天津科技大学高等数学2习题册答案2011-2012.doc

天津科技大学高等数学(一)检测题8-1答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ，； 6. ； 7. .二、选择题1.（b）； 2. (c)； 3.（c）.三、解答题 1解：，.2. 解：由，得， 而，于是. 或由中点坐标公式，得点坐标为、 于是.3. 解：由， ，有及，所以，三角形是等腰直角三角形. 天津科技大学高等数学(一)检测题8-2答案一、填空题1. ， ； 2. ，；3. （是任何实数）； 4. .二、选择题1.（a）； 2.（b）； 3.（c）； 4. (d) .三、解答题 1解： .2. 解：，于是；， .3. 解：，所以. .4， ，.天津科技大学高等数学(一)检测题8-3答案一、填空题1. ； 2. ，； 3. ，单叶旋转双曲面； 4. 圆锥面； 5. 椭圆，椭圆柱面； 6.，抛物柱面. 二、选择题1.（b）； 2.（b）； 3.（c）； 4. (d) .三、解答题 1解：配方得 ， 当时，是球心在，半径的球面； 当时，是一点；当时，不表示任何图形.2. 解：将方程改写为，由此可见，它是由平面是直线，或由平面是直线绕轴旋转形成. 它是圆锥面，其特点是顶点在原点，半顶角为，轴是中心轴，开口向轴两侧.3. 解： （1） （2）天津科技大学高等数学(一)检测题8-4答案一、填空题1. 圆； 2. ； 3. 4. （）； 5. ； 6. ； 7. ，.二、选择题1.（c）； 2.（c）； 3.（d）.三、解答题 1解： 取法向量， 平面方程为，即.2. 解：取法向量，平面方程为，即.3. 解：由平面过轴，于是设所求平面方程为，再由平面到 两点的距离相等，有，即，得或，代入得所求平面方程为或. 4解：设所求平面方程为，由到原点的距离是6，有 ，即，得，代入方程并化简，得所求平面为.天津科技大学高等数学(一)检测题8-5答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. .二、选择题1.（d）； 2.（d）； 3.（b）.三、解答题 1解：取， 所求直线方程为.2. 解：在直线上取一点，并取所求平面的法向量为，所求平面方程为，即.3. 解：设所求平面方程为，将点代入有，得，于是所求方程为. 4解：设所求直线方程为，由与已知直线垂直，有；又设与轴交点为，有，由、两式得，所求直线方程是. 5解：过点作平面垂直于所给直线，方程为，将直线改写为参数方程并代入平面方程，有，得，投影点为，所以.天津科技大学高等数学(一)检测题9-1答案一、填空题1，； 2； 3.二、选择题1（b）； 2（c）； 3（d）； 三、解答题1解：令，.则，.于是.所以.2解：3解：由 有 或得或 于是，定义域为： 或.天津科技大学高等数学(一)检测题9-2答案一、填空题1； 2或； 31； 43.二、选择题1（a）； 2（c）； 三、解答题1解： 2解：；3证明：由，有，由变量的对称性，得，于是. 4证明：由于,； .所以, .天津科技大学高等数学(一)检测题9-3答案一、填空题1,；2；3；二、选择题1（b）； 2（a）； 三、解答题1. 解：由 , .得.2. 解：.3. 解：由，有， 由变量的对称性,得；又.所以，天津科技大学高等数学(一)检测题9-4答案一、填空题 1； 2； 3；4； .二、选择题 1（b）； 2（a）； 3（c）.三、解答题 1解： .2解：方程两边对求导，有，即. 解得3解：方程两边对，求导，有 . （1）. （2）（1），（2）移项并相比，有，化简得天津科技大学高等数学(一)检测题9-5答案一、填空题1；2 ； 3； 4.二、选择题 1(d)； 2（c）.三、解答题 1解：以为参数，于是，在点处，. 取切线方向向量， 切线方程为：； 法平面方程为：，即.2解：设切点为，取法向量，由切平面与已知平面平行，有，即，代入椭球面方程，得，切平面方程为：，即. 3解：设所求点为，则法向量， 根据已知，有，得， 切平面方程为：，即； 法线方程为：. 4解：设曲面上任意一点为，则法向量，于是切平面方程为：，化为截距式方程为：，四面体体积，所以，曲面上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为定值.天津科技大学高等数学(一)检测题9-6答案一、填空题1，； 2，； 3；二、选择题1(a)； 2（c） 3(c)； 4(b)； 5(d).三、解答题1解：设两直角边分别为、，三角形面积为，则，条件. 设，由 得惟一可疑点，由实际意义，斜边一定时直角三角形面积为有最大值，于是在斜边长为的直角三角形中，以等边直角三角形面积最大，最大面积为.2解：设水箱的长、宽、高分别为.则表面积， . 约束条件为.设，由 得惟一可疑点，. 由实际意义，体积一定时，长方体表面积有最小值. 所以，当水箱的长、宽都为，高为时，最省材料.天津科技大学高等数学(一)检测题10-1答案一、填空题 12； 2； 3，二、选择题 1（d）； 2（a）； 3（c）三、解答题1证：设 ，由在区域内得驻点，.又在的边界上，（）于是，在的边界上，的最小值，最大值在上，的最小值，最大值，的面积 (或者：)所以，2证：设，则除原点之外连续. 由二重积分的中值定理，知又，有界，故.3. 解：(1) 先对再对：；先对再对：.(2) 先对再对：先对再对：. 天津科技大学高等数学(一)检测题10-2答案一、填空题 1； 2； 3。二、计算题1解：2解：3解：记，分别为位于直线的上、下部分，则4. 解：5. 解： 天津科技大学高等数学(一)检测题10-3答案一、填空题 1 ， ；2， ；3. ， 二、选择题 1（d）； 三、计算题 1解：原式2解：原式3解：原式天津科技大学高等数学(一)检测题10-4答案一、填空题1，；2， ； 二、计算题1解：原式2解：利用球面坐标系，可得3解：(1) 由 消去得. 于是立体在面上的投影为：. 又，故，于是曲面的面积为(2) 立体体积为或： 4解：如图取坐标，由对称性，于是质心位于处天津科技大学高等数学(一)检测题11-1答案 一、填空题 1； 2，； 二、选择题 1（b）； 2（c）； 三、计算题1解：；， 2解： 3解：由对称性，得， ，于是形心位于天津科技大学高等数学(一)检测题11-2答案一、填空题 1， ； 2二、选择题 1（b）； 2（b）三、计算题1解： 2解：从原点起沿摆线的第一拱到对应参数从变到，于是3解： 天津科技大学高等数学(一)检测题11-3答案一、填空题 1； 2， ； 3 二、选择题 1（b）； 2（b）三、解答题1解：由格林公式，原式2解：如图，补直线，用由格林公式， 原式 3解：如图，补折线，用由格林公式，原式 4证明：， ，且在面内连续，于是在面内是某个二元函数的全微分天津科技大学高等数学(一)检测题11-4答案一、填空题 1；2； 3。二、计算题1解：， 原式2解：， 在上，在上，原式3解：， ，在与上均有原式 天津科技大学高等数学(一)检测题11-5答案一、填空题 1； 2， ；3， 二、选择题 1（a）； 2（d）三、计算题1解：；原式 2解：（右侧）；（左侧）， 原式 天津科技大学高等数学(一)检测题11-6答案一、填空题 1； 2； 3 。二、计算题 1解：由高斯公式，原式 2解：由高斯公式，原式 3解：为用高斯公式，补平面：（，下侧）， （，上侧），原式天津科技大学高等数学(一)检测题12-1答案一、填空题1； 2； 3； 4； 5； 6二、选择题1（b）； 2（c）； 3（d）三、解答题1解： 由于,于是，级数发散 2. 解：，所以，级数收敛，且和为 3解：因为级数收敛于；级数收敛于 由性质2，级数收敛，且和为 4解：按两项、两项规律加括号，得级数 由于级数发散，级数收敛，得级数发散 由性质4，原级数发散天津科技大学高等数学(一)检测题12-2答案一、填空题1发散； 2收敛； 3收敛； 4收敛； 5发散； 6二、选择题1（c）； 2（d）； 3（d） 三、解答题 1解：由，所以级数发散 2解：，级数收敛3解：因为，而，得级数收敛， 从而，级数也收敛 4证明：由，所以，级数收敛 5解：，当时，级数收敛；当时，级数发散当时，级数为收敛；当时，级数为发散综上：当时，级数收敛，当时，级数发散天津科技大学高等数学(一)检测题12-3答案一、填空题1发散； 2条件收敛； 3绝对收敛； 4，二、选择题1（a）； 2（d）； 3（b）三、解答题1解：由 ，有发散又设， 则，且，由莱布尼茨审敛法，得收敛综上，级数是条件收敛的2解：由，有级数发散设 ，则；记，当时，于是函数 单调减少，所以，由莱布尼茨审敛法，得收敛综上，级数是条件收敛的3解：，而，得级数收敛， 所以级数绝对收敛天津科技大学高等数学(一)检测题12-4答案一、填空题1； 2； 3（一点）； 4； 5； 6，二、选择题1（d）； 2（a）； 3（c）三、解答题1解：由，得收敛半径 当时，级数为，是收敛的，当时，级数为，是发散的， 所以幂级数的收敛域是 2解：由，得幂级数收敛半径当，即时，级数为，是发散的，当，即时，级数为，也是发散的，所以幂级数的收敛域是3解：由当，即时，级数绝对收敛；当，即时，数列单调增加，于是 ，由此，级数发散所以，幂级数的收敛半径当时，级数为，是发散的； 当时，级数为，也是发散的 所以，幂级数的收敛域为 4解： （注：由幂级数求导不改变收敛半径，有幂级数的收敛半径 而在处，级数都发散，于是幂级数的收敛域为） 天津科技大学高等数学(一)检测题12-5答案一、填空题1，； 2，； 3，； 4，；5 ，二、选择题1（b）； 2（d） 三、解答题1解： ， （）2. 解： ， 3. 解： 由及，得，于是收敛域为天津科技大学高等数学(一)检测题12-6答案一、填空题 1，； 2，；3； 4； 5； 6二、计算题 1解：函数满足收敛定理， ，（） ，（） ，（） 2解：将延拓为以为周期的函数，满足收敛定理， ，（） ，（），（） 3解：（1）将延拓为以为周期的奇函数，满足收敛定理， （） ， （） （2）将延拓为以为周期的偶函数，满足收敛定理， ， （） ， （） 用代入上式，有，所以级数天津科技大学高等