2012届高考数学专题训练试题8.doc

第一部分 专题二 第2讲 数列的综合应用(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1命题甲：()x,21x,2x2成等比数列；命题乙：lgx，lg(x1)，lg(x3)成等差数列，则甲是乙的()a充分非必要条件 b必要非充分条件c充要条件 d既非充分又非必要条件解析：命题甲：(21x)22x2x2，即2(1x)xx2，得：x2或x1.命题乙：2lg(x1)lgxlg(x3)，即(x1)2x(x3)，得：x1.故甲/乙，乙甲，故甲是乙的必要非充分条件答案：b2已知等比数列an中，a21，则其前3项的和s3的取值范围是()a(，1 b(，0)(1，)c3，) d(，13，)解析：设a1x，且x0，则s3x1，由函数yx的图象知：x2或x2，y(，13，)答案：d3首项为b，公比为a的等比数列an的前n项和为sn，对任意的nn*，点(sn，sn1)在()a直线yaxb上 b直线ybxa上c直线ybxa上 d直线yaxb上解析：当a1时，sn，sn1，点(sn，sn1)为：(，)，显然此点在直线yaxb上当a1时，显然也成立答案：a4已知函数f(x)满足f(x1)f(x)(xr)，且f(1)，则数列f(n)(nn*)前20项的和为()a305 b315 c325 d335解析：因为f(1)，f(2)，f(3)，f(n)f(n1)，所以f(n)是以为首项，为公差的等差数列，所以s2020335.答案：d5等差数列an中，a10，公差d0，sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()解析：snna1d，snn2(a1)n，又a10，公差d0，所以点(n，sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧答案：c6古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()a289b1 024c1 225 d1 378解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an，第n个正方形数为bnn2，由此可排除d(1 378不是平方数)将a、b、c选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是c选项答案：c二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan(nn*)，则a2009_，a2014_.解析：a2009a450331，a2014a1007a252410.答案：108等差数列an的前n项和为sn，且a4a28，a3a526，记tn，如果存在正整数m，使得对一切正整数n，tnm都成立，则m的最小值是_解析：由a4a28，得2d8，d4.又a3a526，得a413，a11.于是snn4(2n1)n，tn22.要使mtn恒成立，只需m2，m的最小值是2.答案：29已知等比数列an的前n项和snt5n2，则实数t的值为_解析：snt5n2，a1s1，当n2时，ansnsn1().又an为等比数列，q5，5，即5，t5.答案：5三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10(本小题满分15分)已知数列an的首项a11，且点an(an，an1)在函数y的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)求证：弦anan1的斜率随n的增大而增大解：(1)an1且a11，1，1，是以1为首项，1为公差的等差数列1(n1)1n，an.(2)证明：an，an1，an2，弦anan1的斜率kn.kn1kn0，弦anan1的斜率随n的增大而增大11(本小题满分15分)已知数列an是等差数列，a11，a2a3a10144.(1)求数列an的通项an；(2)设数列bn的通项bn，记sn是数列bn的前n项和，若n3时，有snm恒成立，求m的最大值解：(1)an是等差数列，a11，a2a3a10144，s10145.s10145.a1028.281(101)d.d3.ana1(n1)d1(n1)33n2.(2)bn()，snb1b2bn(1)(1).sn1sn0，数列sn是递增数列当n3时，(sn)mins3.依题意，m，m的最大值为.12(理)(本小题满分16分)数列an满足a10，a22，an2(1cos2)an4sin2，n1,2,3，.(1)求a3，a4，并求数列an的通项公式；(2)设ska1a3a2k1，tka2a4a2k，wk(kn*)，求使wk1的所有k的值，并说明理由解：(1)因为a10，a22，所以a3(1cos2)a14sin2a144，a4(1cos2)a24sin22a24.一般地，当n2k1(kn*)时a2k11cos2a2k14sin2a2k14，即a2k1a2k14.所以数列a2k1是首项为0，公差为4的等差数列，因此a2k14(k1)当n2k(kn*)时，a2k2(1cos2)a2k4sin22a2k.所以数列a2k是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k2k.故数列an的通项公式为an(2)由(1)知，ska1a3a2k1044(k1)2k(k1)，tka2a4a2k2222k2k12，wk.于是w10，w21，w3，w4，w5，w6.下面证明：当k6时；wk1.事实上，当k6时，wk1wk0，即wk1wk.又w61，所以当k6时，wk1.故满足wk1的所有k的值为3,4,5.(文)设等差数列an的公差为d(d0)，且满足：a2a555，a4a622.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn的前n项和为an，数列bn和数列cn满足：bn，求数列cn的前n项和sn.解：(1)由题意知，即，得，数列an的通项公式为an32(n1)，即an2n1.(2)设数列bn的前n项和为tn，则tnan2n1，tn1an12(n1)12n1(n2，nn*)，bntntn12(n2)，又b1t1a13，c1b126，cnbn2n2n1(n2)，即cn，从而当n2时，sn623242n2n122223242n2n12n22，当n1时，s16也满足上式，故sn2n22.1an是等差数列，a28，s10185，从an中依次取出第3项，第9项，第27项，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列bn，则bn等于()a3n12b3n12c3n2 d3n2解析：由a28，s10185可求得a15，公差d3，an3n2.由于an的第3n项恰是bn的第n项，bna3n33n23n12.答案：a2设函数f(x)(x1)2n，(x1,3，nn*)的最小值为an，最大值为bn，则cnbanbn是()a公差不为零的等差数列b公比不为1的等比数列c常数列d既不是等差也不是等比数列解析：f(x)(x1)2n，x1,3，nn*，anf(1)n，bnf(1)f(3)banbnbn(bnan)4(n4)是公差不为零的等差数列答案：a3定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为_，且这个数列的前21项的和s21的值为_解析：根据定义和条件知，anan15对一切nn*恒成立，因为a12，所以an于是a183，s2110(a2a3)a152.答案：3524已知数列an的前n项和为sn，对任意nn*，点(n，sn)都在函数f(x)2x2x的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，且数列bn是等差数列，求非零常数p的值；(3)设cn，tn是数列cn的前n项和，求使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m.解：(1)由已知，对所有nn*，sn2n2n，所以当n1时，a1s11，当n2时，ansnsn14n3，因为a1也满足上式，所以数列an的通项公式为an4n3(nn*)(2)由已知bn，因为bn是等差数列，可设bnanb(a、b为常数)，所以anb，于是2n2nan2(apb)nbp，所以因为p0，所以b0，p.(3)cn()，所以tnc1c2cn(1)(1)由tn10(1)因为11，所以m10.所以，所求的最小正整数m的值为10.5设数列an的各项均为正数，前n项和为sn，已知4sna2an1(nn*)(1)证明an是等差数列，并求an；(2)设m、k、pn*，mp2k，求证：.解：(1)4sna2an1，4sn1a2an11(n2)两式相减得4anaa2an2an1.整理得(anan1)(anan12)0.anan10，anan12(常数)，an是以2为公差的等差数列又4s1a2a11，即a2a110，解得a11，an1(n1)22n1.(2)证明：由(1)知snn2，smm2，spp2，skk2.由0，即.6这是发生在德国的一个真实故事，一个9岁的孤儿德比为了寻找母亲，表达他对母亲的爱，他每帮助一个人，就请这位被帮助者再去帮助另外10个人，假设每个人都以这种方式将爱心传递下去，且被帮助的人不重复总有一天自己的母亲也会成为被帮助的对象如果德比每天帮助一个人，被帮助的人第二天去帮助另外10个人(假设被帮助的人第三天及以后不再帮助其他人)而德国有8 220万人(1)设n天后，被帮助