高三数学一轮复习检测答案和解析(1)——刘金华.doc

2011 届数学一轮复习章节检测届数学一轮复习章节检测 集合、函数与导数（集合、函数与导数（01）参考答案及评分标准）参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 70 分分 1.（2009 江西卷文 2 改）函数 y的定义域为_. 【答案】4,0)(0,1； 【解析】由 得4x0 或 0f(a),则实数 a 的取值范围是_. 【答案】(1，0)(1,+)； 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等 题. 由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论. f(a)f(a) 或 或 a1 或1a0. 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数 大于 0，同事要注意底数在(0，1)上时，不等号的方向不要写错. 10.（2010 全国卷 i 理(15)）直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则 a 的取值范围是 . 考查数形结合的思想方法； 【答案】 （1, ） ； 5 4 【解析】考查数形结合的思想方法. 14. （2010 江苏卷 14）将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块， 其中一块是梯形，记 s,则 s 的最小值是_. (梯形的周长)2 梯形的面积 【答案】； 【解析】设小正三角形的边长为 x，则 s(0 2， x2x2，1 x 2.) 8 分 x1 或 x2 时，f(x)2; 10 分 1x2 时，f(x),0; 12 9 4 分 综上，函数 f(x)的值域是,0(2,). 14 分 9 4 16.（2010 重庆文数(19)改）本小题满分 14 分 已知函数 f(x)=axxbx (其中常数 a,br),g(x)f(x)f(x)是奇函数. 3 2 (1)求 f(x)的表达式; (2)求 g(x)在区间1,2上的最大值和最小值. 解：（1）由题意得 f (x)3ax2xb,g(x)ax(3a1)x(b2)xb，又g(x)是 2 3 2 奇函数，解得 ,f(x)xx . 3a + 10， b0， ) 1 3 3 2 6 分 (2)由（1）可知 g(x)x2x,g (x)x2,令 g (x)0 得 x=, 1 3 3 2 2 列表： x (,) 2 2(,) 2 2 2 (,+) 2 g (x) 00 g(x) 极小值 极大值 10 分 又 g(1) g()，g(2) , 5 3 2 4 3 所以 g(x)在区间1,2上的最大值为 g()，最小值为 g(2) 14 2 4 3 分 17.（2010 全国卷 2 文（21） ）本小题满分 15 分 已知函数 f(x)x3ax3x1. 3 2 （1）设 a2，求 f(x)的单调区间； （2）设 f(x)在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围. 【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、 极值及函数与方程的知识. （1）求出函数的导数，由导数大于 0，可求得增区间，由导数小于 0，可求得减区间. 解：f(x)3x6ax33(x2ax1)， 2 2 （1）a2 时，f(x)3(x4x+1),所以， 2 由 f(x)0 得到 x2或 x2;由 f(x)0 得到 2x2 3 3 3 3 f(x)的单调递增区间为(, 2),(2,+)；递减区间为(2,2) 6 3 3 3 3 分 (2) f(x)在区间（2,3）中至少有一个极值点f(x) =0 在(2,3)内至少有一解，且0, 8 分 x(2,3)时，f(x)=02a=x+ ,设 g(x)=x+ ,则 g(x)0，g(x)在2,3上单调递增， 1 x 1 x x(2,3)时, g(x)( ,),2a( ,),即 a( , ) 12 5 2 10 3 5 2 10 3 5 4 5 3 分 又由0 得到 4a 40，即 a1 或 a1，综上所求 a 的取值范围是( , )15 分 2 5 4 5 3 18.（2010 湖北理 17） 本小题满分 15 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的 能源消耗费用 c（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：c(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费 k 3x5 用与 20 年的能源消耗费用之和 （1）求 k 的值及 f(x)的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 【命题意图】本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问 题的能力 解：（1）设隔热层厚度为 xcm，由题设，每年能源消耗费用为 c(x), k 3x5 再由 c(0)8,得 k40,因此 c(x) 3 分 40 3x5 而建造费用为 c1(x)6x 最后得隔热层建造费用与 20 年能源消耗之和为 f(x)20c(x)c1(x)206x6x(0x10) 7 分 40 3x5 800 3x5 (2)方法 1f (x)6,f (x)0，即6，解得 x(舍去),x5 2400 (3x5)2 2400 (3x5)2 25 3 11 分 当 0x5 时，f(x)0，当 5x10 时，f(x)0，f(x)在(0,5上递减，在5,10) 上递增，故 x5 时，f(x)取最小值 f(5)70 答：当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元 15 分 方法 2： f(x)20c(x)c1(x)206x6x2(3x+5)10 11 分 40 3x5 800 3x5 800 3x5 2 1070(当且仅当2(3x5) ,即 x5 时，取“”)(0x10) 800 3x5 答：当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元 15 分 19.（2010 陕西文 21） （去掉了第三问）本小题满分 16 分 已知函数 f(x)，g(x)alnx，ar. x （1）若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的 方程； （2）设函数 h(x)=f(x)g(x),当 h(x)存在最小值时，求其最小值 (a)的解析式. 解 （1）f(x), g(x) (x0), a x 2 分 由已知得 解得 4 分 两条曲线交点的坐标为（e2,e） ，切线的斜率为 kf(e2) , 1 2e 切线的方程为 ye (xe ). 即 yx 6 分 1 2e 2 1 2e e 2 （2）由条件知 h(x)alnx(x0),h(x), 8 x a x 分 当 a.0 时，令 h(x)0,解得 x=4a , 2 所以当 0 4a 时，h(x)0，h(x)在(4a ，)上递增。 2 2 所以 x4a 是 h(x)在(0，+)上的最小值点。 2 所以 (a)h(4a )2aaln4a 2a(1ln2a). 12 分 2 2 当 a 0 时，h(x)=0,h(x)在(0，+)递增，无最小值。 14 分 综上， h(x)的最小值 (a)的解析式为 (a)2a(1ln2a) (a0). 16 分 20. （2010 辽宁文(21)）本小题满分 16 分 已知函数 f(x)(a+1)lnxax1(ar). 2 （1）讨论函数 f(x)的单调性； （2）设 a2，证明：对任意 x ,x (0,)，|f(x1)f(x2)|4|x x |. 1 2 1 2 解：(1) f(x)的定义域为(0,+)， 2 分 f(x)+2ax. 4 分 a+ 1 x 当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0,+)单调递增； 当 a1 时，f (x)0, 故 f(x)在(0,+)单调递减； 当1a0 时，令 f(x)0,解得 x .当 x(0, )时,f(x)0； x( ，+)时，f(x)0, 故 f(x)在（0, ）单调递增，在（ ，+）单调递减. 8 分 (2)不妨假设 x1x2.由于 a2,故 f(x)在(0，+)单调递减. 所以|f(x1)f(x2)|4|xx |f(x1)f(x2)4x4x , 1 2 1 2 即 f(x2)4x2f(x1)4x1. 12 分 令 g(x)=f(x)4x,则 g(x)+2ax+4=0 a+ 1 x 从而 g(x)在(0，)单调递减，故 g(x1) g(x2)， 即 f(x2)4x2f(x1)4x1，故对任意 x1,x2(0,+) ，|f(x1)f(x2)|4|xx |. 1 2 16 分 说明：此问题讲评时，可考虑（2）的逆命题，即理科题. 附：细目表： 题号知识点方法 1函数的定义域、解一元二次不等式 2集合的运算补 3函数的奇偶性 4集合的运算交 5函数的周期性、奇偶性 6 比较幂的大小，指数函数、幂函数的单 调性 7对数的概念及运算 8 导数的几何意义，倾斜角与斜率的关系， 基本不等式求函数值的取值范围 9函数的奇偶性，单调性 10函数的应用，解一元二次不等式 11函数与方程二分法数形结合 12分段函数，解对数函数不等式分类讨论 13函数的图象数形结合 14 函数的应用，分式函数值的取值范围， 运算能力 等价转化 15 分段函数的概念，分段函数求值、求值 域，解一元二次不等式 分类讨论 16 函数的奇偶性