湖南高考数学理科含答案.pdf

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每题个小题，每题 5 分，共分，共 50 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1满足 i i z z （i为虚数单位）的复数z=（ ） A 11 i 22 B 11 i 22 C 11 i 22 D 11 i 22 2对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不 同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是 1 p， 2 p， 3 p，则（ ） A 123 ppp B 231 ppp C 132 ppp D 123 ppp 3已知 ( ), ( )f x g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 32 ( )( )1f xg xxx，则 (1)(1)fg （ ） A-3 B-1 C1 D3 4 5 1 (2 ) 2 xy的展开式中 23 x y的系数是 （ ） A-20 B-5 C5 D20 5已知命题p：若x y ，则 xy ；命题q：若x y ，则 22 xy在命题 p q p q ()pq ( )pq 中，真命题是（ ） A B C D 6执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 2,2t ，则输入的S属于（ ） A 6, 2 B 5, 1 C 4, 5 D 3, 6 图1 否是 结束 输出S S = t - 3t = 2t2 + 1 t 0 ? 输入t 开始 12 俯视图 侧视图 7一块石材表示的几何的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的 半径等于 （ ） A 1 B2 C 3 D4 图 2 8某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产 总值的年平均增长率为（ ） A 2 pq B (1)(1)1 2 pq C pq D (1)(1)1pq 9已知函数 ( )sin()f xx ，且 2 3 0 ( )0f x dx ，则函数 ( )f x的图象的一条对称轴是（ ） A 5 6 x B 7 12 x C 3 x D 6 x 10已知函数 2 1 ( )e(0) 2 x f xxx与 2 ( )ln()g xxxa的图象上存在关于y轴对称的点， 则a的 取值范围是（ ） A 1 (,) e B (, e) C 1 (, e) e D 1 (e,) e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答小题，考生作答 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 （一）选做题选做题（请考生在第 11,12,13 三题中任选两提作答，如果全做，则按前两题记分） 11在平面直角坐标系中，倾斜角为 4 的直线l与曲线 2cos , 1sin x C y ： （为参数）交于A，B两 点，则 2AB ，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则直线l的极坐标方程是 _ 12如图 3， 已知 ,AB BC是O的两条弦， ,3,2 2AOBCABBC， 则 O的半径等于_ 正视图 6 8 13若关于x的不等式 23ax 的解集为 51 33 Axx ，则a=_ （二）必做题必做题（1416 题） 14若变量 , x y满足约束条件 , 4, yx xy yk 且 2zxy 的最小值为6，则k _ 15如图 4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为 , a b ab，原点O为AD的中点，抛物线 2 20ypx p经过,C F两点，则 b a _ 16在平面直角坐标系中，O为原点， 1,0 ,0, 3 ,3,0ABC动点D满足1CD ， 则OAOBOD 的最大值是_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 2 3 和 3 5 现安排甲组研发新产 品A，乙组研发新产品B设甲、乙两组的研发相互独立 （I）求至少有一种新产品研发成功的概率； （II）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利 润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望 y x G F E C D B A O 4 / 17 18（本小题满分 12 分） 如图 5,在平面四边形ABCD中，1,2,7ADCDAC （I）求cosCAD的值； （II）若 7 cos 14 BAD ， 21 sin 6 CBA，求BC的长 图5 D C B A 5 / 17 19（本小题满分 12 分） 如图6， 四棱柱 1111 ABCDABC D的所有棱长都相等， 11111 ,ACBDO ACB DO， 四边形 11 ACC A 和四边形 11 BDD B为矩形 （I）证明： 1 OO 底面ABCD； （II）若 0 60CBA，求二面角 11 COBD的余弦值 6 / 17 20（本小题满分 13 分） 已知数列 n a 满足 11 1, n nn aaap ， * nN （I）若 n a 为递增数列，且 123 ,2,3aaa成等差数列，求p的值； （II）若 1 2 p ，且 21n a 是递增数列， 2n a 是递减数列，求数列 n a的通项公式 7 / 17 21（本小题满分 13 分） 如图 7，O为坐标原点，椭圆 1: C 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，离心率为 1 e；双 曲线 2: C 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为 34 ,F F，离心率为 2 e，已知 1 2 3 2 ee ，且 24 31F F （I）求 12 ,C C的方程； （II）过 1 F点的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与 2 C交于,P Q两点时，求四 边形APBQ面积的最小值 8 / 17 22（本小题满分 13 分） 已知常数0a ,函数 2 ln 1 2 x f xax x （I）讨论 f x在区间0,上的单调性； （II）若 f x存在两个极值点 12 ,x x,且 12 0f xf x ，求a的取值范围 9 / 17 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）参考答案与解析数学（理工农医类）参考答案与解析 一选择题一选择题 1 【答案】B 【解析】由题可得 11 1 122 zii iziziziizi zi ,故选 B 2 【答案】D 【解析】 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率 相等,即 123 ppp,故选 D 3 【答案】C 【解析】分别令1x 和1x 可得 113fg且111fg 111fg,则 11312 11111 fgf fgg 111fg,故选 C 4 【答案】A 【解析】第1n项展开式为 5 5 1 2 2 n n n Cxy , 则2n 时, 2 53 23 5 11 210220 22 n n n Cxyxyx y ,故选 A 5 【答案】C 【解析】当x y 时,两边乘以1可得 xy ,所以命题p为真命题,当 1,2xy 时,因为 22 xy, 所以命题q为假命题,所以为真命题,故选 C 6 【答案】D 【 解析 】当2,0t 时 , 运 行程序 如下 , 2 211,9 ,32,6ttSt , 当0,2t时 , 33, 1St ,则 2,63, 13,6S ,故选 D 7 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则 22 86862rrr ,故选 B 8 【答案】D 【解析】设两年的平均增长率为x,则有 2 111xpq111xpq,故选 D 9 【答案】A 10 / 17 【解析】函数 fx的对称轴为 2 xk 2 xk , 因为 2 3 0 2 sin0coscos0 3 xdx sin0 3 , 所以2 3 k 或 4 2 3 k ,则 5 6 x 是其中一条对称轴,故选 A 10 【答案】B 【解析】由题可得存在 0 ,0x 满足 0 2 2 000 1 ln 2 x xexxa 0 0 1 ln 2 x exa0,当 0 x取决于负无穷小时, 0 0 1 ln 2 x exa趋近于,因为函数 1 ln 2 x yexa 在 定 义 域 内 是 单 调 递 增 的 , 所 以 0 1 ln 00 2 ea lnlnaeae ,故选 B 二填空题 11 【答案】 2 sin 42 【解析】曲线C的普通方程为 22 211xy,设直线l的方程为yxb,因为弦长2AB , 所 以 圆 心2 , 1到 直 线l的 距 离0d , 所 以 圆 心 在 直 线l上 , 故1yx 2 sincos1sin 42 ,故填 2 sin 42 12 【答案】 3 2 【解析】设线段AO交BC于点 D 延长AO交圆与另外一点E,则 2BDDC ,由三角形 ABD 的 勾股定理可得1AD ,由双割线定理可得2BD DCAD DEDE,则直径 3 3 2 AEr,故 填 3 2 13 【答案】3 【解析】由题可得 5 23 3 1 23 3 a a 3a ,故填3 14 【答案】2 11 / 17 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为 , 4,k kk k, 2,2, 且,4yx xy的可行域如图,所以2k ,则当, k k为最优解时,362kk ,当4, k k 为最优解时,2 4614kkk , 因为 2k ,所以2k ,故填2 15 【答案】 21 【解析】由题可得, 22 aa CaFb b ,则 2 2 2 2 apa a bpb 21 a b ,故填 21 16 【答案】2 3 【解析】动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆 ,则设为 3cos ,sin0,2,则 2 2 3cos1sin3OAOBOD82 cos3sin ,因为 cos3sin 的最大值为2,所以OA OBOD的最大值为122 3,故填2 3 17某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 2 3 和 3 5 ,现安排甲组研发新产品A, 乙组研发新产品B设甲,乙两组的研发是相互独立的 （1）求至少有一种新产品研发成功的概率; （2） 若新产品A研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万 元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望 17 【答案】 （1）13 15 （2）详见解析 【解析】 （1）解:设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一 种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为 2 3 , 3 5 , 则 23122 11 353515 P B , 再 根 据 对 立 事 件 概 率 之 间 的 公 式 可 得 13 1 15 P AP B ,所以至少一种产品研发成功的概率为13 15 （2）由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有0,1200,1000,120 100,即 12 / 17 0,120,100,220,由独立试验的概率计算公式可得: 232 011 3515 P ; 234 1201 3515 P ; 231 1001 355 P ; 232 220 355 P; 所以的分布列如下: 0 120 100 220 P 2 15 4 15 1 5 2 5 则数学期望 2412 0120100220 151555 E 322088130 18如图 5,在平面四边形ABCD中,1,2,7ADCDAC （1）求cosCAD的值; （2）若 7 cos 14 BAD , 21 sin 6 CBA ,求BC 的长 18 【答案】 （1） 2 7 cos 7 CAD （2） 6 7 【解析】解:（1）由DAC关于CAD的余弦定理可得 222 cos 2 ADACDC CAD AD AC 174 2 17 2 7 7 ,所以 2 7 cos 7 CAD （2）因为BAD为四边形内角,所以sin0BAD且sin0CAD,则由正余弦的关系可得 sinBAD 2 189 1 cos 14 BAD且 2 21 sin1 cos 7 CADCAD ,再有正弦的和差角 公式可得sinsinsincossincosBACBADCADBADCADCADBAD 1892 7217 147714 3 33 714 3 7 ,再由ABC的正弦定理可得 sinsin ACBC CBABAC 73 7 21 6 BC 6 7 19如图 6,四棱柱 1111 ABCDA BC D的所有棱长都相等, 11111 ,ACBDO ACB DO,四边形 11 ACC A和四边形 11 BDD B为矩形 （1）证明: 1 OO 底面ABCD; （2）若 0 60CBA ,求二面角 11 COBD的余弦值 13 / 17 19 【答案】 （1）详见解析 （2） 2 57 19 【解析】 （1）证明:四棱柱 1111 ABCDABC D的所有棱长都相等 四边形ABCD和四边形 1111 ABC D均为菱形 11111 ,ACBDO ACB DO 1 ,O O分别为 11 ,BD B D中点 四边形 11 ACC A和四边形 11 BDD B为矩形 1/ / OO 11 /CCBB且 11 ,CCAC BBBD 11 ,OOBD OOAC 又ACBDO且,AC BD 底面ABCD 1 OO底面ABCD （2） 过 1 O作 1 BO的垂线交 1 BO于点E,连接 11 ,EO EC 不妨设四棱柱 1111 ABCDABC D的边长为2a 1 OO底面ABCD且底面ABCD/ /面 1111 ABC D 1 OO面 1111 ABC D 又 11 OC 面 1111 ABC D 111 OCOO 四边形 1111 ABC D为菱形 1111 OCO B 又 111 OCOO且 1111 OOOCO, 111 ,OO O B 面 1 OB D 11 OC面 1 OB D 又 1 BO 面 1 OB D 111 BOOC 又 11 BOO E且 1111 OCOEO, 111 ,OC O E 面 11 OEC 1 BO面 11 OEC 11 O EC为二面角 11 COBD的平面角,则 1 11 1 cos O E O EC EC 14 / 17 0 60CBA且四边形ABCD为菱形 11 OCa, 11 3 ,BOa 22 11111 2 ,7OOa BOBOOOa , 则 1 1111111 1 22 21 sin3 77 OOa O EBOO BOBOaa BOa 再由 11 O EC的勾股定理可得 2222 1111 1219 77 ECO EOCaaa , 则 1 11 1 cos O E O EC EC 2 21 2 57 7 1919 7 a a ,所以二面角 11 COBD的余弦值为 2 57 19 20已知数列 n a满足 11 1, n nn aaap , * nN （1）若 n a为递增数列,且 123 ,2,3aaa成等差数列,求P的值; （2）若 1 2 p ,且 21n a 是递增数列, 2n a是递减数列,求数列 n a的通项公式 20 【答案】 （1） 1 3 p （2） 1 1 41 , 33 2 41 , 33 2 n n n n a n 为奇数 为偶数 【解析】解:（1）因为数列 n a为递增数列,所以 1 0 nn aa ,则 11 nn nnnn aapaap ,分 别令1,2n 可得 2 2132 ,aap aap 2 23 1,1ap app ,因为 123 ,2,3aaa成等差数列, 所以 213 43aaa 22 4 11 3130ppppp 1 3 p或0, 当0p 时,数列 n a为常数数列不符合数列 n a是递增数列,所以 1 3 p （2） 由题可得 12212221 2121 111 , 222 nnnnnn nnn aaaaaa ,因为 21n a 是递增数列且 2n a是递减数列,所以 2121nn aa 且 222nn aa ,则有 222 2122122 2121 nn nnnn nn aa aaaa aa , 因为 （2） 由题可得 12212221 2121 111 , 222 nnnnnn nnn aaaaaa ,因为 21n a 是递增数列且 2n a是递减数列,所以 2121 0 nn aa 且 222 0 nn aa 222 0 nn aa ,两不等式相加可得 2121222 0 nnnn aaaa 2212221nnnn aaaa , 又因为 221 21 1 2 nn n aa 2221 21 1 2 nn n aa ,所以 221 0 nn aa ,即 221 21 1 2 nn n aa , 同理可得 2322212nnnn aaaa 且 2322212nnnn aaaa ,所以 212 2 1 2 nn n aa , 15 / 17 则当2nm*mN时, 213243221 2321 1111 , 2222 mm m aaaaaaaa ,这21m 个等式相加可得 21 13212422 111111 222222 m mm aa 21222 21 111111 11 224224 11 33 2 11 44 mm m 2 21 41 33 2 m m a 当21nm时, 213243212 232 1111 , 2222 mm m aaaaaaaa ,这2m个等式相加 可得 211 1321242 111111 222222 m mm aa 2122 2 111111 11 224224 11 33 2 11 44 mm m 21 2 41 33 2 m m a ,当0m 时, 1 1a 符合,故 21 22 41 33 2 m m a 综上 1 1 41 , 33 2 41 , 33 2 n n n n a n 为奇数 为偶数 21如图 7,O为坐标原点,椭圆 1: C 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F,离心率为 1 e;双曲 线 2: C 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为 34 ,F F,离心率为 2 e,已知 1 2 3 2 ee ,且 24 31F F （1）求 12 ,C C的方程; （2）过 1 F点的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与 2 C交于,P Q两点时,求四边形 APBQ面积的最小值 21 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y 2 2 1 2 x y （2）4 16 / 17 【解析】解:（1）由题可得 22 12 22 1,1 bb ee aa ,且 22 12 2FFab ,因为 1 2 3 2 ee ,且 2222 24 F Fabab , 所 以 22 22 3 11 2 bb aa 且 2222 31abab 2ab 且1,2ba,所以椭圆 1 C方程为 2 2 1 2 x y,双曲线 2 C的方程为 2 2 1 2 x y （2）由（1）可得 2 1,0F,因为直线AB不垂直于y轴,所以设直线AB的方程为1xny,联立直 线与椭圆方程可得 22 2210nyny ,则 2 2 2 AB n yy n ,则 2 2 m n y n ,因为 , MM M xy在 直线AB上,所以 2 22 2 1 22 M n x nn ,因为AB为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得 2 1 2 2 2 22 22 2 2 M n ABe x n 2 2 4 21 2 n n ,则直线PQ的方程为 2 M M yn yxyx x , 联 立 直 线PQ与 双 曲 线 可 得 2 2 20 2 n xx 2 2 8 4 x n , 2 2 2 2 4 n y n 则 2 4022nn ,所以,P Q的坐标为 22 2222 8282 , 4444 nn nnnn ,则点 ,P Q到直线AB的距离为 2 22 1 2 28 1 44 1 n n nn d n , 2 22 2 2 28 1