自动控制原理第二章数学模型.ppt

第二章 控制系统的数学模型 1 第二章 控制系统的数学模型 2-2 系统微分方程的建立 2-3 非线性微分方程的线性化 2-4 传递函数 (transfer function) 2-7 系统的动态结构图 2-6 典型环节及其传递函数 2-8 信号流图和梅逊公式 基本要求 2-1 引言 2 第二章 控制系统的数学模型 基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。 返回子目录 3 第二章 控制系统的数学模型 6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的 方法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和 用梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数 ，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数 及误差传递函数的概念。 返回子目录 4 第二章 控制系统的数学模型 返回子目录 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以 及内部各中间变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法 2.1 引言 2.1.1 系统数学模型的建模原则 5 2.1 引言 返回子目录 u解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。 u实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等 ），根据系统或元件的输出响应，经过数据 处理而辨识出系统的数学模型。 解析方法适用于简单、典型、常见的系统， 而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实 际上常常是把这两种方法结合起来建立数学 模型更为有效。 6 2.1 引言 返回子目录 2.1.2 系统数学模型的特点 （1）相似性 任何类型的系统都可具有相同的数学模型。 （2）简化性和准确性 同一物理系统，数学模型不是唯一的。由于精度和应用 条件的不同，可以用不同复杂程度的数学模型来表达。 （3）动态模型 描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 （4）静态模型 在静态条件下，描述变量之间关系的代数方程。 7 2.1 引言 返回子目录 2.1.3 数学模型的类型 时域中，有微分方程、差分方程和状态方程 复数域中，有传递函数、结构图； 各类数学模型都有一套相应的分析方法，各有所长。 微分方程是基础，其他模型都是从微分方程导出的。但求解 高阶微分方程比较复杂。 频域中，有频率特性。 8 q 基本步骤： q分析各元件的工作原理，明确输入、输出量和中间变量。 q做出合乎实际的假设，简化问题。 q列出各部分原始方程，建立输入、输出量的动态联系。 q消去中间变量。 q标准化微分方程。 返回子目录 2.2系统微分方程的建立 2.2.1列写微分方程的一般步骤 9 返回子目录 2.2.2 机械系统举例 例2.1 设有一弹簧质量 阻尼动力系统如图所示 ，当外力f(t)作用于系统 时，系统将产生运动， 试写出外力f(t)与质量块 的位移y(t)之间的动态方 程。其中弹簧的弹性系 数为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量为 m。 2.2系统微分方程的建立 10 化简可得： 解：分析质量块m受力， 有 外力f, 弹簧恢复力 阻尼力 由牛顿第二定律有 11 式中：ym的位移（m）； f阻尼系数（ns/m); k 弹簧刚度（n/m)。 将式(2-1)的微分方程标准化 12 t 称为时间常数， 为阻尼比。显然， 上式描述了mkf系统的动态关系，它是一个二阶 线性定常微分方程。 令 ， 即 ， 则式 可写成 13 返回子目录 2.2.3电路系统举例 例2.2 列写如图所示rc网络的微分方程。 r c uruc i 2.2系统微分方程的建立 14 解：由基尔霍夫定律得: 式中: i为流经电阻r和电容c的电流,消去中间变 量i, 可得: 令 （时间常数），则微分方程为： 15 返回子目录 2.2.3电路系统举例 例2.3 列写如图所示rlc网络的微分方程。 2.2系统微分方程的建立 16 2.2.4 电枢控制直流电动机举例 2.2系统微分方程的建立 电磁力矩： 安培定律 电枢反电势： 楞次定律 电枢回路： 基尔霍夫 力矩平衡： 牛顿定律 例2.4 求如图所示电枢控制直流电动机的微分方程。要求取电枢 电压ua(t)(v)为输入量，电动机转速wm (t t)(rad/s)为输出量，列写 微分方程。图中ra()、la(h)分别是电枢电路的电阻和电感， mc (nm)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。 17 返回子目录 电机时间常数 电机传递系数 消去中间变量 ia , mm , ea 可得： 其中 (v/rad/s)为反电势系数， (n rad/s)为电磁转矩 系数。 在工程应用中，由于电枢电感la很小，通常忽略不计。则： 18 返回子目录 2.2.5实际物理系统线性微分方程的一般特征 2.2系统微分方程的建立 线性定常系统微分方程的一般形式 （1）方程的系数、 为实常数。 （2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。 （3）方程两端各项的量纲是一致的。 相似系统任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。 19 返回子目录 2.3 非线性微分方程的线性化 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。 20 于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。 (1)对弱非线性的线性化 如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近 似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（ 相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为线性放大特 性，如图中虚线所示。 (2)平衡位置附近的小偏差线性化 输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。 2.3 非线性微分方程的线性化 21 在平衡点a（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在a 附近变化，则可对a处的输出输入关系函数按泰勒 级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用a 处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线 性化。 2.3 非线性微分方程的线性化 22 可得 ，简记为 y=kx 若非线性函数由两个自变量，如 zf（x,y），则 在平衡点处可展成（忽略高次项） 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析 对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。 2.3 非线性微分方程的线性化 23 u叠加原理 叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性） 。 例: 设线性微分方程式为 若 时，方程有解 ，而 时 ，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则 显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。 2.3 非线性微分方程的线性化 24 上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应 之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若 干倍，这就是叠加原理。 若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。 2.3 非线性微分方程的线性化 25 返回子目录 2.4.1线性常系数微分方程的求解 26 2.4传递函数（transfer function ）一、laplace变换 1、 laplace变换 变换是数学上经常运用的一种技术手段。 如：初等数学中的对数求解方法 设： 令： 求得： 反对数： 27 一、laplace变换 laplace变换是一种函数变换 拉普拉斯变换的定义： 设函数 若满足： （1）当 时， （2）当 时，实函数 的积分 在s的某一域内收敛，则定义的 拉普拉斯变 换为 并记作，其中算子s是一复数. 28 一、laplace变换 称为 的像函数； 称为 的原函数. 2. laplace反变换 记为： 29 一、laplace变换 2. 常用函数的拉氏变换式 a）阶跃函数 反变换： b）指数函数 反变换： 30 一、laplace变换 c）正弦函数和余弦函数 根据尢拉公式可将正弦化成指数函数形 式，即 31 一、laplace变换 d） t的幂函数 当n=1时， 其它见p441附表 32 一、laplace变换 3. laplace变换的主要运算定理 a) 叠加定理 两个函数之和的拉氏变换等于两个函数 的拉氏变换式之和.即若 则 或写成 33 一、laplace变换 b) 比例定理 若 则 c) 微分定理 若 则 一般情况下： 初始条件=0时 34 一、laplace变换 d）延迟定理 若 ，则 该定理说明如果时域函数 平移， 则相当于复域中的像函数乘以 。 35 一、laplace变换 e）终值定理 若函数 及其一阶导数都是可拉氏变换 的，则 的终值为 因此，利用 终值定理可以从像函数 直接求出原函数 在 时的稳态值 。 说明 的稳态性质同 的临域内 的性质一样。 36 一、laplace变换 f）初值定理 若函数 及其一阶导数都是可拉氏变 换的，则 的初值为 证明从略。 37 返回子目录 （1）反演公式 （2）查表法（分解部分分式法） 试凑法 系数比较法 留数法 例2.5 已知，求 解. 二、laplace反变换 38 二、laplace反变换 a. f(s)有不相同的极点 式中， 是常值， 为极点处的留数。 值可用 乘方程式（1）的两边，并令 来求出， 即 注意到 39 二、laplace反变换 于是得到的如下形式 40 二、laplace反变换 例1： 求 的拉氏反变换。 解： 求 于是 41 二、laplace反变换 b. f(s)含有共轭复极点 例2 解： 42 返回子目录 二、laplace反变换 例3 已知，求 解一 . 解二： 43 返回子目录 二、laplace反变换 例4 已知，求 解. 44 返回子目录 2.4传递函数（transfer function ） 拉氏变换回顾 1 拉氏变换的定义 （2）单位阶跃 2 常见函数l变换 （5）指数函数 （1）单位脉冲 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （6）正弦函数 （7）余弦函数 45 返回子目录 2.4传递函数（transfer function ） 拉氏变换回顾 （2）微分定理 3 l变换重要定理 （5）复位移定理 （1）线性性质 （3）积分定理 （4）实位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理 46 返回子目录 2.4传递函数（transfer function ） 例2.8 r-c 电路计算 47 返回子目录 2.4传递函数（transfer function ） u传递函数的概念与定义 线性定常 系统在输入、输出初始条件均 为零 的条件下，输出的拉氏变换与输入 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函 数。 2.4.2传递函数的定义和实际物理意义 48 这里，“初始条件为零”有两方面含义： u一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入 量及其各阶导数，在t= 时的值为零。 u二指输入信号作用于系统之前系统是静止的， 即t= 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。 许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。 2.4传递函数（transfer function ） 49 一、传递函数的概念与定义 g(s) ur(s ) uc(s) )s(u )s(u )s(g r c = 2.4传递函数（transfer function ） 50 线性定常微分方程一般形式： 拉氏变换(零初始条件下)： 传递函数： 首1标准型： 尾1标准型： 零极点标准型 时间常数标准型 传递系数或 根轨迹增益 传递系数或 静态增益 2.4传递函数（transfer function ） 51 n 传递函数是关于复变量s 的有理真分式，它的分 子，分母的阶次满足： 。 二、关于传递函数的几点说明 1、传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法 用拉氏变换导出； 2、传递函数完全取决于系统内部的结构、参数 ，而与输入、输出无关； 3、传递函数只表明一个特定的输入、输出关系 ，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵） 2.4传递函数（transfer function ） 52 u传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数 ，因为 当 时， ，所以， u 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。 u传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义，而且容易实现。 2.4传递函数（transfer function ） 53 三、传递函数举例说明 q例1. 如图所示的rlc无源 网络，图中电感为l （亨利），电阻为r （欧姆），电容为c （法），试求输入电 压ui(t)与输出电压 uo(t)之间的传递函数 。 2.4传递函数（transfer function ） 54 解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校 正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电 路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可 求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、 电感的复阻抗分别为r、1cs、ls，它们的串并联运算关 系类同电阻。 则传递函数为 2.4传递函数（transfer function ） 55 四、零极点和传递系数对系统性能的影响 q 一个控制系统的性能是否满足要求，要通过其解的特 征来评价。传递函数是一个函数，可以利用解的对应 关系，在s域进行评价系统的性能。当传递函数是有理 函数时，其全部信息又都集中表现为它的极点、零点 及传递系数。零极点不仅唯一确定传递函数的形式， 而且对系统的三大性能指标均有决定作用。 例 设某系统的传递函数有三个极点： 一个零点 传递系数 则传递函数即可完全确定： 2.4传递函数（transfer function ） 56 1.极点决定系统的固有运动属性 传递函数的极点就是微分方程的特征根，是系统的固有参数。它们 决定了方程解的结构中暂态分量的组成成分。 （1）强迫运动（零状态响应） 上例中，令输入为： 可得输出为： c(t)的第一项与输入r(t)的模态相同，后三项是由传函的极点所决定的 固有运动模态。其运动形式不随激励信号变化，只要有任何输入量一激 发，就会自动地产生出来，其模式是一种自由运动。 2.4传递函数（transfer function ） 57 （2）自由运动（零输入响应） 传递函数是在零初始条件下定义的，因而不能求解非零初始条件下 的运动方程。所以需要先转化为相应的微分方程形式，再用拉氏变换法 代入初始条件，求齐次微分方程的解。其相应的微分方程为： 自由运动c(t)的三项是完全由传递函数的极点所决定的，与强迫运动中 由传函三个极点决定的三项模态完全一致。因而，系统的自由模态是系 统的固有运动模态。无论是初始条件还是输入信号，都可激发出来。 2.4传递函数（transfer function ） 58 q 如果微分方程特征根没有重根，则把函数： 定义为该微分方程所描述的运动的模态。如中有共轭复数 ，则其相应的复模态 可写成实函数 。若特征根有多重根 ，则模态具有 等形式。 2.极点位置决定模态的敛散性（即稳定性和快速性） 当极点有负实部或为负实数时，所对应的模态一定是收 敛的。随着 t ，模态函数趋于零。当所有极点都在复平面 的左半平面，则t 时，系统响应的暂态响应分量趋于零， 只有与输入有关的稳态项（静态项），系统是稳定的。当极点 距虚轴越远，相应的模态收敛越快。 2.4传递函数（transfer function ） 59 3、零点决定运动模态的权重 传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它影响各 模态在响应中所占的权重。 设某系统的传递函数为： 有两个极点： 一个零点 其单位 阶跃响应为： 若将零点调至则: 2.4传递函数（transfer function ） 60 单位阶跃响应变为： 4、传递系数决定了系统的稳态传递性能 2.4传递函数（transfer function ） 61 返回子目录 2.6 典型环节及其传递函数 u一个传递函数可以分解为若干个基本因 子的乘积，每个基本因子就称为典型环 节。常见的几种形式有： 比例环节，传递函数为： 积分环节，传递函数为 62 返回子目录 2.6 典型环节及其传递函数 微分环节，传递函数为 惯性环节，传递函数为 一阶微分环节，传递函数为 式中： ，t 为时间常数。 63 返回子目录 2.6 典型环节及其传递函数 二阶振荡环节，传递函数为 式中：t 为时间常数， 为阻尼系数。 二阶微分环节，传递函数为 式中： 为时间常数， 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为 ，该环节的传递函数为： 64 q任何复杂的系统，都可看作上述典型环节的 组合。当建立系统传递函数的概念后，方框 图就可以和传递函数结合起来，产生了描述 系统动态性能及数学结构的动态结构图。动 态结构图是一种数学模型，采用它将更便于 求传递函数，同时能形象直观地表明输入信 号在系统或元件中的传递过程。 返回子目录 2.7 系统的结构图 65 返回子目录 2.7 系统的结构图 2.7.1结构图的定义和基本组成 一、结构图的定义 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的 系统的方框图，成为系统的结构图。 二、结构图的组成 信号传递线（信号线）、方框（传递方框）、 相加点（综合点）和分支点（引出点） 66 返回子目录 1.信号传递线（信号线） 表示信号输入、输出的通道。箭头代 表信号传递的方向。 2.方框 g(s) 方框的两侧为输入信号线和输出信号线， 方框内写入该输入、输出之间的传递函数 g(s)。 2.7.1结构图的定义和基本组成 67 3.相加点（综合点） 相加点亦称综合点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸 信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。 省略时也表示 4. 引出点 表示同一信号传输到几个地方。 2.7.1结构图的定义和基本组成 68 1.串联连接 g1(s)g2(s) x(s ) y(s ) 方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。 2.7.2 动态结构图的基本连接形式 一、三种连接形式 69 g1(s) g2(s) x(s) y(s ) 两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形 式的连接称为并联连接。 2.并联连接 70 一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到 的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信 号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。 g(s) r(s ) c(s) h(s) 3.反馈连接 71 二、典型反馈系统传递函数 输 入：控制输入扰动输入 输 出： 由控制作用产生的输出 由扰动作用产生的输出 返回子目录 72 1、系统开环传递函数 不含极性 闭环系统的开环传递函数为 ： 它是当主反馈回路断开 时反馈信号b(s)与输入 信号之间的传递函数。 73 2、系统在r(t)作用下的闭环传递函数 令n(t)0 74 注：该系统为负反馈系统，系统传 函中分母为1+开环传递函数，反 之，若主反馈为正反馈时，则系统 传函为1开环传函 75 3、系统在n(t)作用下的闭环传递函数 令r(t)0 76 4、系统总输出 线性系统满足叠加原理。 系统总输出的拉氏变换式为： 77 5、闭环系统的误差传递函数 按上图规定误差为： e(t) = r(t) - b(t) e(s)=r(s)-b(s) 78 (1).r(t)作用下的系统误差传递函数 此时令n(t)=0，则结构图如下所示 79 此时令r(t)=0，则结构图如下所示 （2）n(t)作用下的系统误差传递函数 80 （3）系统总误差 81 6、闭环系统的特征方程式 q无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们 都有一个共同的特点，拥有相同的分母，这就 是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数 的分母多项式称为闭环系统的特征方程式。 q它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有 关。 82 三、系统动态结构图的构成 构成原则： 按照动态结构图的基本连接形式，构 成系统的各个环节，连接成系统的动 态结构图。 83 以机电随动系统为例，如下图所示 举例说明系统动态结构图的构成 84 n其微分方程 组的拉氏变 换如下： 85 系统各元部件的动态结构图(1) 86 系统各元部件的动态结构图(2) 87 系统各元部件的动态结构图(3) 88 系统各元部件的动态结构图(4) 89 系统各元部件的动态结构图(5) 90 系统各元部件的动态结构图(6) )(s m q sf js + 2 1 m c )(sm m ) (s m m )(s m q sfjs+ 2 1 91 系统各元部件的动态结构图(7) )(s m q sf js + 2 1 m c )(sm m 92 系统各元部件的动态结构图(8) )(s m q sf js + 2 1 m c )(sm m 93 q思路： 在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原 结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入 量对输出量的一个方框。 2.7.3 动态结构图的等效变换 94 等效变换证明推导 g1(s)g2(s) r(s ) c(s ) u(s ) 1.串联结构的等效变换（1） 2.7.3 动态结构图的等效变换 95 串联结构的等效变换图 g1(s)g2(s) r(s ) c(s ) u(s) g1(s) g2(s) r(s)c(s) 两个串联的方框可以 合并为一个方框，合 并后方框的传递函数 等于两个方框传递函 数的乘积。 1.串联结构的等效变换（2） 2.7.3 动态结构图的等效变换 96 等效变换证明推导(1) g1(s) g2(s) r(s) c(s) c1(s) c2(s) 2.并联结构的等效变换 97 g1(s) g2(s) r(s) c(s ) c1(s) c2(s) g1(s) g2(s) r(s ) c(s ) 两个并联的方框可 以合并为一个方框 ，合并后方框的传 递函数等于两个方 框传递函数的代数 和。 2.并联结构的等效变换 98 3.反馈结构的等效变换 等效变换证明推导 g(s) r(s ) c(s) h(s) b(s) e(s) 2.7.3 动态结构图的等效变换 99 3.反馈结构的等效变换 反馈结构的等效变换图 g(s) r(s) c(s) h(s) b(s ) e(s) r(s) c(s) 100 4.综合点的移动 综合点后移 g(s) r(s)c(s) q(s) q(s) g(s) r(s)c(s) ？ 2.7.3 动态结构图的等效变换 101 移动前 g(s) r(s ) c(s) q(s ) q(s) g(s) r(s) c(s ) ？ 移动后 综合点后移证明推导（移动前后） 2.7.3 动态结构图的等效变换 102 g(s) r(s)c(s) q(s) ？ 综合点后移证明推导（移动后） 2.7.3 动态结构图的等效变换 103 g(s) r(s)c(s) q(s) g(s) r(s)c(s ) q(s) g(s) 综合点后移等效关系图 2.7.3 动态结构图的等效变换 104 g(s) r(s) c(s ) q(s) q(s) ？ g(s) r(s)c(s) 综合点前移 4.综合点的移动 105 移动前 g(s) r(s) c(s ) q(s ) g(s) r(s)c(s) q(s ) ？ 移动后 综合点前移证明推导（移动前后） 106 综合点前移等效关系图 g(s) r(s) c(s ) q(s) g(s) r(s)c(s ) q(s) 1/g(s) 2.7.3 动态结构图的等效变换 107 结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。 r(s ) c(s) y(s ) x(s ) r(s ) c(s) y(s) x(s) 5.综合点位置互换 2.7.3 动态结构图的等效变换 108 6.引出点的移动 引出点后移 g(s) r(s)c(s) r(s) ？ g(s) r(s ) c(s) r(s ) 问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。 2.7.3 动态结构图的等效变换 109 引出点后移等效变换图 g(s) r(s)c(s) r(s ) g(s) r(s ) c(s ) 1/g(s) r(s) 2.7.3 动态结构图的等效变换 110 引出点前移 问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。 g(s) r(s) c(s) c(s) g(s) r(s)c(s) ？ c(s) 2.7.3 动态结构图的等效变换 111 引出点前移等效变换图 g(s) r(s)c(s) c(s ) g(s) r(s)c(s) g(s) c(s) 2.7.3 动态结构图的等效变换 112 引出点之间的移动 相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。 a br(s)b a r(s) 2.7.3 动态结构图的等效变换 113 五 举例说明（例1） q例1：利用结构图变换法，求位置随动系 统的传递函数qc(s)/qr(s) 。 2.7.3 动态结构图的等效变换 114 例题分析 q 由动态结构图可以看出该系统有两个输入r（给定 ），ml（扰动）。 我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入 关系，因此，在求c对r的关系时，根据线性叠加原 理，可取力矩 ml0，即认为ml不存在。 要点： 结构变换的规律是：由内向外逐步进行。 115 例题化简步骤 (1) 合并串联环节： 116 例题化简步骤(2) 内反馈环节等效变换： 117 例题化简步骤(3) 合并串联环节： 118 例题化简步骤 (4) 反馈环节等效变换： 119 例题化简步骤(5) 求传递函数qc(s)/qr(s) ： 120 五、举例说明（例2） q例2：系统动态结构图如下图所示，试求 系统传递函数c(s)/r(s)。 121 例2（例题分析） 本题特点：具有引出点、综合交叉点 的多回路结构。 122 例2（解题思路） q解题思路：消除交叉连接，由内向外 逐步化简。 123 例2（解题方法一之步骤1） 将综合点2后移，然后与综合点3交换。 124 例2（解题方法一之步骤2） 125 例2（解题方法一之步骤3） 126 例2（解题方法一之步骤4） 内反馈环节等效变换 127 例2（解题方法一之步骤5） 内反馈环节等效变换结果 128 例2（解题方法一之步骤6） 串联环节等效变换 129 例2（解题方法一之步骤7） 串联环节等效变换结果 130 例2（解题方法一之步骤8） 内反馈环节等效变换 131 例2（解题方法一之步骤9） 内反馈环节等效变换结果 132 例2（解题方法一之步骤10） 反馈环节等效变换 133 例2（解题方法一之步骤11） 等效变换化简结果 134 例2（解题方法二） 将综合点前移，然后与综合点交换。 135 例2（解题方法三） 引出点a后移 136 例2（解题方法四） 引出点b前移 137 结构图化简步骤小结 q 确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有 多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简 ，求得各自的传递函数。 q 若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交 叉消除，化为无交叉的多回路结构。 q 对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一 个等效的方框，即得到所求的传递函数。 138 结构图化简注意事项： q尽量避免综合点和引出点之间的移动。 139 2.7信号流图和梅逊公式 结构图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，结 构图的简化过程仍较复杂，且易出错。梅逊提出的信号流图 ，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的 写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广 泛地应用。 信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示 方法。信号流图由节点和支路组成。每一个节点表示系统的 一个变量，而每两个节点间的连接支路为该两个变量之间信 号的传输关系。信号流向由支路上的箭头表示，而传输关系 （增益，传递函数）则标注在支路上。 140 节点：用来表示变量或信号的点。用符号“。” 表示并 在 近旁标出变量名称。 2.7.1信号流图的基本术语 支路：连接两节点的定向线段。 输入节点（源节点）：只有输出支路的节点。图中的 通路（通道）：从某节点开始，沿着支路箭头方向连续经过 一些支路而终止于另一节点（或同一节点）的路径。 开通路和闭通路（回路、回环）。 141 2.7.1信号流图的基本术语 输出节点（阱节点，汇点）：仅有输入支路的节点。如图6 有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定 义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条 增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。图中的 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只 经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 142 2.7.2信号流图的绘制 1.信号流图与结构图的对应关系 信号流图 结构图 输入节点 输入信号 输出节点 输出信号 混合节点 比较点，引出点 支路 环节 支路增益 环节传递函数 前向