湖南省长沙市2016年高考考前冲刺30天训练（一）数学（理）含答案解析.doc

2016年考前冲刺30天数学（理）训练卷（1）（解析版）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 不等式组x-3y+60,x-y+20),l1与函数y=|log4x|的图象从左至右相交于点a,b,l2与函数y=|log4x|的图象从左至右相交于点c,d.记线段ac和bd在x轴上的投影长度分别为m,n.当a变化时,nm的最小值为().a. 4b. 16c. 211d. 210二、 填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 01(x+x)dx=.14. 用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为.15. 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为f1和f2,左、右顶点分别为a1和a2,过焦点f2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为p,若|pa1|是|f1f2|和|a1f2|的等比中项,则该双曲线的离心率为.16. 设集合a=(x,y)(x-3)2+(y-4)2=45,b=(x,y)(x-3)2+(y-4)2=165,c=(x,y)|2|x-3|+|y-4|=,若(ab)c,则实数的取值范围是.三、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)在abc中,2sin2ccosc-sin3c=3(1-cosc).()求角c的大小;()若ab=2,且sinc+sin(b-a)=2sin2a,求abc的面积.18. (本小题满分12分)2014年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整,并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在(0,170,第二类在(170,260,第三类在(260,+)(单位:千瓦时). 某小区共有1000户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所示.(第18题)()求该小区居民用电量的中位数与平均数;()利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表,若从该10户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的概率;()若该小区长期保持着这一用电消耗水平,电力部门为鼓励其节约用电,连续10个月,每个月从该小区居民中随机抽取1户,若取到的是第一类居民,则发放礼品一份,设x为获奖户数,求x的数学期望e(x)与方差d(x).19. (本小题满分12分)如图,e是矩形abcd中边ad上的点,f为边cd的中点,ab=ae=23ad,现将abe沿be边折至pbe位置,且平面pbe平面bcde.() 求证:平面pbe平面pef;() 求二面角e-pf-c的大小. (第19题)20. (本小题满分12分)如图,曲线m:y2=x与曲线n:(x-4)2+2y2=m2(m0)相交于a,b,c,d四个点.() 求m的取值范围;()求四边形abcd的面积的最大值及此时对角线ac与bd的交点坐标.(第20题)21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=exsinx.()求函数f(x)的单调区间;()如果对于任意的x0,2,f(x)kx总成立,求实数k的取值范围;()设函数f(x)=f(x)+excosx,x-20112,20132. 过点m-12,0作函数f(x)图象的所有切线,令各切点的横坐标构成数列xn,求数列xn的所有项之和s的值.请考生从第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,ab是o的直径,弦cd与ab垂直,并与ab相交于点e,点f为弦cd上异于点e的任意一点,连结bf,af并延长交o于点m,n.求证:()b,e,f,n四点共圆;()ac2+bfbm=ab2.(第22题)23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=2+tcos,y=1+tsin(t是参数,0),以原点o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为2=21+cos2.()求曲线c1的普通方程和曲线c2的直角坐标方程;()当=4时,曲线c1和c2相交于m,n两点,求以线段mn为直径的圆的直角坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x+1|+|x-5|,xr.()求不等式f(x)x+10的解集;()如果关于x的不等式f(x)a-(x-2)2在r上恒成立,求实数a的取值范围.答案解析1. b【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的区域.【解题思路】x-3y+60表示直线x-3y+6=0以及该直线下方的区域,x-y+20表示直线x-y+2=0的上方区域,故选b. 2. c【命题意图】本小题主要考查复数的概念及其基本运算.【解题思路】由z(1-2i)=(a+bi)(1-2i)=(a+2b)+(b-2a)i为实数,所以b=2a,ab=12. 3. a【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用.【解题思路】由cos=35,得cos2+sin2=2cos2-1+1-cos2=cos2=925,故选a. 4. b【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力,同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【解题思路】由程序框图可知:s=0,k=1;s=1,k=2;s=3,k=3;s=7,k=4;s=15,k=5.第步后k输出,此时s=15p,则p的最大值为15,故选b.【易错警示】由于对1515与1515这两个不等式理解不准确,会误认为s=15时,再循环一次,错选c. 5. a【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质,特别是对平面向量运算律的全面考查,另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【解题思路】由平面向量的数量积可知,平面向量没有乘法的交换律,故错;与平面向量的数量积公式不符,少了cos,故不正确;向量的数量积不能约分,故不正确;只有正确,故选a. 【易错警示】容易受到实数运算律的影响,容易误认为或正确,其原因是对平面向量的数量积不理解.【举一反三】本题用平面向量数量积公式即可正确求解,也可以举例子,特殊值法来排除. 6. b【命题意图】本题考查三角函数的基础知识,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,本小题同时也考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想.【解题思路】由函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=53对称,可知f53=a2+1,即sin53+acos53=a2+1,可求得a=-33. 故选b. 7. a【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系,以及球表面积公式的应用.【解题思路】如图,设o1,o2为棱柱两底面的中心,球心o为o1o2的中点.(第7题)又直三棱柱的棱长为a,可知oo1=12a,ao1=33a,所以r2=oa2=oo12+ao12=7a212,因此该直三棱柱外接球的表面积为s=4r2=47a212=73a2,故选a. 【举一反三】本考点是近年来高考中的热点问题,同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求8. c【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题,以及等差数列的通项公式,也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.【解题思路】由an+1=an+2an+1+1,可知an+1+1=an+1+2an+1+1=(an+1+1)2,即an+1+1=an+1+1,故数列an+1是公差为1的等差数列,所以a13+1=a1+1+12=13,则a13=168. 故选c.【举一反三】本题通过构造,得到数列an+1是公差为1的等差数列,在数列的求解中经常用到构造思想,应多加训练. 9. d【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用,对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求. 本题着重考查考生数据处理的能力,与化归的数学思想.【解题思路】由于a0,2,b0,1,而a10,1,b10,1,所以坐标变换公式为a=2a1,b=b1.故选d.【易错警示】本题要认真审题,弄清a与a1的取值范围及其关系,才能正确作答. 10. a【命题意图】本小题是定值问题,考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质,考查直线恒过定点问题,会联立方程组,用韦达定理求解,对考生的计算能力、化归与转化的数学思想也有较高要求.【解题思路】直线y=k(x-2)过定点(2,0),抛物线y2=8x的焦点为(2,0),设p(x1,y1),q(x2,y2),由题意可知,|pf|=x1+2,|qf|=x2+2,则1|fp|+1|fq|=1x1+2+1x2+2=x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+4,联立直线与抛物线方程消去得y,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故1|fp|+1|fq|=x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+4=x1+x2+42(x1+x2)+8=12. 故选a.【易错警示】由于直线方程带字母k,求解过程中,稍不细心,结果会出现k消不去,没有答案的情况,因此,本题要求有较好计算能力. 11. b【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式.【解题思路】由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成,因此v=124+122=8+2.故选b.【易错警示】本题由正视图容易误认为长方体上面是两个半球,从而致错,事实上,由三视图的尺寸可以看出,长方体上面的是两个放倒的半圆柱,它们的底面半径为1,高为2. 12. c【命题意图】本小题主要考查函数的图象与性质,对于函数图象的翻折变换以及基本不等式的应用都有考查.同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.【解题思路】设a(xa,ya),b(xb,yb),c(xc,yc),d(xd,yd),则xa=4-a,xb=4a,xc=4-182a+1,xd=4182a+1,则nm=4a-4182a+14-182a+1-4-a,分子与分母同乘以4a+182a+1可得nm=4a+182a+1=22a+362a+1,又2a+362a+1=2a+1+362a+1-12(2a+1)362a+1-1=11,当且仅当2a+1=6,即a=52时,“=”成立,所以nm的最小值为211. 故选c.【举一反三】本题是函数与不等式的综合题,考查较为全面,难度系数较高,应有较好的计算能力和基本技能. 13. 76【命题意图】本小题主要考查积分的定义与牛顿莱布尼茨公式在解决定积分问题上的应用,考查学生的运算求解能力.【解题思路】01(x12+x)dx=23x32+12x210=23+12=76.14. 8【命题意图】本小题主要考查学生对排列组合问题基本方法的掌握与应用,同时对考生解决此类问题的策略作出考查.【解题思路】a22c21a22=8种. 15. 2【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系,特别是考查通径长度的应用以及相关的计算,同时也对等比中项问题作出了一定要求.【解题思路】由题意可知|pa1|2=|f1f2|a1f2|,即b2a2+(a+c)2=2c(a+c),经化简可得a2=b2,则e=ca=c2a2=a2+b2a2=2.【举一反三】本题看似比较复杂,但是根据题目的条件,将双曲线中各基本量代入,列出方程组,求解就不难了.对圆锥曲线离心率问题,重点还是找到基本量a,b,c之间关系. 16. 252,4【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题,对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.【解题思路】由题可知,集合a表示圆(x-3)2+(y-4)2=45上点的集合,集合b表示圆(x-3)2+(y-4)2=165上点的集合,集合c表示曲线2|x-3|+|y-4|=上点的集合,此三集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处,集合a,b表示圆,集合c则表示菱形,可以将圆与菱形的中心同时平移至原点,如图所示,可求得的取值范围是255,4.(第16题)【易错警示】曲线c应分四种情况讨论,画出四条线段,容易出错.【举一反三】对于曲线与方程问题,经常要画出图形,用数形结合的方法求解,比较简捷. 17. 【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查,主要涉及三角恒等变换,正、余弦定理等内容,要求有一定的计算能力.【解题思路】()由题意,得2sin2ccosc-sin(2c+c)=3(1-cosc),则sin2ccosc-cos2csinc=3-3cosc,(2分)化简,得sinc=3-3cosc,则sinc+3cosc=3,即2sinc+3=3,所以sinc+3=32.(4分)0c,从而c+3=23,故c=3.(6分)()由sin(a+b)+sin(b-a)=2sin2a,可得sinbcosa=2sinacosa.所以cosa=0或sinb=2sina.(7分)当cosa=0时,a=90,则b=23,sabc=12bc=12232=233;(8分)当sinb=2sina时,由正弦定理,得b=2a.所以由cosc=a2+b2-c22ab=a2+4a2-42a2a=12,可知a2=43.(10分)所以sabc=12basinc=122aa32=32a2=233.(11分)综上可知sabc=233. (12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,其中包括中位数与平均数的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.【解题思路】() 因为在频率分布直方图上,中位数的两边面积相等,可得中位数为155.(2分)平均数为1200.00520+1400.01520+1600.02020+1800.00520+2000.00320+2200.00220=156.8.(4分)() 由频率分布直方图可知,采用分层抽样抽取10户居民,其中8户为第一类用户,2户为第二类用户,则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为c81c21c102=1645.(8分)() 由题可知,该小区内第一类用电户占80%,则每月从该小区内随机抽取1户居民,是第一类居民的概率为0.8,则连续10个月抽取,获奖人数x的数学期望e(x)=np=100.8=8,方差d(x)=np(1-p)=100.80.2=1.6.(12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面、面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【解题思路】()由题可知,在def中,ed=df,eddfdef=45在abe中,ae=ab,aeabaeb=45efbe.(3分)平面pbe平面bcde,平面pbe平面bcde=be,efbeef平面pbeef平面pef平面pbe平面pef.(6分)()以d为原点,以dc方向为x轴,以ed方向为y轴,以过点d的平面ecde向上的法线方向为z轴,建立坐标系.(7分)则e(0,-1,0),p(1,-2,2),f(1,0,0),c(2,0,0),ep=(1,-1,2),cp=(-1,-2,2),ef=(1,1,0),cf=(-1,0,0),设平面pef平面pfc的法向量分别为n1,n2.解得n1=(1,-1,-2),n2=(0,1,2),(9分)|cos|=|0-1-2|1+1+21+2=32,(11分)综上,二面角e-pf-c大小为150.(12分)【易错警示】本题中建立空间直角坐标系时,z轴不过已知图形中的任何一条线段,注意三条轴两两垂直;用空间向量法求二面角,注意相关点坐标不要写错.【举一反三】证明面面垂直,关键是在一个平面内找到一直线垂直另一个平面.用空间向量法求二面角,求二个平面的法向量,按照公式做即可. 20. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到直线与圆锥曲线的联立方程组,韦达定理,换元法,利用函数的导数求最值. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【解题思路】() 联立曲线m,n消去y可得(x-4)2+2x-m2=0,即x2-6x+16-m2=0,根据条件可得=36-4(16-m2)0,x1+x2=60,x1x2=16-m20,解得7mx1,y10,y20,则sabcd=(y1+y2)(x2-x1)=(x1+x2)(x2-x1)=x1+x2+2x1x2 (x1+x2)2-4x1x2=6+216-m236-4(16-m2).(6分)令t=16-m2,则t(0,3),sabcd=6+2t36-4t2=22-t3-3t2+9t+27,(7分)设f(t)=-t3-3t2+9t+27,则令f(t)=-3t2-6t+9=-3(t-1)(t+3)=0,可得当t(0,3)时,f(x)的最大值为f(1)=32,从而sabcd的最大值为16.此时t=1,即16-m2=1,则m2=15.(9分)联立曲线m,n的方程消去y并整理,得x2-6x+1=0,解得x1=3-22,x2=3+22,所以点a坐标为(3-22,2-1),点c坐标为(3+22,-2-1).kac=(-2-1)-(2-1)(3+22)-(3-22)=-12. 则直线ac的方程为y-(2-1)=-12x-(3-22),(11分)当y=0时,x=1,由对称性可知ac与bd的交点在x轴上,即对角线ac与bd交点坐标为(1,0).(12分)【易错警示】本题运算量较大,涉及知识面较广,一个环节的知识点不过关,都容易出错. 21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【解题思路】()由于f(x)=exsinx,所以f(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=2exsinx+4.(2分)当x+42k-2,2k+2,即x2k-34,2k+4时,f(x)0;当x+42k+2,2k+32,即x2k+4,2k+54时,f(x)0(x0,2).所以h(x)在0,2上为增函数.所以h(x)1,e2.(6分)对k分类讨论:当k1时,g(x)0恒成立,所以g(x)在0,2上为增函数,所以g(x)min=g(0)=0,即g(x)0恒成立;当1ke2时,g(x)=0在上有实根x0,因为h(x)在0,2上为增函数,所以当x(0,x0)时,g(x)0.所以g(x0)g(0)=0.不符合题意;当ke2时,g(x)0恒成立,所以g(x)在0,2上为减函数,则g(x)g(0)=0,不符合题意.综合可得,所求的实数k的取值范围是(-,1.(9分)()因为f(x)=f(x)+excosx=ex(sinx+cosx),所以f(x)=2excosx.设切点坐标为(x0,ex0(sinx0+cosx0),则斜率为f(x0)=2ex0cosx0.切线方程为y-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(x-x0),(10分)将m-12,0的坐标代入切线方程,得-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0-12-x0,-tanx0-1=-2x0-12,即tanx0=2x0-2,令y1=tanx,y2=2x-2,则这两个函数的图象均关于点2,0对称,它们交点的横坐标也关于2对称成对出现,方程tanx=2x-2,x-20112,20132的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列xn的项也关于2对称成对出现,在-20112,20132内共构成1006对,每对的和为,因此数列xn的所有项的和s=1006.(12分)【易