2011年朝阳区高考二模数学(理)试题及答案1.doc

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学测试题（理工类） 2011.5 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 注意事项： 1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集u=r，集合a=x02x0,则a(cu b)= (a)xx1 (b)xx0 (c)x0x1 (d)xxy0”是“1”的 （a）必要不充分条件 （b）充分不必要条件 （c）充分必要条件 （d）既不充分又不必要条件 （3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为 （a）8 （b）4 （c）4 （d） （4）已知随机变量x服从正态分布n(a,4),且p(x1)=0.5,则实数a的值为 (a)1 (b) (c)2 (d)4 （5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （a）120个 （b）80个 （c）40个 （d）20个 （6）点p是抛物线y24x上一动点，则点p到点a（0,1）的距离与到直线x=1的距离和最小值是 （a） （b） （c）2 （d） （7）已知棱长为1的正方体abcda1 b1 c1 d1中，点e,f分别是棱bb1 ，dd1 上的动点，且be=d1 f=（0）。设ef与ab所成的角为，与bc所成的角为，则+的最小值 （a）不存在 （b）等于60 （c）等于90 （d）等于120（8）已知点p是abc的中位线ef上任意一点，且efbc，实数x,y满足+ x+y=0.设abc,pbc,pca,pab的面积分别为s,s1 ,s2 ,s3 ,记=,=,=.则当取最大值时，2x+y的值为 （a） （b） （c）1 （d）2 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）已知复数z满足iz=1-i,则z=_. （10）曲线c：(为参数)的普通方程为 。 （11）曲线y=33x2 与x轴所围成的图形面积为 。 （12）已知数列an满足a1=2,且an+1an+ an+12an=0,nn* ,则a2= ;并归纳出数列an的 通项公式an 。 （13）如图，pa与圆o相切于点a，pcb为圆o的割线，并且不过圆心o，已知bpa30,pa 2,pc1,则pb= ；圆o的半径等于 。 （14）已知函数f（x）=ax2+(b+1)x+b1,且a（0,3），则对于任意的br，函数f（x）= f（x） x总有两个不同的零点的概率是 。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分） 已知函数f（x）2sinxsin（+x）2sin2x+1（xr）。 （i）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间； （ii）若f()=,x0(-,),求cos2x0的值。 （16）（本小题满分13分） 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮 核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售。已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响。 （i）求该产品不能销售的概率； （ii）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利80元）。已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利x元，求x的分布列，并求出均值e(x)。 （17）（本小题满分13分） 在长方形aa1 b1 b中，ab2aa1 =4,c,c1分别是ab，a1 b1的中点（如图1）。将此长方形沿cc1 对折，使二面角a1cc1b为直二面角，d,e分别是a1 b1，cc1的中点（如图2）。（i）求证：c1d平面a1be；（ii）求证：平面a1be平面aa1 b1 b；（iii）求直线b c1与平面a1be所成角的正弦值。 （18）（本小题满分13分） 设函数f(x)=x+(xa)2 ,ar. （i）若a=0，求函数f(x)在1,e上的最小值； （ii）若函数f(x)在，2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （iii）求函数f(x)的极值点。 （19）（本小题满分14分） 已知椭圆c：（ab0）经过点a（2,1），离心率为.过点b（3,0） 的直线l与椭圆c交于不同的两点m,n. （i）求椭圆c的方程； （ii）求的取值范围； （iii）设直线am和直线an的斜率分别为kam和kan,求证：kam+kan为定值。 （20）（本小题满分14分） 对于正整数a,b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r,0rb.特别地，当r=0时，称b 能整除a,记作ba,已知a1,2,3,，23。 （i）存在qa,使得201191q+r（0r91），试求q,r的值； （ii）求证：不存在这样的函数f：a1,2,3，使得对任意的整数x1,x2a,若x1- x21,2,3,则f(x1 )f(x2)； （iii）若ba，card(b)=12(card(b)指集合b中的元素的个数),且存在a,bb,b0,所以f(x)在1,e上是增函数， 当x1时，f(x)取得最小值f(1)1. 所以f(x)在1,e上的最小值为1. 3分 （ii）解法一：f(x)+2（xa） 设g（x）2x2-2ax+1, 4分 依题意，在区间，2上存在子区间使得不等式g（x）0成立. 5分 注意到抛物线g（x）2x2-2ax+1开口向上，所以只要g（2）0，或g（）0即可 6分 由g（2）0，即8-4a+10,得a， 由g（）0，即-a+10,得a, 所以a， 所以实数a的取值范围是（-，）. 8分 解法二：f(x)+2（xa），4分 依题意得，在区间，2上存在子区间使得不等式2x2-2ax+10成立. 又因为x0,所以2a（2x+）. 5分 设g（x）2x+，所以2a小于函数g（x）在区间，2的最大值. 又因为g（x）=2-， 由g（x）=2-0解得x； 由g（x）=2-0解得0x. 所以函数g（x）在区间（，2）上递增，在区间（，）上递减. 所以函数g（x）在x，或x2处取得最大值. 又g（2），g（）3,所以2a，a 所以实数a的取值范围是（-，）. 8分 （iii）因为f(x) ，令h(x)2x2-2ax+1 显然，当a0时，在（0,+ ）上h(x) 0恒成立f(x) 0，此时，函数f(x)没有极 值点；9分 当a0时， （i）当0，即0a时，在（0,+ ）上h(x)0恒成立，这时f(x) 0，此 时，函数f(x)没有极值点；10分 （ii）当0时，即a时， 易知，当x时，h(x) 0,这时f(x) 0； 当0x或x时，h(x) 0,这时f(x) 0； 所以，当a时，x是函数f(x)的极大值；x是函数f(x)的极小值点. 12分 综上，当a时，函数f(x)没有极值点； 当a时，x是函数f(x)的极大值点；x是函数f(x)的极小值点. 13分 （19）（本小题满分14分） 解：（i）由题意得解得a，b. 故椭圆c的方程为.4分 （ii）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k(x-3), 由得（1+2k2）x212k2x+18k26=0. 5分 因为直线l与椭圆c交于不同的两点m,n, 所以144k44（1+2k2）（18k26）24（1k2）0.解得-1k1. 6分 设m,n的坐标分别为（x1 ,y1）,（x2 ,y2）, 则x1+x2，x1x2，y1k（x13）, y2k（x23）. 7分 所以（x13）（x23）+ y1y2 8分 （1+k2）x1x23（x1+ x2）+9 +.9分 因为-1k1，所以2+3. 故的取值范围为（2,3. 10分 （iii）由（ii）得kam+kan 11分 -2. 所以kam+kan为定值-2. 14分 （20）（本小题满分14分） （i）解：因为20119122+9,所以q22,r9. 2分 （ii）证明：假设存在这样的函数f：a1,2,3，使得对任意的整数x,y,若，则f(x)f(y). 设f(1)a，a1,2,3，f(2)b，b1,2,3，由已知ab. 由于，所以f(3)f(1), f(3)f(2). 不妨令f(3)c，c1,2,3，这里ca,且cb, 同理，f(4)b，且f(4)c， 因为1,2,3只有三个元素，所以f(4)a. 即f(1)f(4)，但是3,与已知矛盾. 因此假设不成立，即不存在这样的函数f：a1,2,3，使得对任意的整数x,y,若 ，则f(x)f(y). 8分 （iii）当m8时，记m7+ii=1,2,16,n=2(7+i)i=1,2,3,4,记p,则card(p)=12,显然对任意1ij16,不存在n3,使得7+jn(7+i)成立.故p是非“和谐集”此时p8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23.同理，当m9,10,11,12时，存在含m的集合a的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此m7. 10分 下面证明：含7的任意集合a的有12个元素的子集为非“和谐集”. 设ba1,a2,a11,7. 若1,14,21中之一为集合b的元素，显然为“和谐集”. 现考虑1,14,21都不属于集合b，构造集合b12,4,8,16，b23