2018年长沙市高三文数联考试卷及解析.pdf

科目：数学（文科） （试题卷） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和 该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草 稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答 题。 3. 本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否 则后果自负。 4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓 名 准考证号 文科数学试卷文科数学试卷 第第 1 页（共页（共 7 页）页） 绝密启用前 长沙市长沙市 2018 届高三年级统一模拟考试届高三年级统一模拟考试 文科数学文科数学 长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷共 7 页，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x10，Bx|2x0，则下列结论正确的是 AABA BABB C “xA”是“xB”的充分条件 D “xA”是“xB”的必要条件 2已知复数 2 1 z i = ，则下列结论正确的是 Az 的虚部为 i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz 的共轭复数1zi= + 3已知 a，b 为单位向量，且 a(a2b)，则向量 a 与 b 的夹角为 A30 B60 C120 D150 4设首项为 1，公比为 2 3 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则下列结论正确的是 ASn43an BSn32an CSn3an2 DSn2an1 5已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0时，f(x)x2x，则不等式 f(x2)6 的解集是 Ax|5x1 Bx|4x0 C x|1x5 Dx|0x4 6已知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形，给出下列4个图形： 其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是 A B C D 高考湘军高考湘军 正视图 俯视图 文科数学试卷文科数学试卷 第第 2 页（共页（共 7 页）页） 7若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 r，则记为 Nr(mod m)，例如102(mod 4)下列程序框 图的算法源于我国古代算术中国剩余定理， 则执行该程序框图输出的 i 等于 A3 B9 C27 D81 8函数( )2 1 x x f x x =+ + 的图象大致为 A. B. C. D. 9设点A(1，0)，B(1，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值 m(m0)，若点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A、B)，则m A15 B3 C15 D3 10已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA =+ + ，则f(x)1，可排除选项B，选A. 9B 【解析】设点M(x，y)，则点M的轨迹方程是 11 yy m xx = + ，即 22 (1)ym x=，即 2 2 1(1) y xx m =. 因为点M的轨迹是双曲线，则m0，且a21，b2m， 从而c21m. 因为2c4，即c2，则1m4，所以m3，选B. 10D 【解析】由图知， 25 43124 T =，则T，从而 2 2 T =. 因为 5 12 是f(x)在(0，)内的第一个零点，则 5 2 12 +=，即 6 =. 又 A2，则( )2sin(2) 6 f xx =+，所以(0)2sin1 6 f =，选D. 11A 【解析】作可行域，如图.据题意， 当直线l：yaxz经过 AOB区域时，l在y轴上的最大截距为4， 则点A(2，0)为最优解. 因为x2，y0，z4，则2a4，即a2，选A. 12B 【解析】设直线l的方程为ya(a0)，由2xa=，得 2 logxa=，所以点 2 (log, )Aa a. 由 1 2xa + =，得 2 log1xa=，所以点 2 (log1, )Baa，从而|AB|1. 如图，取AB的中点D，连CD. 因为ABC为等边三角形，则CDAB， 且 1 | 2 AD=， 3 | 2 CD=，所以点 2 13 (log,) 22 Caa. 因为点C在函数2xy =的图象上， 则 2 1 log 2 3 2 22 a a a =， 解得 3 22 a = ，所以直线l有且只有一条，选B. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把各题答案的最简形式写在题 中的横线上 把各题答案的最简形式写在题 中的横线上. 138 . 【解析】由已知，数列an为等差数列，且公差d2. 因为a11S11S1012，则a1 10d12. 所以a11210d8. x y O A B xy0 2x3y4 l x y A O B C 1 2 y2x y2x 1 l D 数学（文科）参考答案第 3 页 共 8 页数学（文科）参考答案第 3 页 共 8 页 14 34 . 【解析】设回归方程为3.2yxa ? = +，由表中数据可得，1x =，50y =.因为回归直 线经过样本点中心(1，50)，则3.253.2ayx=+=，所以当x6时，y3.2 653.234. 152 3 . 【解析】 设点P(x0，y0)， 则|PF|x02. 由已知x023， 则x01， 所以 2 00 88yx=. 因为圆M的圆心为M(1，0)， 则圆M的半径 22 00 |(1)2 3rPMxy=+=. 16 12 . 【解析】过点C作直线AB的垂线， 交AB的延长线于E，则所得旋转体为 一个圆台挖掉一个共下底面的圆锥. 过点D作CE的垂线，垂足为F. 设BEx，CFy，则DFAEx1， CEy1. 因为BCCD5，则 22 22 (1)25 (1)25 xy xy += += ，解得xy3. 所以圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为4，圆锥的底面半径为4，高为3. 所以旋转体的体积VV台V锥 11 (416 )416312 33 + =. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题个小题,共共 70 分分,解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据 要求作答 题为选考题，考生根据 要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17. （本小题满分12分） 【解】 （）由已知， 222 aaccb=+，即 222 acbac+=. （2分） 由余弦定理，得 222 1 cos 222 acbac B acac + =. 又B(0， 2 )，所以 3 B =. （5分） （）因为3b=， 3 B =，据正弦定理，有 3 2 sinsinsin60 ac AC = ? ， 则a2sinA，c2sinC.且 2 3 ACB +=. （7分） 所以 231 4sin2sin4sin2sin()4sin2(cossin) 322 mACAAAAA =+ 31 3sin3cos2 3(sincos )2 3sin() 226 AAAAA =. （10分） A B C D E F 数学（文科）参考答案第 4 页 共 8 页数学（文科）参考答案第 4 页 共 8 页 因为A，C都为锐角，则0 2 A ， （3分） 所以有99.5%的把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”. （4分） （2分） A D F C B E P A D F C B E P G 数学（文科）参考答案第 5 页 共 8 页数学（文科）参考答案第 5 页 共 8 页 （）由茎叶图可知，各组数据的频数分别为3，7，7，8，5，则 （5分） 37785 5565758595 3030303030 x=+ ? 12300 (165455525680475) 3030 =+=. （7分） 所以 2300228812 0.4 3030 xx = ? ，即x ?与x 的误差值为0.4. （8分） （）记“这2人都爱好体锻或都不爱好体锻”为事件A. 由茎叶图知， 健康指数高于90的共5人， 从5人中任选2人的取法有 54 10 2 =种. （9分） 因为5人中爱好体育锻炼的有3人， 从中任选2人的取法有3种.又5人中不爱好 体育锻炼的有2人， 从中选取2人的取法只有1种， 则事件A包含的基本事件数 为4. （11分） 所以 42 ( ) 105 P A=，故所求的概率为 2 5 . （12分） 20. （本小题满分12分） （）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c. 因为 3 2 c a =，则 3 2 ca=， 所以 2 22222 3 44 a bacaa=， 得 22 4ab=. （2分） 因为|AF|BF|4，则()()4ac ac+=， 即 22 4ac=，即 2 4b=. （4分） 所以椭圆的标准方程是 22 1 164 xy +=. （5分） （） 解法一：解法一： 设点M(x0，y0)， 因为点A(4，0)， 则直线AM的方程为 0 0 (4) 4 y yx x =+ + . 令x6，则 0 0 10 4 y y x = + ，所以点 0 0 10 (6,) 4 y D x+ . （6分） 因为点B(4，0)，则直线BM的方程为 0 0 (4) 4 y yx x = .令x6，则 0 0 2 4 y y x = ， 所以点 0 0 2 (6,) 4 y E x . （7分） 因为点M在椭圆上，则 22 00 1 164 xy +=，即 22 00 416xy+=，即 22 00 164xy=. （8分） A B M D E O x y F x6 数学（文科）参考答案第 6 页 共 8 页数学（文科）参考答案第 6 页 共 8 页 因为点M位于x轴上方，则 0 44x . （9分） 所以 2 0000000 2 0000000 10210210220 |222 5 44444 416 yyyyyyy DE xxxxxxx =+= + ， 当且仅当 00 00 102 44 yy xx = + ，即 00 5(4)4xx=+，即 0 8 3 x=时取等号. 所以 min |2 5DE=. （12分） 解法二：解法二：由题设，点A(4，0)，B(4，0). 设点M(x0，y0)，则 22 00 1 164 xy +=，即 22 00 416xy+=，即 22 00 164xy= ，即 2 000 (4)(4)4xxy+= ，则 00 00 1 444 yy xx = + ，所以 1 4 AMBM kk= . （8分） 设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为(4)yk x=+，直线BM的方程为 1 (4) 4 yx k = . 分别联立x6，得点D(6，10k)，E(6， 1 2k ). （10分） 因为点M在x轴上方，则k0，所以 11 | 102 102 5 22 DEkk kk =+=.当且仅 当 1 10 2 k k =，即 5 10 k=时取等号，所以 min |2 5DE=. （12分） 21.（本小题满分12分） 【解】 （）( )2ln1fxaxx=. （1分） 因为f(x)在(0，)内单调递增，则当x0时，( )0fx恒成立， 即2ln10axx 恒成立， 即 ln1 2 x a x + 恒成立.设 ln1 ( ) x g x x + =，则 max 2( )ag x. （3分） 因为 2 ln ( ) x g x x =.由( )0g x，得lnx0，即0x1；由( )0g x. （7分） 数学（文科）参考答案第 7 页 共 8 页数学（文科）参考答案第 7 页 共 8 页 设 1 ( )lnh xx ex =+，则 22 111 ( )(0) ex h xx xexex =. 由( )0h x，得 1 x e .则h(x)在 1 (0, ) e 上单调递减， 在 1 ( ,) e +上单调递增.所以 min 1 ( )( )0h xh e =，从而h(x)0，即 1 ln0x ex +. （9分） 设( ) x xexe=，则( ) x xee= . 由( )0x，得x1；由( )0x，故原不等式成立. （12分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 【解】 （）将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，得3x2y21. （2分） 将xcos，ysin代入，得 222 (3cossin)1+=，即 2 2 1 2cos1 = + . 所以曲线C的极坐标方程为 2 2 1 2cos1 = + . （5分） （）因为OAOB，在极坐标系中，设点A(1，)，B(2，90)，则 |AB|2|OA|2|OB|2 22 12 2222 1111 2cos12cos (90)12cos12sin1 +=+=+ + ? 2