高考数学难点突破_难点05__求解函数解析式.doc

难点5 求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.难点磁场()已知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1).案例探究例1(1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.解：(1)令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同时等于1或1，所以所求函数为：f(x)=2x21或f(x)=2x2+1或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1或f(x)=x2+x+1或f(x)=x2+x1.例2设f(x)为定义在r上的偶函数，当x1时，y=f(x)的图象是经过点(2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属题目.知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解：(1)当x1时，设f(x)=x+b射线过点(2，0).0=2+b即b=2，f(x)=x+2.(2)当1x1时f(x)等于( )a.f(x)=(x+3)21b.f(x)=(x3)21c.f(x)=(x3)2+1d.f(x)=(x1)21二、填空题3.()已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_.4.()已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_.三、解答题5.()设二次函数f(x)满足f(x2)=f(x2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式.6.()设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式.若矩形abcd的两个顶点a、b在x轴上，c、d在y=f(x)(0x2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.()动点p从边长为1的正方形abcd的顶点a出发顺次经过b、c、d再回到a，设x表示p点的行程，f(x)表示pa的长，g(x)表示abp的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.8.()已知函数y=f(x)是定义在r上的周期函数，周期t=5，函数y=f(x)(1x1)是奇函数，又知y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求y=f(x)在4，9上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),则cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二：(配凑法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4).歼灭难点训练一、1.解析：f(x)=.ff(x)=x,整理比较系数得m=3.答案：a2.解析：利用数形结合，x1时，f(x)=(x+1)21的对称轴为x=1,最小值为1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为1.答案：b二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面两式联立消去f()可得f(x)=x.答案：f(x)= x4.解析：f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,f(x)=x2+x.答案：x2+x三、5.解：利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=.6.解：(1)设x1,2,则4x2,3,f(x)是偶函数，f(x)=f(x),又因为4是f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4.(2)设x0，1，则2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知x0,2时，f(x)=2(x1)2+4,设a、b坐标分别为(1t,0）,(1+t,0)(0t1,则|ab|=2t,|ad|=2t2+4,s矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令s矩=s，=2t2(2t2)(2t2)()3=,当且仅当2t2=2t2,即t=时取等号.s2即s,smax=.7.解：(1)如原题图，当p在ab上运动时，pa=x;当p点在bc上运动时，由rtabd可得pa=;当p点在cd上运动时，由rtadp易得pa=;当p点在da上运动时，pa=4x,故f(x)的表达式为：f(x)=(2)由于p点在折线abcd上不同位置时，abp的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对p点的位置进行分类求解.如原题图，当p在线段ab上时，abp的面积s=0；当p在bc上时，即1x2时，sabp=abbp=(x1）；当p在cd上时，即2x3时，sabp=11=；当p在da上时，即3x4时，sabp=(4x).故g(x)=8.(1)证明：y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2)解：当x1,4时，由题意，可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4).(3)解：y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x) (0x1)是一次函数，可设f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3,又f(1)=k1=k,k=3.当0x1时，f(x)=3x,当1x0时，f(x)=3x,当4x6时，1x51,f(x)=f(x5)=3(x5)=3x+15,当6x9时，1x54,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25.f(x)=.椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点p处的切线pt平分pf1f2在点p处的外角.2. pt平分pf1f2在点p处的外角，则焦点在直线pt上的射影h点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦pq为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径pf1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外 ，则过po作椭圆的两条切线切点为p1、p2，则切点弦p1p2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为f1，f 2，点p为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).9. 设过椭圆焦点f作直线与椭圆相交 p、q两点，a为椭圆长轴上一个顶点，连结ap 和aq分别交相应于焦点f的椭圆准线于m、n两点，则mfnf.10. 过椭圆一个焦点f的直线与椭圆交于两点p、q, a1、a2为椭圆长轴上的顶点，a1p和a2q交于点m，a2p和a1q交于点n，则mfnf.11. ab是椭圆的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，则，即。12. 若在椭圆内，则被po所平分的中点弦的方程是.13. 若在椭圆内，则过po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 点p处的切线pt平分pf1f2在点p处的内角.2. pt平分pf1f2在点p处的内角，则焦点在直线pt上的射影h点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦pq为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径pf1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：p在右支；外切：p在左支）5. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过po作双曲线的两条切线切点为p1、p2，则切点弦p1p2的直线方程是.7. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为f1，f 2，点p为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 当在右支上时，,.当在左支上时，,9. 设过双曲线焦点f作直线与双曲线相交 p、q两点，a为双曲线长轴上一个顶点，连结ap 和aq分别交相应于焦点f的双曲线准线于m、n两点，则mfnf.10. 过双曲线一个焦点f的直线与双曲线交于两点p、q, a1、a2为双曲线实轴上的顶点，a1p和a2q交于点m，a2p和a1q交于点n，则mfnf.11. ab是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，则，即。12. 若在双曲线（a0,b0）内，则被po所平分的中点弦的方程是.13. 若在双曲线（a0,b0）内，则过po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 椭圆（abo）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于p1、p2时a1p1与a2p2交点的轨迹方程是.2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于b,c两点，则直线bc有定向且（常数）.3. 若p为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,f1, f 2是焦点, , ，则.4. 设椭圆（ab0）的两个焦点为f1、f2,p（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在pf1f2中，记, ,，则有.5. 若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，左准线为l，则当0e时，可在椭圆上求一点p，使得pf1是p到对应准线距离d与pf2的比例中项.6. p为椭圆（ab0）上任一点,f1,f2为二焦点，a为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 已知椭圆（ab0），o为坐标原点，p、q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值为;（3）的最小值是.9. 过椭圆（ab0）的右焦点f作直线交该椭圆右支于m,n两点，弦mn的垂直平分线交x轴于p，则.10. 已知椭圆（ ab0）,a、b、是椭圆上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点, 则.11. 设p点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,f1、f2为其焦点记，则(1).(2) .12. 设a、b是椭圆（ ab0）的长轴两端点，p是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .13. 已知椭圆（ ab0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于a、b两点,点在右准线上，且轴，则直线ac经过线段ef 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1. 双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于p1、p2时a1p1与a2p2交点的轨迹方程是.2. 过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于b,c两点，则直线bc有定向且（常数）.3. 若p为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,f1, f 2是焦点, , ，则（或）.4. 设双曲线（a0,b0）的两个焦点为f1、f2,p（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在pf1f2中，记, ,，则有.5. 若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为f1、f2，左准线为l，则当1e时，可在双曲线上求一点p，使得pf1是p到对应准线距离d与pf2的比例中项.6. p为双曲线（a0,b0）上任一点,f1,f2为二焦点，a为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7. 双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是.8. 已知双曲线（ba 0），o为坐标原点，p、q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最小值为;（3）的最小值是.9. 过双曲线（a0,b0）的右焦点f作直线交该双曲线的右支于m,n两点，弦mn的垂直平分线交x轴于p，则.10. 已知双曲线（a0,b0）,a、b是双曲线上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.11. 设p点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,f1、f2为其焦点记，则(1).(2) .12. 设a、b是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，p是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .13. 已知双曲线（a0,b0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于a、b两点,点在右准线上，且轴，则直线ac经过线段ef 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.高中数学函数知识点梳理1. .函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.注：如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.2. 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.注：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.注：若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.3. 多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数的图象关于直线对称.4. 两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.5. 互为反函数的两个函数的关系.27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，. 7. 几个函数方程的周期(约定a0)（1），则的周期t=a；（2），或，或,或,则的周期t=2a；(3)，则的周期t=3a；(4)且，则的周期t=4a；(5),则的周期t=5a；(6)，则的周期t=6a.8. 分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.9. 根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.10. 有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).11. 对数的四则运算法则若a0，a1，m0，n0，则(1);(2);(3).注：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若,则函数(1) 当时,在和上为增函数.(2) (2)当时,在和上为减函数.推论:设，且，则（1）.（2）.难点11 函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.难点磁场()设函数f(x)的定义域为r，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时f(x)0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+),求命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)f(x2)找到问题的突破口.错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)进行合理变形.技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)变形为是解决问题的关键.(1) 解：因为对x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=0,x0,1又因为f(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2又f(1)=a0f()=a,f()=a(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xr.又由f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xrf(x)=f(2x),xr.将上式中x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是r上的周期函数，且2是它的一个周期.(3)解：由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a.又f(x)的一个周期是2f(2n+)=f(),因此an=a例2甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a+bv2=s(+bv)所求函数及其定义域为y=s(+bv),v(0,c.(2)依题意知，s、a、b、v均为正数s(+bv)2s 当且仅当=bv,即v=时，式中等号成立.若c则当v=时，有ymin；若c,则当v(0,c时，有s(+bv)s(+bc)=s()+(bvbc)= (cv)(abcv)cv0,且cbc2,abcvabc20s(+bv)s(+bc),当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，有ymin；综上可知，为使全程运输成本y最小，当c时，行驶速度应为v=,当c时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)函数y=x+ (k0),x(0,+),当x(0,)时，y单调减小，当x(,+)时y单调增加，当x=时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=sb(v+),v(0,c.当c时，则当v=时，y最小，若c时，则当v=c时，y最小.结论同上.锦囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.歼灭难点训练一、选择题1.()函数y=x+a与y=logax的图象可能是( )2.()定义在区间(,+)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，+)的图象与f(x)的图象重合，设ab0,给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(b)g(a) f(a)f(b)g(b)g(a)其中成立的是( )a.与b.与c.与d.与二、填空题3.()若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_.三、解答题4.()设a为实数，函数f(x)=x2+|xa|+1,xr.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.5.()设f(x)=.(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式fx(x)0.求证：.7.()某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8.()已知函数f(x)在(,0)(0,+)上有定义，且在(0,+)上是增函数，f(1)=0,又g()=sin2mcos2m,0,设m=m|g()0,mr,n=m|fg()0,f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)=f(x2x1)因为x0时f(x)0,f(x1)f(x2)0f(x)在9，9上是减函数故f(x)的最大值为f(9),最小值为f(9).而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f(9)=f(9)=12.f(x)在区间9，9上的最大值为12，最小值为12.歼灭难点训练一、1.解析：分类讨论当a1时和当0a1时.答案：c2.解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)f(b)=f(2)f(1)=2+1=3.g(b)g(a)=g(1)g(2)=12=1.f(a)f(b)g(1)g(2)=12=1.又f(b)f(a)=f(1)f(2)=1+2=3.g(a)g(b)=g(2)g(1)=21=1,f(b)f(a)=g(a)g(b).即与成立.答案：c二、3.解析：设2x=t0，则原方程可变为t2+at+a+1=0方程有两个正实根，则解得：a(1,22.答案：(1，22三、4.解：(1)当a=0时，函数f(x)=(x)2+|x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a0时，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1,f(a)f(a),f(a)f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)当xa时，函数f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+,若a,则函数f(x)在(,a上单调递减，从而，函数f(x)在(,a上的最小值为f(a)=a2+1.若a,则函数f(x)在(,a上的最小值为f()=+a,且f()f(a).当xa时，函数f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+;当a时，则函数f(x)在a,+上的最小值为f()=a,且f()f(a).若a,则函数f(x)在a,+)上单调递增，从而，函数f(x)在a,+上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a时，函数f(x)的最小值是a,当a时，函数f(x)的最小值是a2+1;当a时，函数f(x)的最小值是a+.5.(1)证明：由 得f(x)的定义域为(1，1)，易判断f(x)在(1，1)内是减函数.(2)证明：f(0)=,f-1()=0,即x=是方程f-1(x)=0的一个解.若方程f-1(x)=0还有另一个解x0,则f-1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0,与已知矛盾，故方程f-1(x)=0有惟一解.(3)解：fx(x),即fx(x)f(0).6.证明：对f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=x,又得f(x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)=f(x),f(x)在x(1,1)上是奇函数.设1x1x20,则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=f(),1x1x20,x1x20,1x1x20.0,于是由知f()0,从而f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在x(1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在x(0,1)上仍是递减函数，且f(x)0.7.解：(1)因污水处理水池的长为x米，则宽为米，总造价y=400(2x+2)+2482+80200=800(x+)+1600,由题设条件 解得12.5x16,即函数定义域为12.5，16.(2)先研究函数y=f(x)=800(x+)+16000在12.5,16上的单调性，对于任意的x1,x212.5,16,不妨设x1x2,则f(x2)f(x1)=800(x2x1)+324()=800(x2x1)(1),12.5x1x216.0x1x2162324,1,即10.又x2x10,f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1),故函数y=f(x)在12.5,16上是减函数.当x=16时，y取得最小值，此时，ymin=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.8.解：f(x)是奇函数，且在(0,+)上是增函数，f(x)在(,0)上也是增函数.又f(1)=0,f(1)=f(1)=0,从而，当f(x)0时，有x1或0x1,则集合n=m|fg()=m|g()1或0g()1,mn=m|g()1.由g()1,得cos2m(cos2)+2,0,令x=cos,x0,1得：x2m(x2)+2,x0,1，令：y1=x2,x0,1及y2=m(m2)+2,显然为抛物线一段，是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x0,1得y1y2.m42,故mn=m|m42. 2011高考数学易错题解题方法大全（3）一.选择题 【范例1】集合若则（ ）a2,3,4 b2 ,4 c2,3 d1，2,3,4答案：a【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。【解题指导】，.【练习1】已知集合，则集合的充要条件是（ ） aa3 ba1 ca3 da1 【范例2】函数的定义域为（ ）a b c d答案：c【错解分析】此题容易错选为a，容易漏掉的情况。【解题指导】求具体函数的定义域时要是式子每个部分都有意义.【练习2】若函数的定义域为，且，则函数的定义域是（ ）a b. c. d.【范例3】如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）a1275 b2550 c5050 d2500答案:b【错解分析】此题容易错选为c，应该认真分析流程图中的信息。【解题指导】【练习3】下面是一个算法的程序框图，当输入的值为8时，则其输出的结果是（ ）a b 1 c2 d4【范例4】已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）a b c d答案: a【错解分析】此题容易错选为b，请注意是充分不必要条件，而不是充要条件。【解题指导】由题意，画数轴易知.【练习4】已知下列三组条件：（1），；（2），（为实常数）；（3）定义域为上的函数满足，定义域为的函数是单调减函数其中a是b的充分不必要条件的有 （ ）a（1） b（1）（2） c（1）（3） d（1）（2）（3）【范例5】已知为虚数单位，则复数对应的点位于 （ ）a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限答案:c【错解分析】此题主要考查复数的四则运算，必须熟练掌握。【解题指导】【练习5】在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ）a. b. c. d. 【范例6】设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（ ）a b c d答案：d【错解分析】此题容易错选为b，错误原因是没有注意是单调减函数。【解题指导】由即可得即恒成立，由，解得.【练习6】已知,当时，有,则的大小关系是（ ）a b c d二.填空题【范例7】已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的（其中*），的最大值是 .答案：10 【错解分析】此题容易错选认为求最大项。【解题指导】由得，即在数列中，前三项以及从第9项起后的各项均为负且，因此的最大值是.【练习7】已知等差数列的前n项和是，且，且存在自然数使得，则当时，与的大小关系是 .【范例8】函数的最小值是 .答案：【错解分析】此题容易在化简上出错，对于三角变换的公式一定要熟练掌握，一定要化到三个一的形式：。【解题指导】，此函数的最小值为【练习8】已知，则等于 .【范例9】已知圆上任一点，其坐标均使得不等式0恒成立，则实数的取值范围是 .答案：【错解分析】此题容易忘记数形结合思想的使用。【解题指导】求出圆的斜率为-1的两条切线，画图研究他们和=0的关系.【练习9】为不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立则是的 条件【范例10】圆的过点的切线方程为 .答案:【错解分析】此题容易忘记判断点与圆的位置关系。【解题指导】（一）易知点在圆上，故切线只有一条，且斜率为， （二）借助结论：过圆上一点的切线为。【练习10】过点p(4,2)作圆的两条切线,切点分别为a、b,o为坐标原点，则的外接圆方程为 .【范例11】在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径的圆做圆，若过点，所作圆的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 答案：【错解分析】此题容易错在对图中椭圆，及圆的性质提取不全。【解题指导】过点作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形是一个正方形，即圆心到点的距离等于圆的半径的倍，即，故.【练习11】已知椭圆的中心在o,右焦点为f，右准线为l，若在l上存在点m，使线段om的垂直平分线经过点f，则椭圆的离心率的取值范围是 .【范例12】如图，正三角形p1p2p3，点a、b、c分别为边p1p2，p2p3，p3p1的中点，沿ab、bc、ca折起，使p1、p2、p3三点重合后为点p，则折起后二面角pabc的余弦值为 .答案：【错解分析】此题容易出现的错误有多种，主要原因是没有认真地画出折叠后的三棱锥。【解题指导】取ab的中点d,连接cd,pd,则pdc为二面角pabc的平面角.【练习12】正方形的夹角的余弦值是 .三.解答题【范例13】已知的展开式中前三项的系数成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二项式系数成等差。解：（1）由题设，得 ， 即，解得n8，n1（舍去）（2）设第r1的系数最大，则即 解得r2或r3 所以系数最大的项为，说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用【练习13】函数（为实数且是常数）（1）已知的展开式中的系数为，求的值；（2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。【范例14】已知函数，设。（1）求f（x）的单调区间；（2）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值。（3）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说名理由。【错解分析】（1）在f（x）的定义域内才能求单调区间。（2）对恒成立问题的解决理解不清楚解:(1) 由。 （2） 当 4分（3）若的图象与的图象恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。令，则。当变化时的变化情况如下表：(-1,0)(0,1)(1,)的符号+-+-的单调性由表格知：。画出草图和验证可知，当时，【练习14】已知 求函数在上的最小值； 对一切，恒成立，求实数a的取值范围； 证明对一切，都有成立 【范例15】某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有