =+ 由于()|, |0.25g xe 因此当 ,nx ： 116 56xgn ； 17 32 56xgn ； xgn 。 即 1 0 116 56xgn ； 13 0 17 32 56xgn ； 77 0 xgn 。 - 11 - 根据极限运算法则：有限个无穷小量之和仍然为无穷小量。 ( ) ( ) ()0, r x nx dx n 即 ( )( ) ()( )()() ,r xo dxo dxnx n =， 即 ( ) ( ) lim1 dx xdx + = 。 根据夹逼准则即极限存在准则（见6高等数学1-7 64-71） ( ) ( ) lim1 dx d x x + = ； ( ) ( ) lim1 d x dxx = 。 （4-11） （4）设 ( )( )( )r xdxhx nn + = （4-12） 由（4-4）、（4-7）当 141n ： ( )()()() 11 77 111 1 1 nn r xbbgx bgxgggb kkknkkn nk k k =+=+ + = = () 111 22 1 172/770.5170.50.57 1111 nnn pk gbg bpkn nnn kk k kk pk kkk + =+=+ += 即 ( ) 2 7 22 nn r x + ( ) 215 1615 32 77117 11617 32 2222 22 r xnnxx xgxgxgxgxgxgxgxg nnnnnnnng xg x nn +=+ 由于()|, |0.25g xe因此当 ,nx ： 1 0 116 2g x n ； 1 0 17 32 2g x n ； 7 0 xgn 。 即 ( ) 0 r x xgn ( )( ) () ()()()(),r xo hxo xgxg xenx nn = 即 ( ) () lim1 , dx xg xe x + = 根据夹逼准则 ( ) ( ) lim1 dx d x x + = ； ( ) () lim1 , d x xg xe x = （4-13） 由（4-8）（4-10）（4-12）以及（4-11）（4-13），公式（4-1）（4-2）成立。证毕。 ? 孪生素数的台阶系数与孪生素数的台阶系数与goldbach素数系数台阶系数的关系 素数系数台阶系数的关系 对任意偶数x： 0.5gc w kkx = （4-14） 其中0cx? 代表与x（除素因子 2 以外，不大于其台阶素数的素因子）有关的常数。 证明： 对任意偶数 k xt 即 , xak bk 由正整数因子分解唯一性定理 （或称算术基本 定理 ,见5 u-dudley 2 10-21） 312 123 eeeee km xppppp km =， 123 ppppp km （4-15） 其中： 1, 1 e 02,3,4,.ei i = mk。 - 12 - 根据p筛法 2 () ()() 11 2 , 2 33 , p p ww b e k k p ppp p p b ep p b e kk = ? 根据p筛法 3 () () () 1112 , 22 22 2 | , , ppp gg b e kk ppppp p p x p p b e k p p b e k = = ? （1） (),pp xe：x当且仅当被 2 整除 当1n =时 1 12 11 224 w =； 1 12 11 224 g = 当2n =时 2 3 1121 1 3436 ww =； 2 3 21111 12 343122 ggw =； 当3n =时 3 5 2131 2 56510 ww =； 3 5 21311 23 5125202 ggw =； 当nk=时 2 1 k pk wwk pk = ； 21 1 2 k k k p ggw kk p = 。 （4-16） 实际上，当 (),pp xe x当且仅当被 2 整除时其 goldbach 素数系数最小，从第 2 台阶起仅仅是孪生素数系数的二分之一。 （2）(),pp xe：x当且仅当被 23 整除时 当1n =时 1 12 11 224 w =； 1 12 11 224 g = 当2n =时 2 3 1121 1 3436 ww =； 2 3 23 1121 12 33 2436 ggw = ； 当3n =时 3 5 2131 2 56510 ww =； 3 5 21342 23 565315 ggw =； 当2nk=时 2 1 k pk wwk pk = ； 2 1 k k k p ggw kk p = 。 （4-17） （3）(),pp xe：x当且仅当被 25 整除时 当1n =时 1 12 11 224 w =； 1 12 11 224 g = 当2n =时 2 3 1121 1 3436 ww =； 2 3 2111 1 34312 gg =； 当3n =时 3 5 2131 2 56510 ww =； 3 5 25 113412 23 55 21253153 ggw = ； 当4n =时 4 7 2151 3 710714 ww =； 4 7 21512 34 7157213 ggw =； 当3nk=时 2 1 k pk wwk pk = ； 22 1 3 k k k p ggw kk p = 。 （4-18） - 13 - （4）(),pp xe：x当且仅当被 235 整除时 当1n =时 1 12 11 224 w =； 1 12 11 224 g = 当2n =时 2 3 1121 1 3436 ww =； 2 3 23 1121 1 33 2436 gg = ； 当3n =时 3 5 2131 2 56510 ww =； 3 5 25 113424 23 55 2653153 ggw = ； 当4n =时 4 7 2151 3 710714 ww =； 4 7 22524 34 7157213 ggw =； 当3nk=时 2 1 k pk wwk pk = ； 24 1 3 k k k p ggw kk p = 。 （4-19） 实际上在第 3 台阶中这是最大的 goldbach 素数系数。 一般地，对任意偶数x xtk： 1 2 gc w kkx = （4-20） 其中： () 2 | , 1 2p p x p p xe p cx p = ? （4-21） 显然，0cx?表示除素因子 2 以外， 不大于其台阶素数的素因子且整除x的常数。 证毕。 ? goldbach 素数的台阶系数个数的计算公式 设 素数的台阶系数个数的计算公式 设 xtk 则该台阶 则该台阶 goldbach 素数的台阶系数个数为 素数的台阶系数个数为 1 2k。 （4-22） 证明： 证明：goldbach 素数的台阶系数与素数的台阶系数以及孪生素数的台阶系数不同。素数 与孪生素数的台阶系数每个台阶只有一个。而 goldbach 素数系数在每个台阶中的数量有如 下规律： :0.25 1 1 tg= 只有一个 goldbach 素数系数 10 10 1c c=。 2 t： 有 2 个 goldbach 素数系数，即当且仅当 1 2 p px，(), 3 pp p xe xp 1 2 6 g=； 当且仅当 1 p x () 2 ,ppp xe px 1 2 12 g=； 1011 1111 2c cc c+= 3 t： 有 4 个 goldbach 素数系数，即当且仅当 1 2 p px，(), 3 pp p xe px（以下简记 2，3） 2 ： 1 3 20 g=； 2，3： 1 3 10 g=； 2，5： 1 3 15 g=；2，3，5： 2 3 15 g= () 101112 121212 2 1 14c cc cc c+=+= - 14 - 4 t： 有 8 个 goldbach 素数系数： 2 ： 1 4 28 g=； 2，7： 4 3 70 g=； 2，3： 4 1 14 g=； 2，3，7： 3 4 35 g=； 2，5 1 4 21 g=； 2，5，7： 2 4 35 g=； 2，3，5 2 4 21 g=； 2，3，5，7： 4 4 35 g= () 10111213 13131313 3 1 18c cc cc cc c+=+= （4-23） 当 k xt时，台阶素数(),p xepk= 由二项式定理不难证明第k个台阶的 goldbach 素数系 数 k g的个数具有 () 10111211 11111111 11 1 12 k kkkk kk c cc cc cc c + =+= 1,2,3,4,.k = （4-24） 其中当且仅当. 123 ppppk|x，(),2pp xek：最大的 goldbach 素数系数为： ()()() () () () 22 | , , 2 , 1112