几何变换的综合题.doc

关于几何变换的几道综合题【与旋转有关的几何证明题】1（05北京）已知，分别以、为边向外作等边三角形、等边三角形、等边三角形（1）如图1，当是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；图1（2）如图2，当中只有时，请你证明与的和等于与的和图2 （2）解法二：过a作垂线，利用将bc用ac、bc表示出来，进而将每部分的面积和都表示出来，即可得证。此题目中包含了基本图形变换，其本质是旋转问题，但也体现了一些求面积的方法。【变化过程中不变的量及关系】2. （2008年广东省中山市）（1）如图7，点o是线段ad的中点，分别以ao和do为边在线段ad的同侧作等边三角形oab和等边三角形ocd，连结ac和bd，相交于点e，连结bc求aeb的大小；baodce图8cbod图7a（2）如图8，oab固定不动，保持ocd的形状和大小不变，将ocd绕着点o旋转（oab和ocd不能重叠），求aeb的大小.解：（1）如图7. boc和abo都是等边三角形， 且点o是线段ad的中点， od=oc=ob=oa,1=2=60, 4=5. 又4+5=2=60, 4=30.同理，6=30.3 aeb=4+6, aeb=60.（2）如图8. boc和abo都是等边三角形， od=oc, ob=oa,1=2=60，又od=oa, odob，oaoc， 4=5，6=7. dob=1+3, aoc=2+3,dob=aoc. 4+5+dob=180, 6+7+aoc=180, 25=26, 5=6.又 aeb=8-5， 8=2+6， aeb2552， aeb60.这是一道变换条件但结论不变的变式题，纯几何图形的关于旋转的简单证明，注意图形之中有不变的量。其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论亦可变，充满着神奇，孕育着创造！例1 （2008湖北）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上.（1）若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当时， 是什么三角形？（3）在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，为等边三角形.图1图2图4图3解：（1）= 证明：的中点为 在中， 在中，=（2） 同理 = 而 当时，此时为等腰直角三角形 （3）当绕点逆时针旋转一定的角度，仍然存在=， 故当时，为等边三角形。包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。【阅读题类】4请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决dcgpabef图2dabefcpg图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明解：（1）线段与的位置关系是；dcgpabefh （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， 由题意可知， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形， ，即， 本题为阅读理解题，阅读材料，从中获取解题方法与思路，并运用这种方法解决问题【变化中的探究】5（2008盐城）如图甲，在abc中，acb为锐角点d为射线bc上一动点，连接ad，以ad为一边且在ad的右侧作正方形adef解答下列问题：（1）如果ab=ac，bac=90当点d在线段bc上时（与点b不重合），如图乙，线段cf、bd之间的位置关系为 ，数量关系为 第28题图图甲图乙图丙当点d在线段bc的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果abac，bac90，点d在线段bc上运动试探究：当abc满足一个什么条件时，cfbc（点c、f重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）解：（1）cf与bd位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；当点d在bc的延长线上时的结论仍成立由正方形adef得 ad=af ，daf=90bac=90，daf=bac ， dab=fac，又ab=ac ，dabfac ， cf=bd acf=abdbac=90， ab=ac ，abc=45，acf=45，bcf=acb+acf= 90即 cfbd图丁（2）画图正确当bca=45时，cfbd（如图丁） 理由是：过点a作agac交bc于点g，ac=ag可证：gadcaf acf=agd=45 bcf=acb+acf= 90 即cfbd更开放，难度更大，在探究的过程中发现我们要寻找的结论。 【坐标系中的变换与代数的结合】例2 （2008苏州）课堂上，老师将图中绕点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当旋转时，得到已知，（1）的面积是 ；点的坐标为（ ， ）；点的坐标为（ ， ）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图中绕的中点逆时针旋转得到，设交于，交轴于此时，和的坐标分别为，和，且经过点在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与重叠部分的面积不断变小，旋转到时重叠部分的面积（即四边形的面积）最小，求四边形的面积（3）在（2）的条件下，外接圆的半径等于 yx11b1a1a(4，2)b(3，0)o图yx11a(4,2)b(3,0)o图(1,3)(3,2)d(3,-1)ce证明：（1）3，yx11a(4,2)b(3,0)o（第28题）(1,3)(3,2)d(3,-1)cghe（2）作于，轴于，的横坐标相等，轴，四边形为矩形又，矩形为正方形，在和中，（3）这是一道坐标几何题，中考中的坐标几何题，融丰富的几何图象于一题，包含的知识点较多；代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧妙融合，交相辉映，数形结合思想和方法得到充分运用.本题（2）中的面积的计算是根据旋转不变性，构造全等三角形，将四边形的面积进行转化，这是一种重要的数学思想方法.7（金华）如图，在平面直角坐标系中，已知aob是等边三角形,点a的坐标是（0，4），点b在第一象限，点p是x轴上的一个动点，连结ap，并把aop绕着点a按逆时针方向旋转，使边ao与ab重合，得到abd.（1）求直线ab的解析式；（2）当点p运动到点（,0）时，求此时dp的长及点d的坐标；（3）是否存在点p,使opd的面积等于,若存在，请求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）如图，过点b作bey轴于点e，作bfx 轴于点f.由已知得bf=oe=2, of= = 点b的坐标是( ，2) 设直线ab的解析式是y=kx+b，则有 解得 直线ab的解析式是y= x+4 (2) 如图，abd由aop旋转得到，abdaop， ap=ad， dab=pao，dap=bao=600， adp是等边三角形，dp=ap= . 如图，过点d作dhx 轴于点h，延长eb交dh于点g,则bgdh.hgfexybaodp在rtbdg中，bgd=900, dbg=600.bg=bdcos600=. dg=bdsin600= . oh=eg=, dh= 点d的坐标为( , ) hgfexybaodp(3)假设存在点p, 在它的运动过程中,使opd的面积等于 .设点p为（t，0），下面分三种情况讨论:当t0时，如图，bd=op=t, dg=t, dh=2+t. opd的面积等于 ， ，x ybaodphgfe解得 , ( 舍去) . 点p1的坐标为 (, 0 )当t0时，如图，bd=op=t, bg=t, dh=gf=2（t）=2+t. opd的面积等于， ，解得 , . 点p2的坐标为(, 0)，点p3的坐标为(, 0).x ybaodphge当t 时，如图，bd=op=t, dg=t, dh=t2.