太原理工大学2014年数理统计试题.pdf

太原理工大学 数学学院 2015年12月28日 (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日1 / 22 一.选择题(每题3分,共15分) 1.以下关于显著性检验的说法,错误的是( ) (A)若作出拒绝假设的判断,这是有充分证据的; (B)若作出接受假设的判断,这是有充分证据的; (C)显著性检验有保护原假设的作用; (D)不能轻易拒绝的假设一般应设置为原假设. 2.设总体 (0,1),()是其经验分布函数, 则(0) =( ) (A) 1 4 ;(B) 4 ;(C)1 4; (D)1 2. 1(B) () = 1 ()1 (), 2(A) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日2 / 22 一.选择题(每题3分,共15分) 1.以下关于显著性检验的说法,错误的是( ) (A)若作出拒绝假设的判断,这是有充分证据的; (B)若作出接受假设的判断,这是有充分证据的; (C)显著性检验有保护原假设的作用; (D)不能轻易拒绝的假设一般应设置为原假设. 2.设总体 (0,1),()是其经验分布函数, 则(0) =( ) (A) 1 4 ;(B) 4 ;(C)1 4; (D)1 2. 1(B) () = 1 ()1 (), 2(A) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日2 / 22 一.选择题(每题3分,共15分) 1.以下关于显著性检验的说法,错误的是( ) (A)若作出拒绝假设的判断,这是有充分证据的; (B)若作出接受假设的判断,这是有充分证据的; (C)显著性检验有保护原假设的作用; (D)不能轻易拒绝的假设一般应设置为原假设. 2.设总体 (0,1),()是其经验分布函数, 则(0) =( ) (A) 1 4 ;(B) 4 ;(C)1 4; (D)1 2. 1(B) () = 1 ()1 (), 2(A) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日2 / 22 3.有关单因素方差分析的命题,下面哪个是错误的( ) (A)总的离差平方和可分解为因子的离差平方 和和随机误差的离差平方和; (B)因子的离差平方和反映了因子水平之间的差 异所导致的误差; (C)随机误差的离差平方和反映了随机因素所导 致的误差; (D)若因子的离差平方和大于随机误差平方和,那说 明因子的影响超越了随机因素的影响,即说明该因子显著. 3 (B) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日3 / 22 3.有关单因素方差分析的命题,下面哪个是错误的( ) (A)总的离差平方和可分解为因子的离差平方 和和随机误差的离差平方和; (B)因子的离差平方和反映了因子水平之间的差 异所导致的误差; (C)随机误差的离差平方和反映了随机因素所导 致的误差; (D)若因子的离差平方和大于随机误差平方和,那说 明因子的影响超越了随机因素的影响,即说明该因子显著. 3 (B) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日3 / 22 4.设准妈妈的怀孕期服从正态分布(,162).调查 了100个准妈妈,得到样本均值为266天.设表示标准 正态分布下的分位数,那么参数的置信度为95%的区间 估计为( ) ()(266 160.975,266 + 160.975); ()(266 1620.975,266 + 1620.975); ()(266 160.975/100,266 + 160.975/100); ()(266 160.95/100,266 + 160.95/100). 4 (C) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日4 / 22 4.设准妈妈的怀孕期服从正态分布(,162).调查 了100个准妈妈,得到样本均值为266天.设表示标准 正态分布下的分位数,那么参数的置信度为95%的区间 估计为( ) ()(266 160.975,266 + 160.975); ()(266 1620.975,266 + 1620.975); ()(266 160.975/100,266 + 160.975/100); ()(266 160.95/100,266 + 160.95/100). 4 (C) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日4 / 22 5.设总体 (0,22),(1,2, ,15)为样 本,则 = 2 1 + 2 2 + + 2 10 2(2 11 + 2 12 + + 2 15) 服从的分布为( ) ()2(5);()(5,10) ()2(10)()(10,5). 5 (D) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日5 / 22 二、 填空题(每题3分,共15分) 1. (1,2, ,)是来自总体(0,2)的一个 简单随机样本,则统计量 = 1 =1 2 服从的分布为 ( 2 , 22 ); 2.设(1,2, ,10)是来自总体的样本, () = 2,() = 0.05,则 10 =1 20 2 0.05(5) = 11.1. 2= 6 =1 ( )2 =(7 10) 2 10 + (8 10)2 10 + (12 10)2 10 +(11 10) 2 10 + (9 10)2 10 + (13 10)2 10 3.7 0, 0, 0,0 (1,2, ,)为其样本,求参数的最小方差无偏 估计. 解: () = =1 1 = 1 , ln() = ln (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日12 / 22 (ln() = + 2 = 0, 得到 = ,且 = = . () = 1 取() = 1 , = ,() = , 由指数型分布定 理得 = 为的充分完备统计量, (|) = (|) = , 所以为的最小方差无偏估计. (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日13 / 22 六.(本题15分)设(1,2, ,)为来自几何分 布的样本,即有分布列为: ( = |) = (1 ), = 0,1,2, , 假定的先验分布为均匀分布(0,1),损失函数 为(,) = ( )2, (1)求参数的后验分布; (2)若四次观测值为4, 3, 1, 6,求得贝叶斯估计. (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日14 / 22 解: (1)(1,2, ,) = =1 (1 ) 1 = (1 ) (1,2, ,) = 1 0 (1 ) =( + 1)( + 1) ( + + 2) = !()! ( + + 1)! (|) = (,) () = ( + + 1)! !()! (1 ) | ( + 1, + 1) (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日15 / 22 (2) = (|) = + 1 ( + 1) + ( + 1) = + 1 + + 2 = 4 + 1 4 + 14 + 2 = 1 4 (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日16 / 22 七.(本题10分)一批由同种原料织成的布,用不同的 染整工艺处理,每台进行缩水率试验,目的是考察不同的 工艺对布的缩水率是否有显著影响.现采用5种不同工艺, 每种工艺处理4块布样,方差分析计算如下: (注1: 0.01(5,4) = 15.5, 0.01(4,19) = 4.50, 0.01(15,4) = 14.2,0.01(4,15) = 4.89 注2: = 5 =1 4 =1 2 2 , = 5 =1 4 =1 2 1 4 5 =1 ( 4 =1 2 ) 2 (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日17 / 22 1234 4 =1 ( 4 =1 )2 4 =1 2 I4.37.83.26.521.8475.24131.82 II6.17.34.24.121.7470.89124.95 III6.58.38.68.231.6998.56252.34 IV9.38.78.710.135.31246.09317.91 V9.58.811.47.837.51406.25358.49 = 147.94597.031183.63 试通过计算列出方差分析表， 在 = 0.01下判断不同工艺 对缩水率的影响是否显著？ (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日18 / 22 解：0: 1= 2= 3= 41:至少= = 5,= 4, = 20, = 0.01. = 0.01(4,15) = 4.89 = 1183.63 147.92 89.91 = 1183.63 1 44597.03 34.38 = = 55.53 = 4 ,= 15 , = 6.057 4.89 拒绝原假设， 有显著差异. (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日19 / 22 八. (本题共15分)设总体 (0,), 0未 知, (1,2, ,)为其样本.试计算： (1)的矩估计1及其极大似然估计2； (2)判断1, 2的无偏性； (3)令3= +1 ()， 说明3为的一致估计. (太原理工大学)2014级数理统计试卷2015年12月28日20 / 22 解：(1) = 2推出 1= 2 () = =1 1 = 1 2= max (1,2, ,) = () (2) (1) = (2) = 2 = 2 2 = , 1为无偏估计. ()() = 1()() = ( ) 11 = 1 (2) = () = 0 1 = + 1 2为渐近无偏估计. (太原理