抽象函数的讲义.rtf

高考中抽象函数的求解策略 函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。一般抽象函数数学 题融函数单调性、周期性、奇偶性、定义域、值域、图像以及不等式、方程等知识于一体。 通 过赋值整体思考，找出一个具体函数原型等方法去探究该函数的性质，能运用相关性质去 解决 有关问题。在高考中加大对学生理性思维能力的考查以及主体创新能力的考查是新时期的 一个 重要特点。 解决这类问题就要求我们解题时思维灵活、深刻，而且要联想到我们学习过的模型函数以及 它的有关性质，探索这类问题的解题方法。下面我们就来专门探讨这类函数及其求解策略。 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图象 ,只给出一些特殊条件或特征的函数 ;所 以在解决抽象函数问题常用的方法是赋值法及借助模型函数分析法 .同时我们可以看出这两种方 法是化抽象函数为形象函数、具体函数的两种常用的手段. 面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎一下三种： 合理赋值，化抽象为具体； 作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点； 分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。 一般来说抽象函数常在高考中的考查的以下的几个具体问题： 1、求函数在某些特殊点的函数值。（赋值法） 2、求函数的图象和性质（单调性、周期性、奇偶性、对称性）。 3、利用函数的性质解不等式或者方程。 高考中常见的函数模型有以下几种： 1、一次函数型： f (x . y) . f (x). f (y) f(x)=kx f (x . y) . f (x). f (y)-bf(x)=kx+b 2、指数函数型： (x . y) . f (x). f (y) f (x . y) . fx fy f ()/ () 3、对数函数型： f (x . y) . f (x). f (y) f () . fx . f () x () y y fx y 4、正切函数型： f (x . y) . () . f () 1. f ()() y xf 5、余弦函数型： f (x . y). f (x . y .fxfy ) 2()() 高考中常见的函数的周期性有以下几种： 第 1页共 6页 例 1、已知函数 f (x) 的定义域为r ，对任意实数m 、n ，满足f(1) . 2 ，且 2 f (m . n) . f (m). f (n).1，当 x 12 时， f(x) . 0 （1）求 f (.1)的值； 2 （2）求证：f (x)在定义域 r 上是单调递增函数。 解：（ 1）令m . n . 0，得f (0) . 2 f (0).1，. f(0) . 1 又f (1) . 2，令m . 1 ，n 1 ，得 f(1 . 1) . f (1). f (. 1).1 2 2 2 2222 . f (.12) . 0。 （2）设x1，x2 . r 且x1 . x2 ，则x2 . x1 . 0， x2 . x1 . 11 22 当x 12 时， f (x) . 0 1 . f (x2 . x1 . 2) . 0 f (x ).f (x ) . f ( x . x ). x . f (x ) 21 2111 f (x2 . x1)f (x1)1f(x1) f (x2 .x1)1 f (x2 . x1)f (.12)1 f(x2 . x1 . 12) . 0 因此， f(x)是增函数。 针对练习：已知函数f (x) 对任意的a,b . r ，都有f (a . b) . f (a). f (b).1，并且当 x . 0时， f(x)1， （1）判断 f(x)在 r上的单调性，并证明 （2）若 f (4) . 5，解不等式 f(3m2 . m . 2) . 3 解答：（1）证法 1：在 r上任取x1 . x2 ，x2 . x1 . 0， f (x2 . x1) . 1 f (x ).f (x ) . f ( x . x ). x . f (x ) 21 2111 f (x2 . x1)f (x1)1f (x1) 第 2页共 6页 f (x2 . x1)10 f (x2) .f (x1) . f(x)是 r上的增函数 证法 2：在 r上任取x1 . x2 ，则总能写成 x2 . x1 . m(m . 0) . f (x ). f (x ) . f (x ). f (x . m) . f (x ).f (x ). f (m).1 .1. f (m) 1211 11 又 m. 0, f(m) . 1 .1. f (m) . 0 . f (x1) . f (x2) . f(x)是 r上的增函数 （2） f (4) . f (2. 2) . f (2). f (2).1. 5 . f (2) . 3 .f (3m2 . m . 2) . 3. f (2) f (x)在 r上是增函数 .3m2 . m . 2 . 2 解得： .1. m. 4 3 所以，原不等式的解集为 . .1,43 . 例 2、设函数 f(x)的定义域是 r，对于任意实 x,y，恒有 f (x .y) . f (x). f (y)，且当 时， （1）求证：，且当时，有； （2）判断 f(x)在 r上的单调性； （3）设集合，集合，若，求的取值 范围. 解：（1）证明： ，令 ，则 ，且由 时， ，所以； 设， 第 3页共 6页 又， , 即就是直线和圆相切或者相离，利用圆心到直线的距离小于或者等于半径就可以了。 2 . 1, a. 3 或a 3 a2 .1 针对练习：定义在上的函数. f () ，. 0，当x . 0时，x ，且对任意的 ,. r d . r yxf (0) f () . 1 ab 总有 f ( . b) . f () a .() a fb （1）证明：f (0) .1； （2）证明：对任意的 x . r ，恒有f () x .0； （3）证明：f ()是r x 上的增函数； （4）若f () . f (2 x . x2) .1，求解关于 xx 的不等式。 解：（1）令 a . b . 0， f (0) .1 () 0 （2）只需证明 x . 0时， fx . 设 x . 0，则 .x . 0 () . f (.x) . f x x) . f (0) .1 fx ( 1 . f () . x . 0 f (.x) （3）任取 x1 . x2 ，则 x2 . x1 . 0 x . f () f () f ( x . x ). x f (x . x ) x 2 211 21 1 . f (x2 . x1) .1 f () f () x xx f () 11 1 x () . f ( ) 1 . fx2 第 4页共 6页 （4） f (). f (2x . x2) .1 fx . x . x2 x . ) 1 () (2 . 22 . f (3x . x ) . f (0) . 3x . x . 0 x 0. x .3. 例 3、已知函数 f (x) 的定义域是x . 0 的一切实数，对定义域内地任意x1 、x2 ，都有 f (x1 . x2)= f (x1)+f (x2) ，且当x . 1时，f (x) . 0 ， f (2)=1 （1）求证： f(x)是偶函数 （2）求证：f(x)在（0，）上是增函数 （3）解不等式 f(2x2 -1)1 故而 f (x2)= f (x2)+ f (1)= f (x2)-f(x1) 0 x xx 1 11 所以f (x)在（0，）上是增函数 （3） f (4)=2 f (2)= 2即 f (2x2 .1) f (4) 故而 2x2 .1 4 即 -42x2 .14 解得 . 10 10 . x. 22 针对练习： 已知定义在(0,)上的函数 f (x)，对于任意的 m, n . (0,)，都有f (mn) . f ().f () 成立， . mn 且当. . 1 时， . 0. . （1）计算 1； （2）证明 f (x)在(0,)上是减函数； 12 （3）当f (2) 2 时，解不等式f(x -3x)1。 解：（1）由题意，令 m=n=1,则 f(1)= f(1)+ f(1),所以 f(1)=0 （2）设 0. 1 . . 2,因为 f ( . ) . fm . f () . mn () n 第 5页共 6页 即 ( ) ( ) f m n f m. . . ,所以( ) f n ( )( ) 12 xfxf )( 1 2 x xf 因为，则210 . ，而当时，