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1 函数部分高考题库函数部分高考题库 1.（2010 全国卷理）函数( )f x的定义域为 r，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( ) a.( )f x是偶函数 b.( )f x是奇函数 c.( )(2)f xf x d.(3)f x是奇函数 答案 d 解析 (1)f x与(1)f x都是奇函数， (1)(1),(1)(1)fxf xfxf x ， 函数( )f x关于点(1,0)，及点( 1,0)对称，函数( )f x是周期21 ( 1)4t 的周 期函数.(14)(14)fxf x ，(3)(3)fxf x ，即(3)f x是奇函 数。故选 d 2.(2010 浙江理）对于正实数，记m为满足下述条件的函数( )f x构成的集合： 12 ,x xr且 21 xx，有 212121 ()()()()xxf xf xxx下列结论中正确 的是 ( ) a若 1 ( )f xm， 2 ( )g xm，则 12 ( )( )f xg xm b若 1 ( )f xm， 2 ( )g xm，且( )0g x ，则 1 2 ( ) ( ) f x m g x c若 1 ( )f xm， 2 ( )g xm，则 12 ( )( )f xg xm d若 1 ( )f xm， 2 ( )g xm，且 12 ，则 12 ( )( )f xg xm 答案 c 解析 对于 212121 ()()()()xxf xf xxx，即有 21 21 ()()f xf x xx ， 令 21 21 ()()f xf x k xx ，有k，不妨设 1 ( )f xm， 2 ( )g xm，即有 11,f k 22g k，因此有 1212fg kk，因此有 12 ( )( )f xg xm 2 3.（2010 浙江文）若函数 2 ( )() a f xxa x r，则下列结论正确的是（ ） a.a r，( )f x在(0,)上是增函数 b.a r，( )f x在(0,)上是减函数 c.a r，( )f x是偶函数 d.a r，( )f x是奇函数 答案 c 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问 解析 对于0a 时有 2 f xx是一个偶函数 4. (2010 山东卷理)函数 xx xx ee y ee 的图像大致为( ). 答案 a 解析 函数有意义,需使0 xx ee,其定义域为0|xx,排除 c,d,又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee ,所以当0x 时函数为减函数,故选 a. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难 点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 5.(2009 山东卷理)定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1( 0),1 (log2 xxfxf xx ， 则 f（2009）的值为( ) a.-1 b. 0 c.1 d. 2 答案 c 解析 由已知得 2 ( 1)log 21f ,(0)0f,(1)(0)( 1)1fff , (2)(1)(0)1fff ,(3)(2)(1)1 ( 1)0fff , 1 x y 1 o a x y o 1 1 b x y o 1 1 c x y 1 1 d o 3 (4)(3)(2)0( 1)1fff ,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff, 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 c. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.(2009 山东卷文)函数 xx xx ee y ee 的图像大致为( ). 答案 a. 解析 函数有意义,需使0 xx ee,其定义域为0|xx,排除 c,d,又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee ,所以当0x 时函数为减函数,故选 a. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难 点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. (2009 山东卷文)定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1( 0),4(log2 xxfxf xx ， 则 f（3）的值为( ) a.-1 b. -2 c.1 d. 2 答案 b 解析 由已知得 2 ( 1)log 5f , 2 (0)log 42f, 2 (1)(0)( 1)2log 5fff, 2 (2)(1)(0)log 5fff , 22 (3)(2)(1)log 5(2log 5)2fff ,故选 b. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 8.(2009 山东卷文)已知定义在 r 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2 上是增函数,则( ). a.( 25)(11)(80)fff b. (80)(11)( 25)fff 1 x y 1 o a x y o 1 1 b x y o 1 1 c x y 1 1 d o 4 c. (11)(80)( 25)fff d. ( 25)(80)(11)fff 答案 d 解析 因为)(xf满足(4)( )f xf x ,所以(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 则) 1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 r 上是奇函 数， (0)0f,得0)0()80( ff,) 1 () 1()25(fff,而由 (4)( )f xf x 得) 1 ()41 ()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上 是增函数,所以0)0() 1 ( ff,所以0) 1 ( f,即( 25)(80)(11)fff,故选 d. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思 想和数形结合的思想解答问题. 9.（2009 全国卷文）函数 y=x(x0)的反函数是（ ） （a） 2 yx（x0） （b） 2 yx （x0） （b） 2 yx（x0） （d） 2 yx （x0） 答案 b 解析 本题考查反函数概念及求法，由原函数 x0 可知 ac 错,原函数 y0 可知 d 错. 10.（2009 全国卷文）函数 y= 2 2 log 2 x y x 的图像（ ） （a） 关于原点对称 （b）关于主线yx 对称 （c） 关于y轴对称 （d）关于直线yx对称 答案 a 解析 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 f(-x)=- f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 a。 11.（2009 全国卷文）设 2 lg ,(lg ) ,lg,ae bece则（ ） （a）abc （b）acb （c）cab （d）cba 答案 b 解析 本题考查对数函数的增减性，由 1lge0,知 ab,又 c= 2 1 lge, 作商比较知 cb,选 b。 5 12.（2009 广东卷 理）若函数( )yf x是函数(0,1) x yaaa且的反函数，其图像 经过点(, )a a，则( )f x （ ） a. 2 log x b. 1 2 log x c. 1 2x d. 2 x 答案 b 解析 xxf a log)(，代入(, )a a，解得 2 1 a，所以( )f x 1 2 log x，选 b. 13.（2009 广东卷 理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线） 行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙 甲和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01 tt和，下列判断中一定正确的是（ ） a. 在 1 t时刻，甲车在乙车前面 b. 1 t时刻后，甲车在乙车后面 c. 在 0 t时刻，两车的位置相同 d. 0 t时刻后，乙车在甲车前面 答案 a 解析 由图像可知，曲线 甲 v比 乙 v在 0 0 t、0 1 t与x轴所围成图形面积大，则在 0 t、 1 t时刻，甲车均在乙车前面，选 a. 14.（2009 安徽卷理）设ab,函数 2 () ()yxaxb的图像可能是（ ） 答案 c 解析 / ()(32)yxaxab，由 / 0y 得 2 , 3 ab xa x ，当xa时，y取极 6 大值 0，当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负。故选 c。 或当xb时0y ，当xb时，0y 选 c 15.（2009 安徽卷文）设，函数的图像可能是（ ） 答案 c 解析 可得 2 ,() ()0xa xbyxaxb为的两个零解. 当xa时,则( )0xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 c。 16.（2009 江西卷文）函数 2 34xx y x 的定义域为（ ） a 4,1 b 4, 0) c(0,1 d 4, 0)(0,1 答案 d 解析 由 2 0 340 x xx 得40x 或01x,故选 d. 17.（2009 江西卷文）已知函数( )f x是(,) 上的偶函数，若对于0x ，都有 (2( )f xf x），且当0,2)x时， 2 ( )log (1f xx ），则 ( 2008)(2009)ff的值为 （ ） a2 b1 c1 d2 答案 c 解析 12 22 ( 2008)(2009)(0)(1)loglog1ffff,故选 c. 18.（2009 江西卷文）如图所示，一质点( , )p x y在xoy平面上沿曲线运动， y xo ( , )p x y ( ,0)q x y xo ( , )p x y ( ,0)q x 7 速度大小不 变，其在x轴上的投影点( ,0)q x的运动速度( )vv t的图象 大致为 ( ) a a b b c c d d 答案 b 解析 由图可知，当质点( , )p x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)q x的速度先 由正到 0、到负数，再到 0，到正，故a错误；质点( , )p x y在终点的速度是由大到小 接近 0，故d错误；质点( , )p x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)q x的速度为常 数，因此c是错误的，故选b. 19.（2009 江西卷理）函数 2 ln(1) 34 x y xx 的定义域为( ) a( 4,1) b( 4,1) c( 1,1) d( 1,1 答案 c 解析 由 2 101 11 41340 xx x xxx .故选 c 20.（2009 江西卷理）设函数 2 ( )(0)f xaxbxc a的定义域为d，若所有点 ( ,( )( ,)s f ts td构成一个正方形区域，则a的值为( ) a2 b4 c8 d不能确定 答案 b 解析 12max |( )xxfx， 22 2 44 4 bacacb aa ，| 2aa，4a ，选 b 21.（2009 天津卷文）设函数 0, 6 0, 64 )( 2 xx xxx xf则不等式) 1 ()(fxf的解集是（ o ( )v t to ( )v t t o ( )v t t o ( )v t t 8 ） a.), 3() 1 , 3( b.), 2() 1 , 3( c.), 3() 1 , 1( d.)3 , 1 ()3,( 答案 a 解析 由已知，函数先增后减再增 当0x，2)(xf3) 1 (f令, 3)(xf 解得3, 1xx。 当0x，3, 36xx 故3) 1 ()( fxf ，解得313xx或 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 22.（2009 天津卷文）设函数 f(x)在 r 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x 2 ,x 下面的不等 式在 r 内恒成立的是( ) a.0)(xf b.0)(xf c.xxf)( d.xxf)( 答案 a 解析 由已知，首先令0x ，排除 b，d。然后结合已知条件排除 c,得到 a 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考 查了分析问题和解决问题的能力。 23.(2009 湖北卷理)设 a 为非零实数，函数 11 (,) 1 ax yxrx axa 且的反函数是( ) a、 11 (,) 1 ax yxrx axa 且 b、 11 (,) 1 ax yxrx axa 且 c、 1 (,1) (1) x yxrx ax 且 d、 1 (,1) (1) x yxrx ax 且 答案 d 解析 由原函数是 11 (,) 1 ax yxrx axa 且，从中解得 1 (,1) (1) y xyry ay 且即原函数的反函数是 1 (,1) (1) y xyry ay 且，故 选择 d 24(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 r t。若球的体积以均匀速度 c 增长，则 球的表面积的增长速度与球半径 ( ) a.成正比，比例系数为 c b. 成正比，比例系数为 2c c.成反比，比例系数为 c d. 成反比，比例系数为 2c 答案 d 9 解析 由题意可知球的体积为 3 4 ( )( ) 3 v tr t，则 2 ( )4( )( )cv tr t r t，由此可 4( ) ( )( ) c r t r t r t ，而球的表面积为 2 ( )4( )s tr t， 所以 2 ( )4( )8( )( )vs tr tr t r t 表 ， 即 22 8( )( )2 4( )( )( ) ( )( )( ) cc vr t r tr t r tr t r t r tr t 表 ，故选 25.（2009 四川卷文）已知函数)(xf是定义在实数集 r 上的不恒为零的偶函数，且对任意 实数x都有 )()1 () 1(xfxxxf，则) 2 5 (f的值是( ) a. 0 b. 2 1 c. 1 d. 2 5 答案 a 解析 若x0，则有)( 1 ) 1(xf x x xf ，取 2 1 x，则有： ) 2 1 () 2 1 () 2 1 ( 2 1 2 1 1 ) 1 2 1 () 2 1 (fffff （)(xf是偶函数，则 ) 2 1 () 2 1 (ff ）由此得0) 2 1 (f于是 0) 2 1 (5) 2 1 ( 2 1 2 1 1 3 5 ) 1 2 1 ( 3 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 2 3 2 3 1 ) 1 2 3 () 2 5 ( fffffff 26.（2009 福建卷理）函数( )(0)f xaxbxc a的图象关于直线 2 b x a 对称。据此 可推测，对任意的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程 2 ( )( )0m f xnf xp的解集都不可能是 ( ) a. 1,2 b 1,4 c 1,2,3,4 d 1,4,16,64 答案 d 解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程 2 ( )( )0m f xnf xp中, ,m n p分别 赋值求出( )f x代入( )0f x 求出检验即得. 10 ( )24(2)yf xxx 27.（2009 辽宁卷文）已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx 1 ( ) 3 f的 x 取值范围是( ) （a） （ 1 3 ， 2 3 ） b. 1 3 ， 2 3 ） c.（ 1 2 ， 2 3 ） d. 1 2 ， 2 3 ） 答案 a 解析 由于 f(x)是偶函数,故 f(x)f(|x|) 得 f(|2x1|)f( 1 3 ),再根据 f(x)的单调性 得|2x1| 1 3 解得 1 3 x 2 3 28.（2009 宁夏海南卷理）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值( ) 设 f（x）=min, x+2,10-x (x 0),则 f（x）的最大值为 （a）4 （b）5 （c）6 （d）7 答案 c 29.（2009 陕西卷文）函数( )24(4)f xxx的反函数为 ( ) （a） 12 1 ( )4(0) 2 fxxx b. 12 1 ( )4(2) 2 fxxx （c） 12 1 ( )2(0) 2 fxxx (d)学科 12 1 ( )2(2) 2 fxxx 答案 d 解析 令原式则 故 12 1 ( )2(2) 2 fxxx 故选 d. 30.（2009 陕西卷文）定义在 r 上的偶函数( )f x满足：对任意的 1212 ,0,)()x xxx， 有 21 21 ()() 0 f xf x xx .则( ) (a)(3)( 2)(1)fff b.(1)( 2)(3)fff c. ( 2)(1)(3)fff d.(3)(1)( 2)fff 答案 a 解析 由 2121 ()( ()()0xxf xf x等价，于 21 21 ()() 0 f xf x xx 则( )f x在 1212 ,(,0()x xxx 上单调递增, 又( )f x是偶函数,故( )f x在 1212 ,(0,()x xxx单调递减.且满足 * nn时, ( 2)(2)ff, 0321 ,得 22 2 4 24,2 22 yy yxx 即 11 (3)( 2)(1)fff,故选 a. 31.(2009 陕西卷理)定义在 r 上的偶函数( )f x满足：对任意 的 1212 ,(,0()x xxx ，有 2121 ()( ()()0xxf xf x. 则当 * nn时,有 ( ) (a)()(1)(1)fnf nf n b.(1)()(1)f nfnf n c. c.(1)()(1)f nfnf n d.(1)(1)()f nf nfn 答案 c 32.（2009 四川卷文）已知函数)(xf是定义在实数集 r 上的不恒为零的偶函数，且对任意 实数x都有)()1 () 1(xfxxxf，则) 2 5 (f的值是 ( ) a. 0 b. 2 1 c. 1 d. 2 5 答案 a 解析 若x0，则有)( 1 ) 1(xf x x xf ，取 2 1 x，则有： ) 2 1 () 2 1 () 2 1 ( 2 1 2 1 1 ) 1 2 1 () 2 1 (fffff （)(xf是偶函数，则 ) 2 1 () 2 1 (ff ） 由此得0) 2 1 (f于是， 0) 2 1 (5) 2 1 ( 2 1 2 1 1 3 5 ) 1 2 1 ( 3 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 2 3 2 3 1 ) 1 2 3 () 2 5 ( fffffff 33.（2009 湖北卷文）函数) 2 1 ,( 21 21 xrx x x y且的反函数是( ) a.) 2 1 ,( 21 21 xrx x x y且 b.) 2 1 ,( 21 21 xrx x x y且 12122121 2121 ,(,0()()( ()()0 ()()( )(,0 ( )( )(0 (1)( )(1)(1)()(1) x xxxxxf xf x xxf xf xf x f xf x f nf nf nf nfnf n 解析： 时，在为增函数 为偶函数在，为减函数 而n+1nn-10, 12 c.) 1,( )1 (2 1 xrx x x y且 d.) 1,( )1 (2 1 xrx x x y且 答案 d 解析 可反解得 1 11 ( ) 2(1)2(1) yx xfx yx 故 故且可得原函数中 yr、y-1 所以 1 1 ( ) 2(1) x fx x 且 xr、x-1 选 d 34.(2009 湖南卷理)如图 1，当参数 2 时，连续函数(0) 1 x yx x 的图像分别对 应曲线 1 c和 2 c , 则 ( ) a 1 0 b 1 0 c 12 0 d 21 0 答案 b 解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函 数在(0,)是连续的，可知参数 12 0,0，即排除 c，d 项，又取1x ，知对应 函数值 12 12 11 , 11 yy ，由图可知 12, yy所以 12 ，即选 b 项。 35.(2009 湖南卷理)设函数( )yf x在（，+）内有定义。对于给定的正数 k，定义 函数 ( ) ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xk fx k f xk 取函数( )f x= 1 2xe。若对任意的(,)x ，恒有( ) k fx=( )f x，则 ( ) ak 的最大值为 2 b. k 的最小值为 2 ck 的最大值为 1 d. k 的最小值为 1 答案 d 解析 由( )10, x fxe 知0x ，所以(,0)x 时，( )0fx ，当 (0,)x时，( )0fx ，所以 max ( )(0)1,f xf即( )f x的值域是(,1，而要 使( )( ) k fxf x在r上恒成立，结合条件分别取不同的k值，可得 d 符合，此时 13 ( )( ) k fxf x。故选 d 项。 36.（2009 天津卷理）已知函数 0,4 0,4 )( 2 2 xxx xxx xf若 2 (2)( ),faf a则实数 a 的取值范围是 ( ) a (, 1)(2,) b ( 1,2) c ( 2,1) d (, 2)(1,) 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析：由题知)(xf在r上是增函数，由题得aa 2 2，解得12 a，故选择 c。 37.（2009 四川卷理）已知函数( )f x是定义在实数集r上的不恒为零的偶函数，且对任意实 数x都有(1)(1) ( )xf xx f x，则 5 ( ( ) 2 f f的值是 ( ) a.0 b. 1 2 c.1 d. 5 2 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。 （同文 12） 答案 a 解析 令 2 1 x，则0) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ffff；令0 x，则 0)0( f 由(1)(1) ( )xf xx f x得)( 1 )1(xf x x xf ，所以 0)0() 2 5 (0) 2 1 ( 2 1 2 3 3 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 2 3 2 5 ) 2 5 ( fffffff，故选择 a。 38.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 1 y x 有相同定义域的是 ( ) a .( )lnf xx b. 1 ( )f x x c. ( ) |f xx d.( ) x f xe 答案 a 解析 解析 由 1 y x 可得定义域是0. ( )lnxf xx的定义域0x ； 1 ( )f x x 的定 义域是x0；( ) |f xx的定义域是;( ) x xr f xe定义域是xr。故选 a. 14 39.（2009 福建卷文）定义在 r 上的偶函数 f x的部分图像如右图所示，则在2,0上， 下列函数中与 f x的单调性不同的是 ( ) a 2 1yx b. | 1yx c. 3 21,0 1,0 xx y xx d , ,0 x x exo y ex 答案 c 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在2,0上单 调递减，注意到要与 f x的单调性不同，故所求的函数在2,0上应单调递增。而函 数 2 1yx在,1上递减；函数1yx在,0时单调递减；函数 0, 1 0, 12 3 xx xx y在（ 0 , 上单调递减，理由如下 y=3x20(x0)在区间8 , 8上有四个不同的根 1234 ,x x x x,则 1234 _.xxxx 答案 -8 解析 因为定义在 r 上的奇函数，满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f xfx,所以, 由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知 (8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所 以)(xf在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四 个不同的根 1234 ,x x x x,不妨设 1234 xxxx由对称性知 12 12xx 34 4xx所 以 1234 1248xxxx 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 17 14.（2009 四川卷文）设v是已知平面m上所有向量的集合，对于映射:,f vv av， 记a的象为( )f a。若映射:f vv满足：对所有abv、及任意实数, 都有 ()( )( )fabf af b，则f称为平面m上的线性变换。现有下列命题： 设f是平面m上的线性变换，abv、，则()( )( )f abf af b 若e是平面m上的单位向量，对,( )avf aae设，则f是平面m上的线性变 换； 对,( )avf aa 设，则f是平面m上的线性变换； 设f是平面m上的线性变换，av，则对任意实数k均有()( )f kakf a。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 解析 ：令1，则)()()(bfafbaf故是真命题 同理，：令0,k，则)()(akfkaf故是真命题 ：aaf)(，则有bbf)( )()()()()()(bfafbababaf是线性变换，故是 真命题 ：由eaaf)(，则有ebbf)( ebfafeebeaebabaf)()()()()()( e是单位向量，e0，故是假命题 【备考提示备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意 新 颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 48.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分） 已知二次函数)(xgy 的导函数的图像与直线2yx平行,且)(xgy 在x=1 处取 得最小值 m1(m0).设函数 x xg xf )( )( (1)若曲线)(xfy 上的点 p 到点 q(0,2)的距离的最小值为2,求 m 的值 (2) )(rkk如何取值时,函数kxxfy)(存在零点,并求出零点. 18 解 （1）设 2 g xaxbxc，则 2gxaxb； 又 gx的图像与直线2yx平行 22a 1a 又 g x在1x 取极小值， 1 2 b ， 2b 11 21gabccm ， cm； 2 g xm f xx xx ， 设 ,oo p x y 则 2 22 22 0000 0 2 m pqxyxx x 2 22 0 2 0 222 22 m xm x 2 2 224m 2 2 m ； （2）由 120 m yf xkxk x x ， 得 2 120k xxm * 当1k 时，方程 *有一解 2 m x ，函数 yf xkx有一零点 2 m x ； 当1k 时，方程 *有二解4410mk ，若0m ， 1 1k m ， 函数 yf xkx有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk ；若0m ， 1 1k m ，函数 yf xkx有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk ； 当1k 时，方程 *有一解4410mk , 1 1k m , 函数 yf xkx有一零点 1 1 x k 49.（2009 浙江理） （本题满分 14 分）已知函数 322 ( )(1)52f xxkkxx， 22 ( )1g xk xkx， 其中kr （i）设函数( )( )( )p xf xg x若( )p x在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； （ii）设函数 ( ),0, ( ) ( ),0. g xx q x f xx 是否存在k，对任意给定的非零实数 1 x，存在惟 一 19 的非零实数 2 x（ 21 xx） ，使得 21 ()()q xq x成立？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由 解 （i）因 32 ( )( )( )(1)(5) 1p xf xg xxkxk， 2 32(1)(5)pxxkxk，因( )p x在区间(0,3)上不单调，所以 0px在 0,3上有实数解，且无重根，由 0px 得 2 (21)(325),kxxx 2 (325)3910 21 214213 xx kx xx ，令21,tx有1,7t，记 9 ( ),h tt t 则 h t在1,3上单调递减，在3,7上单调递增，所以有 6,10h t ， 于是 9 216,10 21 x x ，得5, 2k ，而当2k 时有 0px在 0,3 上有两个相等的实根1x ，故舍去，所以5, 2k ； （ii）当0x 时有 22 32(1)5qxfxxkkx； 当0x 时有 2 2qxgxk xk，因为当0k 时不合题意，因此0k ， 下面讨论0k 的情形，记 a( ,)k，b=5,（）当 1 0x 时， qx在 0,上单调递增，所以要使 21 qxqx成立，只能 2 0x 且ab，因此有 5k ， （）当 1 0x 时， qx在0,上单调递减，所以要使 21 qxqx成立，只能 2 0x 且ab，因此5k ，综合（） （）5k ； 当5k 时 a=b，则 11 0,xqxba，即 2 0,x使得 21 qxqx成立， 因为 qx在0,上单调递增，所以 2 x的值是唯一的； 同理， 1 0x，即存在唯一的非零实数 221 ()x xx，要使 21 qxqx成立， 所以5k 满足题意 7.（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分) 设a为实数，函数 2 ( )2()|f xxxaxa. (1)若(0)1f，求a的取值范围； (2)求( )f x的最小值； (3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 ( )1h x 的解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考 查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。 20 满分 16 分 （1）若(0)1f，则 2 0 | 11 1 a a aa a （2）当xa时， 22 ( )32,f xxaxa 2 2 min ( ),02,0 ( ) 2 ( ),0 ,0 3 3 f a aaa f x a a fa a 当xa时， 22 ( )2,f xxaxa 2 min 2 (),02,0 ( ) ( ),0 2,0 fa aaa f x f a a aa 综上 2 2 min 2,0 ( ) 2 ,0 3 aa f x a a （3）( ,)xa时，( )1h x 得 22 3210xaxa ， 222 412(1)128aaa 当 66 22 aa 或时，0,( ,)xa ； 当 66 22 a时，0,得： 22 3232 ()()0 33 aaaa xx xa 讨论得：当 26 (,) 22 a时，解集为( ,)a ; 当 62 (,) 22 a 时，解集为 22 3232 ( ,) 33 aaaa a ; 当 22 , 22 a 时，解集为 2 32 ,) 3 aa . 50.（2009 年上海卷理）已知函数( )yf x的反函数。定义：若对给定的实数(0)a a ， 函数()yf xa与 1( )yfxa 互为反函数，则称( )yf x满足“a和性质” ；若 函数()yf ax与 1( )yfax 互为反函数，则称( )yf x满足“a积性质” 。 （1）判断函数 2 ( )1(0)g xxx是否满足“1 和性质” ，并说明理由； （2）求所有满足“2 和性质”的一次函数； （3）设函数( )(0)yf x x对任何0a ，满足“a积性质” 。求( )yf x的表达式。 21 解 （1）函数 2 ( )1(0)g xxx的反函数是 1( ) 1(1)gxxx 1( 1)(0)gxx x 而 2 (1)(1)1(1),g xxx 其反函数为1 1(1)yxx 故函数 2 ( )1(0)g xxx不满足“1 和性质” （2）设函数( )()f xkxb xr满足“2 和性质” ，0.k 11 2 ( )(),(2) xbxb fxxrfx kk .6 分 而(2)(2)(),f xk xb xr得反函数 2xbk y k .8 分 由“2 和性质”定义可知 2xb k = 2xbk k 对xr恒成立 1,kbr 即所求一次函数为( )()f xxb br 10 分 （3）设0a ， 0 0x ，且点 00 (,)xy在()yf ax图像上，则 00 (,)yx在函数 1( )yfax 图象上， 故 00 ()f axy，可得 000 ()()ayf xaf ax， 12 分 1 00 ()fayx 令 0 axx，则 0 x a x 。 0 0 ()( ) x f xf x x ，即 00 () ( ) x f x f x x 。 14 分 综上所述， 1 1 1 n n bqb ( )(0) k f xk x ，此时() k f ax ax ，其反函数就是 k y ax ， 而 1( ) k fax ax ，故()yf ax与 1( )yfax 互为反函数 。 20052008 年高考年高考题题 一、选择题 1.（2008 年山东文科卷）设函数 2 2 11 ( ) 21 xx f x xxx ， ， 则 1 (2) f f 的值为（ ） 22 a 15 16 b 27 16 c 8 9 d18 答案 a 2.（07 天津）在r上定义的函数 xf是偶函数，且 xfxf2，若 xf在区间 2 , 1是减函数，则函数 xf （ ） a.在区间1, 2 上是增函数，区间 4 , 3上是增函数 b.在区间1, 2 上是增函数，区间 4 , 3上是减函数 c.在区间1, 2 上是减函数，区间 4 , 3上是增函数 d.在区间1, 2 上是减函数，区间 4 , 3上是减函数 答案 b 3. (07 福建)已知函数 xf为 r 上的减函数，则满足1 1 f x f 的实数x的取值范围 是 （ ） a.1 , 1 b. 1 , 0 c. 1 , 00 , 1 d