2010年各省市中考数学试题分类汇编-二次函数的图象和性质3.doc

2010中考数学分类汇编二次函数性质3一、选择题1（2010湖北鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论a、b异号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0，当y=4时，x的取值只能为0结论正确的个数有（ ） 个a1234【答案】c 2（2010湖北省咸宁）已知抛物线（0）过a（，0）、o（0，0）、b（，）、c（3，）四点，则与的大小关系是a b c d不能确定【答案】a 3（2010北京）将二次函数yx22x3，化为y(xh)2k的形式，结果为（ ）ay(x1)24by(x1)24cy(x1)22d y(x1)22【答案】d 4（2010山东泰安）下列函数：；，其中的值随值增大而增大的函数有（ ）a、4个b、3个c、2个d、1个【答案】b 5（2010四川乐山）.设a、b是常数，且b0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（ ）yxoyxoyxo11yxo11a. 6或1b. 6或1c.6d. 1【答案】d 6（2010黑龙江哈尔滨）在抛物线上的一个点是（ ）（a）（4，4）（b）（1，4）（c）（2，0）（d）（0，4）【答案】c 7（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为 a向上平移4个单位 b向下平移4个单位 c向左平移4个单位 d向右平移4个单位【答案】b 8（2010陕西西安）已知抛物线，将抛物线c平移得到抛物线若两条抛物线c、 关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是a将抛物线c向右平移个单位b将抛物线c向右平移3个单位c将抛物线c向右平移5个单位d将抛物线c向右平移6个单位【答案】c 9（2010 福建三明）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）ab且cd且【答案】b 10（2010 山东东营） 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）1oxy（第12题图）yxo(b)yxo(a)yxo(c)yxo(d)【答案】b11121314151617181920二、填空题1（2010江苏扬州）y2x2bx3的对称轴是直线x1，则b的值为_【答案】42（2010山东泰安）将y=2x2-12x-12变为y=a（x-m）2+n的形式，则mn= .【答案】-903（2010湖北襄樊）将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为_【答案】或4（2010江苏 镇江）已知实数的最大值为 .【答案】4567891011121314151617181920三、解答题1（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，a（-1，0），b（0，2），一动点p沿过b点且垂直于ab的射线bm运动，p点的运动速度为每秒1个单位长度，射线bm与x轴交与点c（1）求点c的坐标（2）求过点a、b、c三点的抛物线的解析式（3）若p点开始运动时，q点也同时从c出发，以p点相同的速度沿x轴负方向向点a运动，t秒后，以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形（点p到点c时停止运动，点q也同时停止运动）求t的值（4）在（2）（3）的条件下，当cq=cp时，求直线op与抛物线的交点坐标【答案】（1）点c的坐标是（4，0）；（2）设过点a、b、c三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点a、b、c三点的坐标代入得：解得，抛物线的解析式是：y= x2+x+2（3）设p、q的运动时间为t秒，则bp=t，cq=t以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若cq=pc，如图所示，则pc= cq=bp=t有2t=bc=，t=若pq=qc，如图所示，过点q作dqbc交cb于点d，则有cd=pd由abcqdc，可得出pd=cd=，解得t=若pq=pc，如图所示，过点p作peac交ac于点e，则ec=qe=pc，t=（-t），解得t=（4）当cq=pc时，由（3）知t=，点p的坐标是（2，1），直线op的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1，直线op与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）2（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值【答案】（1）证明：依题意，是一元二次方程的两根根据一元二次方程根与系数的关系，得， （2）解：依题意，由（1）得二次函数的最小值为3（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于a、b两点， a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，-3）点，点p是直线bc下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结po、pc，并把poc沿co翻折，得到四边形popc， 那么是否存在点p，使四边形popc为菱形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点p运动到什么位置时，四边形 abpc的面积最大并求出此时p点的坐标和四边形abpc的最大面积.【答案】解：（1）将b、c两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为： （2）存在点p，使四边形popc为菱形设p点坐标为（x，），pp交co于e若四边形popc是菱形，则有pcpo连结pp 则peco于e，oe=ec= 解得=，=（不合题意，舍去）p点的坐标为（，）8分（3）过点p作轴的平行线与bc交于点q，与ob交于点f，设p（x，），易得，直线bc的解析式为则q点的坐标为（x，x3）.= 当时，四边形abpc的面积最大此时p点的坐标为，四边形abpc的面积 4（2010北京）在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴的交点分别为原点o和点a，点b（2，n）在这条抛物线上（1）求b点的坐标；（2）点p在线段oa上，从o点出发向a点运动，过p点作x轴的垂线，与直线ob交与点e，延长pe到点d，使得ed=pe，以pd为斜边，在pd右侧做等等腰直角三角形pcd（当p点运动时，c点、d点也随之运动）当等腰直角三角形pcd的顶点c落在此抛物线上时，求op的长；1yxo（第24题）123424331234412若p点从o点出发向a点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段oa上另一个点q从a点出发向o点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当q点到达o点时停止运动，p点也同时停止运动）过q点做x轴的垂线，与直线ab交与点f，延长qf到点m，使得fm=qf，以qm为斜边，在qm的左侧作等腰直角三角形qmn（当q点运动时，m点、n点也随之运动）若p点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值【答案】解：（1）抛物线经过原点，m23m+2=0.解的m1=1，m2=2.由题意知m1.m=2，抛物线的解析式为点b（2，n）在抛物线，n=4.b点的坐标为（2，4）（2）设直线ob的解析式为y=k1x求得直线ob的解析式y=2xa点是抛物线与x轴的一个交点，可求得a点的坐标为（10，0），设p点的坐标为（a，0），则e点的坐标为（a，2a）根据题意做等腰直角三角形pcd，如图1. 可求得点c的坐标为（3a，2a），有c点在抛物线上，得2a=x（3a）2+x3a.即a2 a=0解得 a1=，a2=0（舍去）op= 依题意作等腰直角三角形qmn.设直线ab的解析式y=k2x+b由点a(10 ，0)，点b（2，4），求得直线ab的解析式为y=x+5当p点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：cd与nq在同一条直线上，如图2所示，可证dpq为等腰直角三角形此时qp、op、aq的长可依次表示为t 、4t、 2t个单位pq = dp = 4tt+4t+2t=10t=第二种情况：pc与mn在同一条直线上，如图3所示可证pqm为等腰直角三角形此时op、aq的长依次表示为t、2t个单位，oq = 10 2tf点在直线ab上fq=tmq=2tpq=mq=cq=2tt+2t+2t=10t=2.第三种情况：点p、q重合时，pd、qm在同一条直线上，如图4所示，此时op、aq的长依次表示为t、2t个单位t+2t=10t=综上，符合题意的值分别为，2，5（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？【答案】解：画图如图所示：依题意得： = =平移后图像的解析式为：（2）当y=0时，=0 平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x时，二次函数的函数值大于0.6（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线与轴相交于两点a(1，0)，b(3，0).与轴相较于点c（0，3）（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点d（）是抛物线上一点，请求出的值，并求处此时abd 的面积【答案】解：（1）由题意可知 解得所以抛物线的函数关系式为（2）把d（）代人函数解析式中，得所以7（2010湖北随州）已知抛物线顶点为c（1，1）且过原点o.过抛物线上一点p（x，y）向直线作垂线，垂足为m，连fm（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以pm为底边的等腰三角形pfm的p点的坐标，并证明此时pfm为正三角形；（3）对抛物线上任意一点p，是否总存在一点n（1，t），使pmpn恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a1，b2，c0（2）过p作直线x=1的垂线，可求p的纵坐标为，横坐标为.此时，mpmfpf1，故mpf为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，pm与pn不可能相等，同理，当t，x1时，pm与pn不可能相等.8（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过a(4，0)，b(0，一4)，c(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点m为第三象限内抛物线上一动点，点m的横坐标为m，amb的面积为s.求s关于m的函数关系式，并求出s的最大值； (3)若点p是抛物线上的动点，点q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点p、q、b、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点q的坐标.【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，则有 解得 抛物线的解析式y=x2+x4 （2）过点m作mdx轴于点d.设m点的坐标为（m，n）. 则ad=m+4，md=n，n=m2m4 . s = samd+s梯形dmbosabo = ( m+4) (n)(n4) (m) 44 = 2n-2m-8 = 2(m2m4) -2m-8 = m2-4m (4 m 0)s最大值 = 4 （3）满足题意的q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+，2），（-2，2）9（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线yx2+bx+c与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c(0，2)，连接ac，若tanoac2(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点p，使apc90，若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接bc，m是线段bc上(不与b、c重合)的一个动点，过点m作直线ll，交抛物线于点n，连接cn、bn，设点m的横坐标为t当t为何值时，bcn的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）抛物线y=x2bxc过点c(0,2). x=2又tanoac=2, oa=1,即a(1,0).又点a在抛物线y=x2bx2上. 0=12b12,b=3抛物线对应的二次函数的解析式为y=x23x2（2）存在过点c作对称轴l的垂线,垂足为d,如图所示,x=.ae=oe-oa=-1=,apc=90,tanpae= tancpd,即，解得pe=或pe=，点p的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如图，易得直线bc的解析式为：y=-x2，点m是直线l和线段bc的交点，m点的坐标为（t，-t+2）(0t2)mn=-t+2-(t23t2)=- t22tsbcm= smnc+smnb=mnt+mn(2-t)=mn(t+2-t)=mn=- t22t(0t2),sbcn=- t22t=-(t-1)2+1当t=1时，sbcn的最大值为1。10（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点a，与x轴 交于b、c两点，其对称轴与x轴交于点d，连接ac (1)点a的坐标为_ ，点c的坐标为_ ； (2)线段ac上是否存在点e，使得edc为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点e的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点p为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接pa、pc，若所得pac的面积为s，则s取何值时，相应的点p有且只有2个?【答案】11（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过o（0，0）、a（4，0）、b（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以oa的中点m为圆心，om长为半径作m，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点p，过点p作m的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 【答案】解：（1）设抛物线的解析式为： 由题意得： 解得： 抛物线的解析式为： （2）存在 l 抛物线的顶点坐标是，作抛物线和m（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点b，与m相切于点c连接mc，过c作cd x 轴于d mc = om = 2, cbm = 30, cmbcbcm = 90 ，bmc = 60 ，bm = 2cm = 4 , b (-2, 0) 在rtcdm中，dcm = cdm - cmd = 30dm = 1, cd = = c (1, )设切线 l 的解析式为:，点b、c在 l 上，可得： 解得： 切线bc的解析式为：点p为抛物线与切线的交点由 解得： 点p的坐标为：， 抛物线的对称轴是直线此抛物线、m都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l(如图)得到b、c关于直线的对称点b1、c1l满足题中要求，由对称性，得到p1、p2关于直线的对称点： ，即为所求的点.这样的点p共有4个：，12（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过a（1，0），b（3，0），c（0，1）三点。 （1）求该抛物线的表达式； （2）点q在y轴上，点p在抛物线上，要使以点q、p、a、b为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点p的坐标。【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为。根据题意，得、解之，得所求抛物线的表达式为 （2）当ab为边时，只要pq/ab，且pq=ab=4即可，又知点q在y轴上，点p的横坐标为4或-4，这时，将合条件的点p有两个，分别记为p1，p2。而当x=4时，此时当ab为对角线时，只要线段pq与线段ab互相平分即可，又知点q在y轴上，且线段ab中点的横坐标为1，点p的横坐标为2，这时，符合条件的点p只有一个，记为p3，而当x=2时，y=-1，此时p3（2，-1）综上，满足条件的点13（2010四川内江）如图，抛物线ymx22mx3m(m0)与x轴交于a、b两点， 与y轴交于c点.（1）请求抛物线顶点m的坐标（用含m的代数式表示），a，b两点的坐标；（2）经探究可知，bcm与abc的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使bcm为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.xmabcyo【答案】解：（1）ymx22mx3mm(x22x3)m(x1)24m,抛物线顶点m的坐标为（1，4m）2分抛物线ymx22mx3m(m0)与x轴交于a、b两点，当y0时，mx22mx3m0，m0，x22x30，解得x11，x,23，a，b两点的坐标为（1,0）、（3,0）.4分（2）当x0时，y3m，点c的坐标为（0，3m）,sabc|3(1)|3m|6|m|6m，5分过点m作mdx轴于d，则od1，bdobod2，md|4m |4m.xmabcyodnsbcmsbdm s梯形ocmdsobcbddm(ocdm)odoboc24m(3m4m)133m3m，7分 sbcm：sabc12.8分（3）存在使bcm为直角三角形的抛物线. 过点c作cndm于点n，则cmn为rt，cnod1，dnoc3m,mndmdnm,cm2cn2mn21m2， 在rtobc中，bc2ob2oc299m2，在rtbdm中，bm2bd2dm2416m2.如果bcm是rt，且bmc90时，cm2bm2bc2,即1m2416m299m2，解得m,m0，m.存在抛物线yx2x使得bcm是rt;10分如果bcm是rt，且bcm90时，bc2cm2bm2.即99m21m2416m2，解得m1,m0，m1.存在抛物线yx22x3使得bcm是rt; 如果bcm是rt，且cbm90时，bc2bm2cm2.即99m2416m21m2，整理得m2，此方程无解,以cbm为直角的直角三角形不存在.（或99m21m2，416m21m2，以cbm为直角的直角三角形不存在.）综上的所述，存在抛物线yx2x和yx22x3使得bcm是rt.14（2010广东东莞）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为（1，0），与轴的交点坐标为（0，3）求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围xy31o【答案】根据题意，得：，解得，所以抛物线的解析式为令，解得；根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是1315（2010 福建三明）已知抛物线经过点b（2，0）和点c（0，8），且它的对称轴是直线。 （1）求抛物线与轴的另一交点a坐标；（2分） （2）求此抛物线的解析式；（3分） （3）连结ac、bc，若点e是线段ab上的一个动点（与点a、点b）不重合，过点e作efac交bc于点f，连结ce，设ae的长为m，cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式；（4）在（3）的基础上试说明s是否存在最大值，若存在，请求出s的最大值，并求出此时点e的坐标，判断此时bce的形状；若不存在，请说明理由。【答案】（1）抛物线的对称轴是直线由对称性可得a点的坐标为（-6，0）2分 （2）点c（0，8）在抛物线的图象上将a（-6，0）、b（2，0）代入表达式得解得 所求解析式为也可用5分 （3）依题意，ae=m，则be=8-moa=6，oc=8，ac=10ef/ac 过点f作fgab，垂足为g，则10分 （4）存在.理由如下：当m=4时，s有最大值，s最大值=812分m=4点e的坐标为（-2，0）为等腰三角形14分16（2010湖北襄樊）如图7，四边形abcd是平行四边形，ab=4，ob=2，抛物线过a、b、c三点，与x轴交于另一点d一动点p以每秒1个单位长度的速度从b点出发沿ba向点a运动，运动到点a停止，同时一动点q从点d出发，以每秒3个单位长度的速度沿dc向点c运动，与点p同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与ab交于点e，与x轴交于点f，当点p运动时间t为何值时，四边形poqe是等腰梯形？（3）当t为何值时，以p、b、o为顶点的三角形与以点q、b、o为顶点的三角形相似？图7【答案】解：（1）四边形abcd是平行四边形，oc=ab=4a（4，2），b（0，2），c（4，0）抛物线y=ax2+bx+c过点b，c=2由题意，有 解得所求抛物线的解析式为（2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为x=2d（8，0），e（2，2），f（2，0）欲使四边形poqe为等腰梯形，则有op=qe即bp=fqt=63t，即t= （3）欲使以p、b、o为顶点的三角形与以点q、b、o为顶点的三角形相似，pbo=boq=90，有或，即pb=oq或ob2=pbqo若p、q在y轴的同侧当pb=oq时，t=83t，t=2当ob2=pbqo时，t(83t)=4，即3t28t+4=0解得若p、q在y轴的异侧当pb=oq时，3t8=t，t=4当ob2=pbqo时，t(3t8)=4，即3t28t4=0解得t=0故舍去，t=当t=2或t=或t=4或t=秒时，以p、b、o为顶点的三角形与以点q、b、o为顶点的三角形相似17（2010 山东东营） 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点a（-1， 0）和点b（0，-5）（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点p，使得abp的周长最小请求出点p的坐标xoa（第23题图）by【答案】解：（1）根据题意，得2分解得 3分xoa（第23题图）bycpx=2二次函数的表达式为4分（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴 的另一个交点坐标c（5, 0）.5分由于p是对称轴上一点，连结ab，由于，要使abp的周长最小，只要最小.6分由于点a与点c关于对称轴对称，连结bc交对称轴于点p，则= bp+pc =bc，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为bc.因而bc与对称轴的交点p就是所求的点.8分设直线bc的解析式为，根据题意，可得解得所以直线bc的解析式为.9分因此直线bc与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得所求的点p的坐标为（2，-3）.10分18（2010 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为a（4，0）、b（2，0），与y轴交于点c，顶点为de（1，2）为线段bc的中点，bc的垂直平分线与x轴、y轴分别交于f、g（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点d的坐标；（2）在直线ef上求一点h，使cdh的周长最小，并求出最小周长；（3）若点k在x轴上方的抛物线上运动，当k运动到什么位置时，efk的面积最大？并求出最大面积cedgaxyobf【答案】（1）由题意，得 解得，b =1所以抛物线的解析式为，顶点d的坐标为（1，）（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m因为ef垂直平分bc，即c关于直线eg的对称点为b，连结bd交于ef于一点，则这一点为所求点h，使dh + ch最小，即最小为dh + ch = dh + hb = bd = 而 cdh的周长最小值为cd + dr + ch =设直线bd的解析式为y = k1x +