湖南省郴州市2016届高考数学一模试卷（理科）含答案解析.doc

2016年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）a2ibicid2i2已知命题p，q，则“p为假命题”是“pq是真命题”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）abc2d34执行如图所示的程序框图，输出的s的值为30，则输入的n为（）a2b3c4d55已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一个单调递增区间为（）a，b，c，d，6一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab且cb时称为“凹数”若a，b，c4，5，6，7，8，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）abcd7要得到函数f （x）=sin2x的导函数 f（x）的图象，只需将f （x）的图象（）a向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）b向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）c向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）d向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20，25）上的为一等品，在区间15，20）和区间25，30）上的为二等品，在区间10，15）和30，35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）aaa0.09b0.20c0.25d0.459若双曲线=1的焦距为10，点p（2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）a=1b=1c=1d=110已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式成立的是（）af（1）f（a）f（b）bf（a）f（b）f（1）cf（a）f（1）f（b）df（b）f（1）f（a）11若（1+x）+（1+x）2+（1+x）5=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）a5b62c57d5612已知定义在r上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x0，2时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：f（2）=0；y=f（x）在8，10单调递增；x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；若方程f（x）=m在6，2上的两根为x1，x2，则x1+x2=8以上命题中不正确命题的序号为 （）abcd二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设x，y满足约束条件，则z=的最大值为14如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 15已知m：x2+y24x4y1=0及圆外一点p（5，5），过p点作m的切线pa，pb，切点分别为a，b，则弦ab的长为16对于两个实数a，b，mina，b表示a，b中的较小数设f （x）=minx， （x0），则不等式f （x）log42的解集是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在数列an中，前n项和为sn，且（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前项和tn18已知abc的内角为a、b、c，其对边分别为a、b、c，已知b为锐角，向量，且（）求角b的大小及当时，abc的外接圆半径r的取值范围；（）如果b=2，求sabc的最大值19若f（x）=cos2axsinaxcosax（a0）的图象与直线y=m（m0）相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列（1）求a和m的值；（2）abc中a、b、c分别是a、b、c的对边若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求abc周长的取值范围20如图，在abc中，记，b=，ab=8，点d在bc边上，且cd=2，cosadc=（）试用表示；（）若以b点为坐标原点，bc所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点a落在第一象限点p（x，y）在abc三边围成的区域（含边界）上，设，求mn的最大值21已知数列an中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=anx2+（2nan+1）x取得极值（1）若bn=2n1an，证明数列bn为等差数列；（2）设数列cn=，cn的前n项和为sn，若不等式msnn+4（1）n对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围22已知函数（）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在（0，+）上为单调增函数，求a的取值范围；（）设m，n为正实数，且mn，求证：2016年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）a2ibicid2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，br）的形式【解答】解：由题意得z=ai（ar且a0）=，则a+2=0，a=2有z=2i，故选d【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题2已知命题p，q，则“p为假命题”是“pq是真命题”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：若pq是真命题，则p，q都是真命题，则p是假命题，即必要性成立，若p是假命题，则p是真命题，此时pq是真命题，不一定成立，即充分性不成立，故“p为假命题”是“pq是真命题”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键3某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）abc2d3【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为四棱锥【解答】解：该几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积s=（1+2）2=3，则该几何体的体积v=3x=，故x=故选a【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力4执行如图所示的程序框图，输出的s的值为30，则输入的n为（）a2b3c4d5【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，s=0，满足条件kn，s=2，k=2满足条件kn，s=6，k=3满足条件kn，s=14，k=4满足条件kn，s=30，k=5由题意，此时应该不满足条件5n，退出循环，输出s的值为30，则输入的n为4故选：c【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一个单调递增区间为（）a，b，c，d，【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件求得的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得该函数的单调递增区间【解答】解：函数的图象经过点（0，1），2sin=1，求得sin=，可得=，f（x）=2sin（2x），令2k2x2k+，求得kxk+，故函数的增区间为k，k+，kz故选：a【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题6一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab且cb时称为“凹数”若a，b，c4，5，6，7，8，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）abcd【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】根据题意，分析“凹数”的定义，根据十位数分类讨论即可求出凹数的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率【解答】解：根据题意，当且仅当ab且cb时称为“凹数”，在4，5，6，7，8的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有a53=60种取法，在4，5，6，7，8的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有a42=12种情况，将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有a32=6种情况，将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有a22=2种情况，根据分类计数原理可得12+6+2=20种，故它为“凹数”的概率是=故选：c【点评】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案7要得到函数f （x）=sin2x的导函数 f（x）的图象，只需将f （x）的图象（）a向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）b向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）c向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）d向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；导数的运算【专题】计算题；数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质【分析】求出导函数的解析式，由条件利用诱导公式，函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：f （x）=sin2x，f（x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+），将f （x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到导函数 f（x）的图象故选：d【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题8对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20，25）上的为一等品，在区间15，20）和区间25，30）上的为二等品，在区间10，15）和30，35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）a0.09b0.20c0.25d0.45【考点】频率分布直方图【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间15，20）和25，30）上的概率为0.045+1（0.02+0.04+0.06+0.03）5=0.45故选：d【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题9若双曲线=1的焦距为10，点p（2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）a=1b=1c=1d=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线c：=1的焦距为10，点p（2，1）在其渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程【解答】解：双曲线c：=1的焦距为10，点p（2，1）在其渐近线上，a2+b2=25，a=2b，b=，a=2双曲线的方程为=1故选：c【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题10已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式成立的是（）af（1）f（a）f（b）bf（a）f（b）f（1）cf（a）f（1）f（b）df（b）f（1）f（a）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+120，g（b）=0，g（1）=0+120，从而可判断0a1b；从而再利用单调性判断大小关系【解答】解：易知函数f（x）=ex+x2在r上是增函数，g（x）=lnx+x2在（0，+）上也是增函数；又f（a）=0，f（1）=e+120，g（b）=0，g（1）=0+120，0a1b；故f（a）f（1）f（b）；故选c【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题11若（1+x）+（1+x）2+（1+x）5=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）a5b62c57d56【考点】二项式定理的应用【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】在所给的等式中，分别令x=1，可得a0=62；令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，从而求得 a1+a2+a3+a4+a5 的值【解答】解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）5=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，令x=1，可得a0=2+22+23+24+25=62，再令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，a1+a2+a3+a4+a5 =57，故选：c【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题12已知定义在r上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x0，2时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：f（2）=0；y=f（x）在8，10单调递增；x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；若方程f（x）=m在6，2上的两根为x1，x2，则x1+x2=8以上命题中不正确命题的序号为 （）abcd【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据条件，令x=2便可得到f（2）=2f（2），从而得出f（2）=0，从而得出f（x）是周期为4的周期函数，而f（x）在0，2上单调递减，从而得到f（x）在8，10上单调递减容易得到x=4和x=4为f（x）的对称轴，从而便可以得到，即得到x1+x2=8，这样便可得出不正确命题的序号【解答】解：f（x）为r上的偶函数，且f（x+4）=f（x）+f（2），令x=2得：f（2）=2f（2）；f（2）=0，正确；f（x+4）=f（x）；f（x）为周期为4的周期函数；f（x）在0，2上单调递减，f（x）在0+42，2+42=8，10上单调递减，错误；f（x）关于y轴对称，即x=0是f（x）的一条对称轴；x=4为函数f（x）图象的一条对称轴，正确；x=4为f（x）的一条对称轴，；x1+x2=8，正确；不正确的命题序号为故选b【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，周期函数的单调性，本题中f（x）的对称轴为x=4n，nz，以及中点坐标公式二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设x，y满足约束条件，则z=的最大值为2【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，利用z=的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（1，2），z=的最大值为2故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题14如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为【考点】几何概型【专题】综合题；概率与统计【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，阴影部分的面积为2（eex）dx=2（exex）=2，边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，落到阴影部分的概率为故答案为：【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到15已知m：x2+y24x4y1=0及圆外一点p（5，5），过p点作m的切线pa，pb，切点分别为a，b，则弦ab的长为3【考点】直线与圆的位置关系【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用半径r，圆心m到点p的距离mp以及切线长组成直角三角形，即可求出弦长ab【解答】解：如图所示，m：x2+y24x4y1=0可化为（x2）2+（y2）2=9，圆心为m（2，2），半径为r=3；则圆心m到点p的距离为d=mp=3，切线长pa=3，弦ab的长为2=2=3故答案为：3【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了勾股定理的应用问题，是基础题目16对于两个实数a，b，mina，b表示a，b中的较小数设f （x）=minx， （x0），则不等式f （x）log42的解集是，2【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】先根据，mina，b表示a，b中的较小数求得函数f（x），再按分段函数的图象解得用满足f（x）时x的集合【解答】解：根据，mina，b表示a，b中的较小数，得到函数f（x）=minx， （x0）的图象，如图所示：当x=或2时，y=，由图象可知，f （x）log42的解集是，2，故答案为：，2【点评】本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在数列an中，前n项和为sn，且（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（i）由，可得n=1时，a1=s1=1；n2时，an=snsn1（ii）=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（i），n=1时，a1=s1=1；n2时，an=snsn1=nn=1时也成立an=n（ii）=，数列bn的前项和tn=+，=+，=+=，tn=2【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知abc的内角为a、b、c，其对边分别为a、b、c，已知b为锐角，向量，且（）求角b的大小及当时，abc的外接圆半径r的取值范围；（）如果b=2，求sabc的最大值【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；转化思想；解三角形；不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】（）由平面向量共线（平行）的坐标表示可得2sinb（2cos21）+cos2b=0，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（2b+）=0，结合b为锐角可求b，由正弦定理即可得解（）由余弦定理可得ac=a2+c24，利用基本不等式可得ac4，根据三角形面积公式即可求其最大值【解答】（本题满分为12分）解：（），2sinb（2cos21）+cos2b=0，sin2b+cos2b=02sin（2b+）=0（b为锐角）2b=b=，r= 1，2（）由cosb=，可得：ac=a2+c24，a2+c22ac，ac4，sabc=acsinb=，即sabc的最大值为【点评】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题19若f（x）=cos2axsinaxcosax（a0）的图象与直线y=m（m0）相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列（1）求a和m的值；（2）abc中a、b、c分别是a、b、c的对边若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求abc周长的取值范围【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=asin（x+）中参数的物理意义【专题】综合题；解三角形【分析】（1）由题意，函数f（x）的周期为，且最大（或最小）值为m，利用三角恒等变换可化简f（x），从而可求结果；（2）由（，）是函数f（x）图象的一个对称中心可求a，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案；【解答】解：（1）=，由题意，函数f（x）的周期为，且最大（或最小）值为m，而m0，a=1，；（2）（是函数f（x）图象的一个对称中心，又a为abc的内角，abc中，则由正弦定理得：，b+c+a（8，12【点评】该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力20如图，在abc中，记，b=，ab=8，点d在bc边上，且cd=2，cosadc=（）试用表示；（）若以b点为坐标原点，bc所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点a落在第一象限点p（x，y）在abc三边围成的区域（含边界）上，设，求mn的最大值【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式【分析】（）可设（01），从而，这便可得到，而，根据条件即可得到，从而便可求出，这样便可解出，从而用表示出向量；（）根据题意便可求出点b，a，c三点的坐标，从而求出向量的坐标，这样根据便可求出，从而得到，这样即可求出，从而由线性规划的知识即可求出mn的最大值【解答】解：（）由题意不妨设，则；又；=， ；=；解得；（）由题意知；=；又p（x，y），；点p（x，y）在abc三边围成的区域（含边界）上，由线性规划知识知，当点p处于点a（）位置时mn最大，且最大值为1【点评】考查向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法：，以及向量夹角的余弦公式，完全平方式的运用，能求平面直角坐标系下点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，以及线性规划的方法求变量的最值21已知数列an中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=anx2+（2nan+1）x取得极值（1）若bn=2n1an，证明数列bn为等差数列；（2）设数列cn=，cn的前n项和为sn，若不等式msnn+4（1）n对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围【考点】数列的求和；等差关系的确定【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）通过对f（x）=anx2+（2nan+1）x求导，利用，计算可知bn+1=bn+1，进而可知数列bn是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知bn=n，裂