人教版高中数学集合与函数概念、基本初等函数Ⅰ————教材分析、教学感受与建议.ppt

集合与函数概念、基本初等函数 教材分析、教学感受与建议 1 1 1 1 一、纲、标教材比较分析 1 1 2 2 人教a版必修1共三章 1 1 3 3 第一章“集合与函数”知识结构 1 1 4 4 第二章“基本初等函数”知识结构 1 1 5 5 1、标、纲教材教学要求变化 新教材必修1强化的内容淡化的内容 集 合 集合的含义与表示 从实例中概括集合的含义; 能选择自然语言, 集合语言 表示集合. 集合中元素 “三性”训练 （确定性、互异性、无序 性） 集合间的基本关系 类比数的大小关系, 会利用 venn图直观表示集合 集合的基本运算 集合运算的性质及证明 作为一种语言来学习；学会使用最基本的集合语言表示有关数学对象，并能 在自然语言、图形语言或集合语言之间进行转换，体会用集合语言表达数 学内容的简洁性、准确性，发展运用集合语言进行交流的能力。 函数 及其 表示 函数的概念 函数模型背景和应用的要求过于繁琐的求定义域和 值域技巧训练；不宜涉 及抽象函数。 函数的表示法分段函数要求能简单应 用映射的概念要求较低，不 出现“象、原象”等知识 作为一种模型来学习，强调背景和应用；强调对函数本质的认识和理解； 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）； 处理方式上变化：从函数到映射（特殊到一般）。 1 1 6 6 例如：函数表示法（p.19）例3、例5、例6、复习题b组中的高斯函数等 。 例2：2007年（海南、宁夏）理科第22选做题 设函数f(x)=2x1x4 （）解不等式f(x)2； （）求函数y=f(x)的最小值。 例3：2007年（浙江）理科第10题 设 ， 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域 是（ ） a b c d 分段函数 1 1 7 7 新教材必修1强化的内容淡化的内容 函数 的基 本性 质 单调性与 最大（小） 值 重视函数的直观图象 ，鼓励学生利用计算 机作一些复杂函数的 图象；给出函数的最 值定义；并能利用单 调性求出最值。 研究函数性质的例题和训 练不宜太难，应局限于具 体的函数。 奇偶性 奇（偶）函数的图象对称 性在本节教学时不要求证 明 重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。研究函 数性质时，经历“三步曲”：观察图象特征自然语言描述 形式化的定义；重要载体：二次函数 基本 初等 函数 （ ） 指数函数 体会“用有理数逼近 无理数”的思想 有关根式的复杂运算及繁 琐的根式化简不必多练 对数函数了解对数的换底公 式（化归思想） 不必讨论形式化的反函数 定义，不要求求已知函数 的反函数 幂函数掌握五个幂函数的 图象和性质1，2， 3， -1，12 不必在一般的幂函数上作 过多的引申和介绍 强调：通过具体实例，了解三类函数模型的实际背景。如细胞 的分裂，考古中所用14 c的衰减，药物在人体内的残留量的变化 等 1 1 8 8 课标教材 课 时 大纲教材 课 时 1、1-1集合的含义与表示11、1集合2 1、1-2集合间的基本关系11、2子集、全集、补集2 1、1-3集合的基本运算21、3交集、并集2 阅读与思考 集合中元素的个数阅读材料 集合中元素的个数 1、2-1函数的概念22、1函数2 1、2-2函数的表示法22、2函数的表示法1 阅读与思考 函数概念的发展历程 1、3-1单调性与最大（小）值22、3函数的单调性3 1、3-2奇偶性14、8三角函数的性质（4）1 2、1-1指数与指数幂的运算32、5指数4 2、1-2指数函数及其性质32、6指数函数3 信息技术应用 探究指数函数 2、2-1对数与对数运算32、7对数4 阅读与思考 对数的发明阅读材料 对数的发明 2、2-2对数函数及其性质32、8对数函数3 2、3幂函数1 1 1 9 9 二、教学感受 1、新教材的几大亮点 l问题性：每节开篇以问题开始；以思考、探究、“问号型”图 标提出问题；在小结和复习题中提出拓展性问题 。 （两章中：22个“思考”、11个“探究”、6个“？ ”） l亲和力：主编寄语、章头图，正文中的观察、探索、旁批等 强调数学知识的背景和应用，数学是自然的。 l应用性：“神舟”五号、炮弹发射、臭氧层空洞面积、恩格尔 系数、公共汽车票价、玻意耳定律、烟花、生物 体 内碳14的衰减、gdp及人口增长率、地震震级 、 ph值的变化等。 l思想性：函数思想、几何直观、数形结合、渗透逼近思想、 类比、推广、特殊化 等。 1 1 1010 数学知识的背景和应用 n新课程目标： n知识背景：集合8个实例 函数3个实例 单调性、奇偶性2个图形 指数、对数函数2个问题 幂函数5个实例 n函数应用：另立一章第三章 背景实例数学知识应用 1 1 1111 n新教材强调以下逻辑思考方法： 当前内容 推广 类比 特殊化 类比 思想性 1 1 1212 2、主要问题 l课时比较紧张 l教学不知深浅 l部分内容脱节 l技术条件制约 1 1 1313 结论： 1 1 1414 细读课标对照意见研究教材 u突出函数的中心地位 u不搞“一步到位” u注重几何直观 u重要的传统知识适当拓广 u淡化的知识内容不宜拓广 u重视初高中的衔接 u要研究、开发例习题 三、教学建议 1 1 1515 u突出函数的中心地位 n函数作为描述客观世界变化规律的重要模 型来学习. 强调函数概念的背景和应用.不仅要 让学生实实在在感悟到客观世界中大量存 在着变量之间的依赖关系。而且要让学生 选择和识别函数模型,建立函数模型。 n函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始 终。 1 1 1616 u不搞“一步到位” n内容是螺旋上升的，学习是循序渐进的过程。 如“函数” ，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终 。在高中阶段，大致经历三个阶段进行： 第一阶段：函数的概念与基本初等函数（指数函数、对数 函数、幂函数），包括函数的应用等； 第二阶段：三角函数；数列与不等式； 第三阶段： （文）选修11， （理科）选修22中的 导数及其应用。 例如： “单调性与最大（小）值” 如“集合” 。随着学习的深入，“集合”中“元素”的不断丰 富。在后续内容的学习中是一种重要的工具（如用集合 的语言表示函数的定义域和值域、方程和不等式的解、 曲线等） 。 1 1 1717 u注重几何直观 n集合： venn图、数轴 n函数单调性、最值、奇偶性的讨论： n指数、对数、幂函数性质的研究： n如借助图形直观来了解函数的凹凸性。 几何直观自然语言形式化定义 图象性质 1 1 1818 u对重点的传统知识要适当拓广 1、必要性：什么知识点应适当拓广依据新课程、高考 2、可能性：什么时机进行拓广合适水到渠成防止“越位” 如二次函数，它是历年高考的重点内容，是第一章研究函 数及其性质的主要载体。如闭区间上二次函数的最值；二次函 数含参数讨论最值；利用二次函数判断方程根的分布；由二次 函数构成的复合函数等等。因此拓广和加深二次函数是必要的 。 又如：函数图象变换，函数图象是函数性质的直观反映， 是解决函数问题的有力工具。 1 1 1919 u淡化的知识内容不宜拓展 n函数的定义域、值域。 为了防止教师在集合与函数教学中，在求解定义域、 值域等“细枝末节”上对学生进行大量的人为的、繁琐的 训练，把二次不等式的内容放到“必修5”，这是一种“釜 底抽薪”的办法。把重点放在函数概念的本质的理解上 、函数性质的讨论上。 但有关函数问题首先考虑“定义域”的认识必须到位 n“反函数”只要求以具体函数为例进行解释和直观理解， 不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已 知函数的反函数。 “幂函数”只要求通过实例，了解幂函数的概念；掌握 五个幂函数的图像和性质。 1 1 2020 uu重视初高中的衔接（以函数为例）重视初高中的衔接（以函数为例） 知识内容上知识内容上： 初中的函数定义（变量观点初中的函数定义（变量观点y=y=f(xf(x) )），一次、二），一次、二 次函数、反比例函数次函数、反比例函数高中的函数定义（集合与对高中的函数定义（集合与对 应观点应观点y=y=f(xf(x) )），分段函数、指数、对数、幂函数，），分段函数、指数、对数、幂函数， 同类函数、不同类函数的差异比较。同类函数、不同类函数的差异比较。 思维习惯上思维习惯上： 单一的解析式单一的解析式多样的表示法；多样的表示法； 静态的计算、求值、解方程静态的计算、求值、解方程动态的函数性质：定动态的函数性质：定 义域、值域、零点、单调性、最大（最小）值、奇偶义域、值域、零点、单调性、最大（最小）值、奇偶 性、周期性、（性、周期性、（凹凸性凹凸性、渐近线）等；、渐近线）等； 感性的图象直观感性的图象直观理性的形式化定义。数形结合。理性的形式化定义。数形结合。 1 1 2121 u要研究教材中的例、习题 1 1、准确把握练习的质和量、准确把握练习的质和量 新教材例、习题存在一些问题新教材例、习题存在一些问题 习题与例题不配套，总体而言，习题与例题不配套，总体而言， 例题容易，习题难，学完例题，不会做作业；例题容易，习题难，学完例题，不会做作业； 教材某些知识内容没教材某些知识内容没 有相应的巩固习题，而部分习题又用到没有学过的知识；有相应的巩固习题，而部分习题又用到没有学过的知识； 层次性不层次性不 够，够，a a组的题目有些比组的题目有些比b b组的还要难；组的还要难； 部分题目的解答需要运用信息部分题目的解答需要运用信息 技术技术 许多学生不适应新教材的教学，很大程度上来自课后许多学生不适应新教材的教学，很大程度上来自课后练习练习。 2、教辅资料不能作为教学的依据 高中数学教学中一直存在一个问题，就是教材与高考的能力要求差高中数学教学中一直存在一个问题，就是教材与高考的能力要求差 异，教学中必然要把有关知识拓广和加深，提升能力。导致学生课后异，教学中必然要把有关知识拓广和加深，提升能力。导致学生课后 做大量的教辅材料的习题，教师被教辅材料牵着走，如何把握课标，做大量的教辅材料的习题，教师被教辅材料牵着走，如何把握课标， 如何处理教材中的习题，这正是需如何处理教材中的习题，这正是需解决的问题。解决的问题。 1 1 2222 新教材例、习题存在一些问题 1、如教师教学用书第39页第7题： 设 则 2、教材第39页习题1.3a组第6题： 已知函数 是定义在r上的奇函数，当 时 。画出函数 的图 像，并求出函数的解析式。 1 1 2323 1、3-1 单调性与最大（小）值 教学课时：2 p第一课时：具体函数图形直观、定量分析自然语言 形 式化定义利用定义证明单调性。 p第二课时：仿照上述过程得到函数最大（小）值定义， 然 后应用单调性求最值。 p函数单调性是函数最为核心的性质，即从一个变量的变 化分析另一个变量的变化情况。主要解决比较数、式的 大小、求函数的值域、最值、极值、判别方程根的存在 问题等等；另外，对于不同增长的函数模型（如ex、x 2 、lnx等）进行定性与定量分析。 n“一步到位”不可能 一是知识准备不足。 二是教学课时不允许。 n“一步到位”没必要 求函数最值问题将会在“不等式”（必修5）、“导数”（ 选修）等内容中进一步讨论研究。 1 1 2424 例1:（2007年山东理科数学第22题） 设函数 ，其中 （）当 时，判断函数在定义域上的单调性； （）求函数的极值点； （）证明对任意的正整数， 不等式都成立 例2： （2007年广东理科数学第20题） 已知a是实数，函数 ，如果函数 在区间-1 ，1上有零点，求a的取值范围。 例3： （2007年宁夏、海南理科数学第21题） 设函数 。 （1）若当x=-1时f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 例4：（2007年浙江文科数学第22题）已知 （i）若k=2，求方程 f(x)=0 的解； （ii）若关于x 的方程f(x)=0 在 (0,2) 上有两个解x1 ,x2，求k的取值范围，并 证明 1 1 2525 函数图象的变换 n高中阶段函数图象的变化方式主要有三种： 1、平移（上下、左右） 2、对称（一个函数即自身、两个函数；点 对称和轴对称） 3、伸缩（横向、纵向） 教学时大致可以分为以下三个阶段实施（借助多媒体） ： n第一阶段：学习基本初等函数时，介绍一些简单的函 数图象平移与对称变换； n第二阶段：学习三角函数时，介绍一些函数图象平移、 伸缩变换； n第三阶段：高考复习 1 1 2626 幂函数 n教学设计： n旨在培养学生理性思维：以式定形 n“幂函数”的高考要求例:（ 2007年山东卷理科数学第4 题） 设 则使函数 的定义域为r且为奇函数的所有值为 a 1 ，3 b-1 , 1 c-1, 3 d-1 , 1 , 3 介绍函数背景 （五个例子） 幂函数概念 y=x 研究五个幂函数， ， 重点讨论两个函数： ，的性质 根据的性质画出图象 师生归纳出五个 幂函数的性质 1 1 2727 关于“反函数”2007年高考情况 n1、新课程高考（山东、广东、宁夏、海 南）都没考。 n2、浙江、全国卷2、北京、湖南、江苏、 重庆、四川、福建也没考。 n3、全国卷1填空第2题、上海第3题、安 徽第1题、湖北填空第1题、江西填空第1 题、辽宁第2题、天津第5题、陕西第8题 。 1 1 2828 例（新教材p.45第一章复习参考题b组第5题） 证明： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 。 从几何上看，若函数图形是下凸的，则连接曲线上 任意两点的弦的中点位于曲线上相应点的下面，即曲线 在弦的下面。 借助图形直观了解函数的凹凸性 1 1 2929 识别函数模型 例：在下列函数关系中，近视看作哪类函数 模型： a 汽车的行驶公里数与耗油量