数学建模实训论文-列车餐饮价格问题.doc

数学与信息科学学院数学建模实训论文潍坊学院数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：列车餐饮价格问题学生姓名、专业、班级：1、信息与计算科学 2008级1班2、 信息与计算科学 2008级1班3、 信息与计算科学 2008级1班指导教师： 2010年12月目录摘要2一、问题重述3二、问题分析3三、问题假设3四、符号说明3五、模型建立与求解451模型一：452模型二：6六、模型分析9七、参考文献10八、附录1081 附录一：1082 附录二：10摘要本文通过分析火车上盒饭和方便面的销售情况，对实际火车上快餐销售进行摸拟，根据价格与销售量的关系，运用供求理论建立微分方程模型，求解微分方程，从理论上求解出盒饭和方便面的销售量与价格之间的函数关系。再利用数学公式：效益 销售量单价，计算出火车快餐销售的最大利润。对于本题，先找出盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系。设和分别为价格上涨时，盒饭和方便面的销售量减少率，和是盒饭和方便面的成本价，根据微分方程模型，得到盒饭销售量与价格的函数关系：，同理，亦可得出方便面销售量与价格的函数关系：。故总收入为： 由于盒饭和方便面的销售量减少率和是未知的，首先假设和是固定值，可以根据总收入的函数公式求出一个最大利润。而根据实际情况，价格较低时，销售量减少率较小；然后随着价格的增大，销售量减少率也增大，直到价格增大到一定程度时，销售量减少率趋于稳定，由此利用一个分段函数表示出价格与销售量减少率之间的关系。根据该分段函数与总收入的函数，最终确定收入和价格的函数关系：，从而得出合适的盒饭价格为12元，方便面价格为4.8元，最大利润为310.7元。关键词：火车快餐、微分方程、供求理论、销售量减少率一、问题重述长途列车由于时间漫长，列车需要为旅客提供一天三餐。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。t238次哈尔滨到广州的列车，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。而且列车容量有限，因此提供的用餐量及食品也是有限的，适当提高价格是正常的，但不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。二、问题分析根据需求的定义以及我们自然的认识，商品价格越低，人们的需求量越大，因此，我们可以把需求函数近似的看做向右下方倾斜的曲线，也就是价格与需求量之间存在着反向变动的关系，即，在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少，随着价格的下降而增加。火车提供快餐只是火车的次营业务，因此火车运行商不可能把精力都投放到快餐的供给上来，而且火车车厢容量有限，这样火车快餐供给量基本上是稳定的。但是火车乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了火车快餐的供给量。这样在市场价格情况下，就造成了火车快餐的供不应求。人们对火车快餐的需求量大于其供给量，如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获取超额利润。在这种情况下，火车运营商一方面为了获取超额利润，另一方面为了火车平安稳定的运行，他都要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客们开始慢慢地减少对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量越小，直到达到供给与需求的均衡点，这样就造成了火车上快餐的价格远远的高于市场上快餐的价格。而选择消费火车快餐的群体一般是那些收入较高或中等收入的群体。三、问题假设1、 列车上每餐只提供盒饭和方便面两种食物。2、 每位乘客每餐只需要一盒盒饭或一袋方便面。3、 火车快餐每餐的成本是固定不变的。四、符号说明单个盒饭的价格单袋方便面的价格盒饭价格上涨时，销售量减少率方便面价格上涨时，销售量减少率盒饭价格为时，每餐盒饭销售量方便面价格为时，每餐方便面销售量总收入固定成本五、模型建立与求解51模型一：因为在火车上，餐饮量不会受到外界太多影响，所以每餐的餐饮销售量不会有太大偏差，所以只考虑一顿饭的总收入；且每餐成本稳定为，这样要求最大收益只需考虑一顿饭的最大收入即可。1、首先找出销售量与价格之间的函数关系：当盒饭的价格由上涨到时，销售量的减少量为 对上式整理得： 当为盒饭成本价时，因为此时需求量大于供应量，故而所有的盒饭都卖光，此时，于是建立方程组：解方程组（1.3）得盒饭销售量与价格之间的函数关系：大体图像如下： 图1盒饭价格与销售量的关系同理，可以求得方便面销售量与价格之间的关系：当为方便面成本价时，于是有：上式的图像大致为：图2 方便面价格与销售量的关系注：（1.4）和（1.6）式中的和分别表示盒饭和方便面的成本价，在此假设，。则固定成本。2、求出销售量与价格之间的函数关系后再求一顿饭的总收入。总收入=价格销售量将（1.4）和（1.6）式代入（1.7）式得：要想求总收入的最大值可以分别求出盒饭、方便面的收入最大值和。对（1.9）和（1.10）式分别求收入对价格的导数：时；时当时，则单调递增；当时，则单调递减，所以时达到最大点。同理时达到最大点。由此要确定最大收入，就要知道销售量减少率，求列车快餐的最大收入，可以运用调查问卷的形式来确定销售量减少率和的值。例如：若盒饭销售量减少率，则制定盒饭价格，此时盒饭收入最大元；同样方便面销售量减少率，则制定方便面价格，此时方便面收入最大元。最大利润=最大收入-固定成本，得最大利润=2923-=2923-2300=623元。52模型二：由（1.9）和（1.10）式知总收入与快餐的价格及减少率有关。因为不同的消费者对于商品价格的承受能力是不同的，即不同的价格对应的销售量减少率是不同的。所以下面讨论价格与减少率之间的关系。要确定价格上涨时对销售量减少率的影响，就要考虑消费者的需求和购买行为及价格上涨时消费者的承受能力。由于价格较低时，可以承受的消费者人数较多，此时减少率较小；而当价格慢慢上升超出大部分消费者承受价格的范围，人数减少的速度增快，即减少率增大；当价格增大到一定程度时，所能消费者的承受能力基本稳定，减少率趋于稳定。根据分析可画出减少率与价格的大致图像： 图3价格与减少率的关系假设价格与减少率之间存在函数关系：根据实际假设当盒饭价格为成本价时，盒饭全部卖出，则盒饭的销售量减少率;当盒饭价格时，减少率达到最大值；当时，将稳定不再发生变化，如下图：图4 盒饭价格与减少率的关系从而得,所以同样假设当方便面价格为成本价时，方便面全部卖出，则方便面的销售量减少率；当方便面价格时，减少率达到最大；当时，将稳定不再发生变化，如下图：图5 方便面价格与减少率的关系从而得：， 所以将（2.1）式代入（1.9）式得： 将（2.2）式代入（1.10）得：对求导，当时 取得极值。运用malab软件（程序详见附录一）画出盒饭总收入与价格曲线： 图6 盒饭总收入与价格的关系由图知时取得最大值，即将盒饭价格定为12元时，总收入取得最大值为2215.5元。同理对求导，当时取得极值。运用malab软件（程序详见附录二）画出方便面总收入与价格曲线： 图7 方便面总收入与价格的关系由图知时取得最大值，即将方便面价格定为4.8元时，总收入取得最大值为：395.2元。总收入，最大利润元。六、模型分析 模型一是通过建立微分方程得到价格与销售量之间的关系，再根据收入=价格销售量，得到收入与销售量减少率及价格之间的函数关系。该模型的销售量减少率假设为稳定值，可以通过市场调查得出。该模型简单扼要，容易理解，但没有考虑到销售量减少率可能会随着价格的变动而改变。模型二考虑了该因素，进而对模型一进行改进，先求出销售量减少率与价格的变动关系，然后将减少率函数代回模型一，得出总收入与价格的函数关系。模型二较复杂，计算量比较大。整体模型没有考虑到对没有卖出的快餐进行降价销售的情况，而且也没考虑到火车上还提供其他的食物。七、参考文献1罗守权、卓岩.经济学原理.北京：首都经济贸易大学出版社，2004，第一版2高希均、林祖嘉.经济学的世界.北京：生活.读书.3陈仲常、蒲艳萍.经济学理论与实践.重庆大学出版社.2002，第一版八、附录81 附录一：c=10:0.1:40;w11=200.*c.*exp(0.02.*c-0.2).*(10-c);w12=200.