数字控制器的最优化设计.ppt

第五章 数字控制器的最优化设计 5-1 基于状态空间模型的极点配置设计法 设计目的：在已知被控对象的状态空间模型的前提下，可按极点配置来 设计控制器，使闭环系统既有克服扰动的能力，又有跟踪给定值的能力 。 思路：如果上述框图中控制器的加入等效于改变控制量对输出的影响，其 作用相当于改变了闭环的极点位置。而改变闭环的极点位置不一定非要输 出反馈，可用下面所谓状态反馈来实现。下面介绍状态变量及反馈。 图41 控制器组成： 1、 状态观测器（状态不可测时使用）；2、控制规律 矢量方框图 5-1-1 按极点配置设计控制规律 设：连续控制对象的状态方程 相应的离散状态方程(现代控制 理论p74 刘豹编） 其中： 注：应用差分变换法可得到近似差分方程，此处从略。 假设控制规律是线性状态反馈 闭环系统的状态方程（设输入为 0 ） 闭环矩阵特征方 程： 设计反馈控制规律k，使得闭环系统具有所需要的极点配置 。 图5-1具有状态反馈的闭环系统 设系统的状态变量可测得，又 期望闭环控制极点 ： 求得闭环特征方程为： 反馈控制矩阵 k 应满足方程： 通过状态反馈进行极点任意配置的充要条件是：系统完全 能控，即满足 系统满足秩的要求，k 就有唯一的解。 或者说在确定期望闭环极点的情况下，能解出一组 k 值 。 例：设被控对象完全能控，且对象离散状态方程为： 假设采样周期t=0.1s , 要求闭环系统的的动态响应性能相 当于阻尼系数 =0.5 和无阻尼自然振荡频率n=3.6 的二阶连 续系统，用极点配置的方法设计状态反馈控制规律 k。 解：根据已知和n，求s平面的极点 特征方程： 设状态反馈矩阵 上述例子只适应于系统阶次较低的情况，当系统阶次较高时，可用 卡尔曼法，为了说明此法，设系统为单输入。 卡尔曼法 对于高阶系统，式 的展开非常困难，为此常采用卡尔曼法，介绍如下： 是能控性矩阵。由现代控制理论可知，若系统能控，其初始状 态 可以在n步内达到终值状态 ，所需的输入 变量可由上式导出 为了得到u(k)的表达式 只需求出上式的最后一行。由上式得： 式中 由式 得： 带状态反馈的闭环系统希望特征方程具有如下形式 根据凯莱哈密尔顿定理，矩阵（a-bk）满足如下方程 因此， 可以证明 代入上式得： 待求的反馈矩阵为： 举例（见教材例5-1、例5-2） ： 二、状态观测器设计法 上述的用状态反馈法进行极点配置前题是状态变量都可以直接 测得，而实际中状态变量往往难以直接测得，此时就要考虑用所谓 状态观测器来间接得到，本节的状态观测器设计法就是利用状态观 测器来获得状态变量，然后再通过反馈矩阵返回到输入端形成闭环 状态反馈，以得到期望的闭环极点。 （一）全维状态观测器 1、开环全维状态观测器 、 （参看教材） 对象 a、b 观测器 a、b c c 开环全维状态观测器应用于 实际中存在下述严重缺点： 状态重构误差的动态特性取决于系数矩阵a，即取决于对象的动 态特性，无法按实际需要进行调整，这往往使它的动态特性不符 合要求。另外，当a有不稳定的特征值时，根本不能采用这种类 型的观测器。另外，初始值不一致也会带来误差。 2、闭环观测器 观测器 根据上图写出闭环观测器的状态方程 将控制对象的状态方程（5-13）与式（5-16）相减，得到状 态重构误差方程为 由式（5-17）可见，状态重构误差的动态性能取决于矩阵 a-lc。只要适当地选择增益矩阵l，便可获得希望的状 态重构特性。因此，设计观测器就是设法合理地选取l 。 由式（5-17），状态重构误差的特征方程为 只要适当地选择特征根，即可求出对应的增益矩阵l 对于低阶系统，利用教材中式（5-19） 可确定 l 矩阵，对于高阶系统，采用与卡尔曼 极点配置法类似的方法可推导出 注意： l 与 b 的位 置有区别，这里结 果也有区别。 (二）降维观测器(略，也可参看现代控制理论p195，刘豹编) 当某个（或几个）状态变量可有输出量得到时，就不 需要构造全维观测器，就可设计降维观测器。 (三)观测器对闭环系统动态特性的影响 将观测器重构出来的状态变量反馈到被控对象的输入端,组成图5- 4所示的闭环系统,其中重构的状态变量 通过反馈矩阵k构成 控制变量。这种系统的特点是，反馈的状态变量是重构量 而 不是 ，这会对系统的动态特性产生怎样的影响呢？ 状态观 测器 图5- 4 带状态观测器的闭环系统 在图5- 4中 其中 是参考输入。令于是有 由式（517）并结合上式，得到描述闭环系统的动态方程 它的特征方程 定义 上式表示，闭环系统的极点是由不带观测器闭环系统极点加上 观测器的极点组成的。实际设计系统时，可将两部分极点分开 来考虑，先由系统特征方程 确定出原系统的最小时间常数（或期望极点）。然后，令观测 器的时间常数是它的1/4左右，即可确定观测器的极点。 又根据图（5- 4）可写出 取两式z变换，经整理得 当 时,由上两式可解出 前者总是成立，后者除非进入稳态，即 代入上一方程得 此结果说明 , 在 时,原系统的动态特性在观测器进入稳态时与观测器的接入无 关。 （观测器进入稳态时此式成立 ） 三、离散二次型指标函数最优控制 设系统状态方程为 初始状态已知，取目标函数 式中第一项：对终端状态的约束 式中第二项：x(k+1)与x(k)只差一个采样周期，可替代 式中第三项：对输入量幅值的限制 现在要求设计调节器，使式（ 533）表示的系统从初始状态 转移到终态 （533 ） （534 ） ，并使 j 最小 。 下面用最优性原理（见现代控制理论中动态规划）求解这个最优 控制问题，最优性原理叙述见教材。最优性原理说明，从k=0到 k=n-1的n级控制如果是最优控制，则其后n-m级控制也是最优的。 这样，若从终端倒推计算最优控制，就可将n级控制问题转化为n 个单级控制问题。 根据式（534），可得从k = m (m = 0, 1, 2, ,n-1 )到k=n 的性能指标 为 （535 ） 时，最后一级性能指标函数为 （536 ） 当时， 并利用(531)式 (537) 为使最小，令 值得指出的是：上述求导过程中，只是对控制量 ，而并未对 求导。原因是控制量是可以改变的， 而状态变量是由上一级的控制所决定的，在本级是不能改变 的，它是作为本级的初始条件（或初始状态）存在的。 可得 最优控制 (538) 将上式代入（537）式，得到最后一级最优性能指标 对照式（5-36），在上式中，令 ： 于是，由式（536）和式（539） ，有 （539 ） 推广到一般，有 式中 最优控制 和反馈矩阵 为 （540） （541 ） （542） （543） 由式（5-41）和式（5-43）可得出 k = 0时，最优性能指标为 （545） （544） 式（541）称为 方程， 称为 增益矩阵 例53 二阶系统的状态方程为 式中 已知 , 试求最优控制 使性 能指标 最小 。 解：由给定的性能指标，可知 由式（544），有 （546） （547） （548） 由终端的边界条件开始计算 增益 矩阵 由式（547）和（548）的递归关系，解出 当 时， 增益矩阵趋近于常数 算出的最优控制、最优轨线如表51 图5-1具有状态反馈的闭环系统 1.设一阶离散系统 求最优控制及最优轨线 。 解：为简单，取n=2。问题是要确定最优控制， ；最优轨线 ， 及最优性能泛函 ，见图 先求最后一步， 即由状态转移到 这一步。如果采用控制 ，则有 最优控制应使由状态出发时为最小，故有 由此得 则有 实际上，它们都是这一段初始状态 的函数 。 再考虑虑倒数第二步 ，即由初始状态态转转移到的这这一步。 如果采用，则有 为使为最优控制，必须满足 故有： 它们也都是初始状态的函数。 综上可得最优控制： 最优轨线： 最优性能泛函 基于非参数模型的两种预测控制算法: 5-1-1 模型算法控制 模型算法控制(model algorithmic control)简称为mac， 是一类基于系统脉冲响应的控制算法。 模型算法控制适用于渐近稳定系统，对于开环不稳定系统 ，可先使用常规调节器使之稳定，然后再使用mac。 5 - 2 基于系统非参数模型的控制算法 基于非参数模型的预测控制，通常选用系统的脉冲响应模型 或阶跃响应模型来描述被控对象，并采用滚动优化目标函数 求解最优预测控制律。 由于实际可使用的只能是经测量得到的脉冲响应，它与实 际系统的脉冲响应是有差别的。 由系统控制量u(k)和gt的离散卷积可得出系统在t (k+1)t时刻输出量的预测值 要达到控制目的设法使系统输出量y(t)沿着一条希望的曲 线到达预期的给定值 参考轨迹。 参考轨迹在kt以后各时刻的值为： tr为参考轨迹的时间常数。若记aexp(-t/tr)，则有 常用的指标函数： wi为非负的权系数，它决定各采样时刻的误差在jz中占的 比重；zn，称为预测