江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第9章圆锥曲线.doc

- 1 - 目录（基础复习部分） 第九章圆锥曲线.2 第 51 课椭圆.2 第 52 课双曲线.7 第 53 课抛物线.8 第 54 课直线与圆锥曲线（） （位置关系、弦长）.9 第 55 课直线与圆锥曲线（） （定值、存在性问题）.16 第 56 课综合应用（最值、范围）.27 - 2 - 第九章第九章圆锥曲线圆锥曲线 第第 5151 课课椭圆椭圆 （苏北四市期末）已知椭圆 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，点a， 1 b ， 2 b ，f依次为其左顶点、下顶点、上 顶点和右焦点若直线 2 ab 与直线 1 b f 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 1 2 （扬州期末 ）如图，a，b，c 是椭圆 m：上的三点，其中点 a 是椭圆的右顶点， 22 22 1(0) xy ab ab bc 过椭圆 m 的中心，且满足 acbc，bc=2ac （1）求椭圆的离心率； （2）若 y 轴被abc 的外接圆所截得弦长为 9，求椭圆方程 （1）因为过椭圆的中心，所以bcm22bcocob 又，所以是以角为直角的等腰直角三角形，3 分acbc2bcacoacc 则，( ,0)a a(,) 22 aa c(,) 2 2 a a b 10 2 aba 所以，则，所以，； 7 分 22 22 ( )() 22 1 aa ab 22 3ab 22 2cb 6 3 e （2）的外接圆圆心为中点，半径为，abcab(,) 4 4 a a p 10 4 a 则的外接圆为 10 分abc 222 5 ()() 448 aa xya 令，或，所以，得，0x ya 2 a y ()9 2 a a 6a 所以所求的椭圆方程为 15 分 22 1 3612 xy （南京盐城模拟一）在平面直角坐标系中，椭圆xoy 的右准线方程为，右顶点为， 22 22 :1(0) xy cab ab 4x a x y o l a b f p 第 17 题图 a x y c o b - 3 - 上顶点为，右焦点为，斜率为 2 的直线 经过点，且点到直线 的距离为bflafl 2 5 5 （1）求椭圆的标准方程；c （2）将直线 绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，lacp 当，三点共线时，试确定直线 的斜率bfpl 解：（1）直线 的方程为，即， l2()yxa220xya 右焦点到直线 的距离为， fl 222 5 55 ca 1ac 又椭圆右准线为，即，所以，c4x 2 4 a c 2 4 a c 将此代入上式解得，椭圆的方程为；6 分2a 1c 2 3bc 22 1 43 xy （2）由（1）知，直线的方程为， 8 分(0, 3)b(1,0)fbf3(1)yx 联立方程组解得或（舍） ，即，12 分 22 3(1), 1, 43 yx xy 8 , 5 3 3 5 x y 0, 3 x y 83 3 ( ,) 55 p 直线 的斜率 14 分l 3 3 0() 3 3 5 8 2 2 5 k 方法二：由（1）知，直线的方程为由题，显然直线(0, 3)b(1,0)fbf3(1)yx (2,0)a 的斜率存在，设直线 的方程为，联立方程组解得代入椭ll(2)yk x 3(1), (2), yx yk x 23 , 3 3 , 3 k x k k y k 圆方程解得或又由题意知，得或，所以 3 3 2 k 3 2 k 3 0 3 k y k 0k 3k 3 3 2 k 方法三：由题，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为，联立方程组(2,0)all(2)yk x 得， 22 (2), 1, 43 yk x xy 2222 431616120kxk xk 2 2 16 43 ap k xx k 所以，当，三点共线时，有， 22 22 1686 2 4343 p kk x kk 2 12 43 p k y k bfp bpbf kk - 4 - 即，解得或又由题意知，得或 2 2 2 12 3 3 43 861 43 k k k k 3 3 2 k 3 2 k 3 0 3 k y k 0k ，所以3k 3 3 2 k （苏锡常镇一）在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 c：的离心率为，且过点 22 22 1 xy ab (0)ab 2 2 ，过椭圆的左顶点 a 作直线轴，点 m 为直线 上的动点，点 b 为椭圆右顶点，直线 bm 6 (1,) 2 lxl 交椭圆 c 于 p （1）求椭圆 c 的方程； （2）求证：；apom （3）试问是否为定值？若是定值，op om 请求出该定值；若不是定值，请说明理由 解：（1）椭圆 c：的离心率为， 22 22 1 xy ab (0)ab 2 2 ，则，又椭圆 c 过点，2 分 22 2ac 22 2ab 6 (1,) 2 22 13 1 2ab ， 2 4a 2 2b 则椭圆 c 的方程 4 分 22 1 42 xy （2）设直线 bm 的斜率为 k，则直线 bm 的方程为，设，(2)yk x 11 ( ,)p x y 将代入椭圆 c 的方程中并化简得：(2)yk x 22 1 42 xy ，6 分 2222 (21)4840kxk xk 解之得， 2 1 2 42 21 k x k 2 2x ，从而分 11 2 4 (2) 21 k yk x k 2 22 424 (,) 21 21 kk p kk 令，得， 9 分2x 4yk ( 2, 4 )mk( 2, 4 )omk 又， 11 分 2 22 424 (2,) 2121 kk ap kk 2 22 84 (,) 21 21 kk kk ， 22 22 1616 0 2121 kk ap om kk 13 分apom （3） = 2 22 424 (,) ( 2, 4 ) 21 21 kk op omk kk 222 22 841684 4 2121 kkk kk - 5 - 为定值 4 16 分op om 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，设直线， 22 :1 42 xy c+=a: l ykxm=+pqap 的斜率分别为，.aq 1 k 2 k （1）若时，求的值；0m = 12 kk （2）若，证明直线过定点. 12 1kk : l ykxm=+ x y p q l a o - 6 - （南通调研二）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦xoy 2 2 22 1 ( 0 ) y x ab ab a 点为 .为椭圆上一点，且.(0)f c， 00 ( )p xy，papf （1）若，求的值；3a 5b 0 x （2）若，求椭圆的离心率； 0 0x （3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的ffp 右准线相切. 2 a x c 解：（1）因为，所以，即， 3a 5b 222 4cab2c 由得，即, 3 分papf 00 00 1 32 yy xx 22 000 6yxx 又， 22 00 1 95 xy 所以，解得或(舍去) 5 分 2 00 4990xx 0 3 4 x 0 3x （2）当时,， 0 0x 22 0 yb 由得，即，故， 8 分papf 00 1 yy ac 2 bac 22 acac 所以，解得（负值已舍） 10 分 2 10ee 51 2 e x y o p a f （第 18 题） - 7 - （3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且， 2 a x c 2 a c c 22 00 22 1 xy ab 由得，,即, papf 00 00 1 yy xa xc 22 000 ()yxca xca 由得， 2 00 2 ()0 a bac xax c 解得或(舍去). 13 分 22 0 2 a aacc x c 0 xa 所以 2 2 00 pfxcy 2 2 000 ()xcxca xca 0 c ax a ， 22 2 a aacc c a a c 2 a c c 所以以为圆心，为半径的圆与右准线相切. 16 分ffp 2 a x c （注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线的距离为，得 1 分；直接使用焦半 2 a x c 2 a c c 径公式扣 1 分 ） 第第 5252 课课双曲线双曲线 已知双曲线的离心率为，则实数 a 的值为 8 22 41axy3 已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为 yx，则该双曲线的离心率为 2 x2 a2 y2 b23 双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率 22 22 1 (0, 0) xy ab ab e 答案：； 5 3 提示提示：双曲线唯一唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于；则有：b 222 () 22 acac bac 22 5 3250(35 )()0 3 c cacaca cae a 平时强调的重点内容啊！ 双曲线的离心率为 2 2 1 2 y x 3 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 .x 1 3 yx 10 3 （南京盐城模拟一）若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 . 222( 0)xyaa 2 4yxa 答案： 2 2 - 8 - （苏北三市调研三）已知双曲线的离心率为 2，它的一个焦点是抛物线的焦点，则双曲线的c 2 8xyc 标准方程为 . 2 2 1 3 x y （扬州期末）已知双曲线：，的一条渐近线与直线 l：0 垂直，且c 22 22 1(0 xy a ab 0)b 3xy 的一个焦点到 l 的距离为 2，则的标准方程为. cc 22 1 412 xy （淮安宿迁摸底）在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是， 且经过点，则xoy2yx ( 2,2) 该双曲线的方程是 2 2 1 4 y x (泰州二模)已知双曲线的渐近线方程为，则 22 1 4 xy m 2 2 yx m 2 （南京三模）在平面直角坐标系 xoy 中，过双曲线 c：x21 的右焦点 f 作 x 轴的垂线 l，则 l 与双 y2 3 曲线 c 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 4 3 （苏锡常镇二模）已知双曲线的离心率等于 2，它的焦点到渐近线的距离等于 1， 22 22 1( ,0) xy a b ab 则该双曲线的方程为 3x2-y2=1 （金海南三校联考）在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线 c：的离心率为， 22 22 1(0,0) xy ab ab 10 则双曲线 c 的渐近线方程为 .y3x （镇江期末）若双曲线，的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该 22 22 1(0 xy a ab 0)b 4 1 双曲线的渐近线方程是 . 3 3 yx 第第 5353 课课抛物线抛物线 （南通调研一）在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且经过抛物线焦点的双xoy2yx 2 4yx 曲线的方程是 .x2=1 y2 4 （苏州期末）以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为 2 的双曲线标准方程为 . 2 4yx 2 2 1 3 y x （南京盐城二模）在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 c：的焦点为 f，定点，若 2 4xy)0 ,22(a 射线 fa 与抛物线 c 相交于点 m，与抛物线 c 的准线相交于点 n，则 fm：mn= 。 1 3 （南通调研三）（南通调研三）在平面直角坐标系 xoy 中，点 f 为抛物线 x28y 的焦点，则 f 到双曲线的渐 2 2 1 9 y x - 9 - 近线的距离为 【答案答案】 10 5 （盐城三模）若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为 2 8yxf 22 1 3 xy n n .1 （南师附中四校联考）以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为 .1 124 22 yx xy4 2 第第 5454 课课直线与圆锥曲线（）直线与圆锥曲线（） （位置关系、弦长）（位置关系、弦长） 给定椭圆 c：1(ab0)，称圆 c1：x2y2a2b2为椭圆 c 的“伴随圆” 已知椭圆 c 的 x2 a2 y2 b2 离心率为，且经过点(0，1) （1）求实数 a，b 的值； （2）若过点 p(0，m)(m0)的直线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 c 的伴随圆 c1所截 得的弦长为 2，求实数 m 的值 2 解：解：（1）记椭圆 c 的半焦距为 c 由题意，得 b1， ，c2a2b2， c a 解得 a2，b1 4 分 （2）由（1）知，椭圆 c 的方程为y21，圆 c1的方程为 x2y25 x2 4 显然直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 ykxm，即 kxym0 6 分 因为直线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点， 故方程组 （*） 有且只有一组解 由（*）得(14k2)x28kmx4m240 从而(8km)24(14k2)( 4m24)0 化简，得 m214k2 10 分 因为直线 l 被圆 x2y25 所截得的弦长为 2， 2 所以圆心到直线 l 的距离 d 523 即 14 分 3 由，解得 k22，m29 - 10 - 因为 m0，所以 m3 16 分 （南通调研一）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右xoy 1 f 2 f 22 22 1(0) xy ab ab 焦点，顶点的坐标为，且是边长为 2 的b0,b 12 bf f 等边三角 形 （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线 与椭圆相交于，两点，记 2 flac， 2 abf 的面积分别为，若，求直线 的 2 bcf 1 s 2 s 12 2ssl 斜率ox y b a c f1f2 - 11 - （南师附中四校联考）在平面直角坐标系 xoy中，椭圆 c ：的离心率为，右)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 1 焦点 f（1,0） ，点 p 在椭圆 c 上，且在第一象限内，直线 pq 与圆 o：相切于点 m. 222 byx （1）求椭圆 c 的方程； （2）求 pmpf 的取值范围； （3）若 opoq，求点 q 的纵坐标 t 的值. （1）2 分 1 2 1 c a c c=1，a=2，椭圆方程为4 分3b1 34 22 yx （2）设，则),( 00 yxp)20( 1 34 0 2 0 2 0 x yx o p m q f x y - 12 - pm=，6 分 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 3 4 3 33xxxyx pf=8 分 0 2 1 2x pmpf=，1)2( 4 1 )4( 4 1 2 000 xxx ，|pm|pf|的取值范围是（0,1）.10 分20 0 x （3）法一：当 pmx 轴时，p，q或，) 2 3 , 3(), 3(t), 3(t 由解得12 分0oqop32t 当 pm 不垂直于 x 轴时，设，pq 方程为，即),( 00 yxp)( 00 xxkyy0 00 ykxykx pq 与圆 o 相切，3 1 | 2 00 k ykx 33)( 22 00 kykx 13 分 00 2ykx33 2 2 0 2 0 2 kyxk 又，所以由得14 分),( 00 t k kxyt q 0oqop 00 000 )( kyx kxyx t 2 00 2 00 2 02 )( )( kyx kxyx t 00 2 0 2 2 0 2 00 2 0 2 )( ykxykx ykxx 33 )33( 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 kyxkykx kx =12，16 分 33) 4 3 3)(1 ()1 ( )33( 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 kxkxk kx 32t 法二：设，则直线 oq：，),( 00 yxpx y x y 0 0 ),( 0 0 tt x y q opoq，opoq=ompq 12 分 2 0 2 0 0 0 22 2 0 2 0 2 0 2 0 )()(3tyt x y xtt x y yx )(33)( 2 2 0 2 0 2 0 2 02 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 tx x yx tyt x y xyx x t yx ，14 分)(3)( 2 2 0 2 2 0 2 0 txtyx 3 3 2 0 2 0 2 02 yx x t - 13 - ，16 分1 34 2 0 2 0 yx 4 3 3 2 0 2 0 x y 12 4 1 3 2 0 2 02 x x t 32t （前黄姜堰四校联考）已知曲线：，曲线：.曲线的左顶 1 c 22 1 44 xy 2 c 22 2 1(01) 44 xy 2 c 点恰为曲线的左焦点. 1 c (1) 求的值； (2) 若曲线上一点的坐标为，过点作直线交曲线于两点. 直线交曲线 2 cp 2 (1,) 2 p 1 c,a cop 1 c 于两点. 若为中点，,b dpac 求直线的方程；ac 求四边形的面积.abcd 解：（1）由 可得. 3 分444 1 2 （2）(方法一)由（1）可得曲线. 22 1: 1 42 xy c 由条件可知的斜率必存在，可设直线方程为： ,.acac 2 (1) 2 yk x 1122 ( ,),(,)a x yc xy 联立方程， 22 2 (1) 2 1 42 yk x xy 可得 （*）6 分 222 (21)(2 24 )22 230kxk kxkk 12 2 (42 2) 21 kk xx k 是的中点，. 2 (1,) 2 pac 12 2xx ,解得. 2 (42 2) =2 21 kk k 2 2 k d x y b o c p a （第 17 题） - 14 - 直线方程为：. 8 分ac220xy (方法二) 设,由的中点为,可得. 1122 ( ,),(,)a x yc xyac 2 (1,) 2 p 1212 2,2xxyy 由，两式相减可得，6 分 22 11 22 22 1 42 1 42 xy xy 1212 1212 1 2 yyyy xxxx , 21 22 ac k a 2 2 ac k 直线方程为：. 8 分ac220xy 的斜率为，直线的方程为：. op 2 2 ob 2 2 yx 联立方程，可得或. 22 2 2 1 42 yx xy 2 1 x y 2 1 x y . 11 分( 2,1),(2, 1)bd 分别到直线的距离为bd 、ac 12 2 222 22 , 33 dd 由（*）可得，或 2 20xx0x2x , 13 分(2 0),(02)ac、|6ac 四边形的面积 15 分abcd 12 114 2 | ()=6=4 223 sacdda （金海南三校联考）（金海南三校联考）在平面直角坐标系 xoy 中，设椭圆 c：的左焦点为 f，左准 22 22 1(0) xy ab ab 线为 l，p 为椭圆上任意一点，直线 oqfp，垂足为 q，直线 oq 与 l 交于点 a. (1)若 b=1，且 bc，直线 l 的方程为 x=求椭 5 2 圆 c 的方程；是否存在点 p，使得？若 1 10 fp fq 存在， 求出点 p 的坐标；若不存在，说明理由； (2)设直线 fp 圆 o：x2y2=a2交于 m、n 两点，求证：直线 am，an 均与圆 o 相切. x of p a n ml y - 15 - 解：解：（1） （i）由题意，b1， ，又 a2b2c2， a2 c 5 2 所以 2c25c20，解得 c2，或 c (舍去) 1 2 故 a25 所求椭圆的方程为y213 分 x2 5 （ii）设 p(m，n)，则n21，即 n21 m2 5 m2 5 当 m2，或 n0 时，均不符合题意； 当 m2，n0 时，直线 fp 的斜率为， n m2 直线 fp 的方程为 y (x2) n m2 故直线 ao 的方程为 yx， m2 n q 点的纵坐标 yq5 分 2n(m2) (m2)2n2 所以| fp fq n yp (m2)2n2 2(m2) 4m220m25 10(m2) 令，得 4m221m270 ，或 4m219m230 7 分 fp fq 1 10 由 4m221m270，解得 m3，m ，又m，所以方程无解 9 455 由于19244230，所以方程无解， 故不存在点 p 使10 分 fp fq 1 10 （3）设 m(x0，y0)，a(，t)，则(x0c，y0)，(，t) a2 c fm oa a2 c 因为 oafm，所以0，即(x0c)()ty00， fm oa a2 c 由题意 y00，所以 t x0c y0 a2 c 所以 a(，)12 分 a2 c x0c y0 a2 c x y o f l p q m n - 16 - 因为(x0，y0)，(x0，y0)， am a2 c x0c y0 a2 c om 所以(x0)x0(y0)y0 am om a2 c x0c y0 a2 c x02y02x0y0 a2 c x0c y0 a2 c x02y02x0x0a2 a2 c a2 c x02y02a2 因为 m(x0，y0)在圆 o 上，所以0 15 分 am om 即 amom，所以直线 am 与圆 o 相切 同理可证直线 an 与圆 o 相切16 分 第第 5555 课课直线与圆锥曲线（）直线与圆锥曲线（） （定值、存在性问题）（定值、存在性问题） （前黄姜堰四校联考）已知椭圆，点为其长轴的等分点，分别过这 2 2 :1 2 x cy 125 ,m mmab6 五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则 10 条直线的斜率k(0)k c 1210 ,p pp 1210 ,ap apap 乘积为 . 1 32 如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原xoy 2 2 :c 22 22 1(0) xy ab ab a 点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两ocpqpaqaymn 点若直线斜率为时，pq 2 2 2 3pq （1）求椭圆的标准方程；c （2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论mnpq n m q a o p x y - 17 - 18.解：（1）设直线斜率为时， 00 2 (,) 2 p xxpq 2 2 2 3pq ， 3 分 22 00 2 ()3 2 xx 2 0 2x 22 21 1 ab ， 22 2 2 cab e aa 2 4a 2 2b 椭圆的标准方程为 6 分c 22 1 42 xy （2）以为直径的圆过定点mn(2,0)f 设，则，且，即 00 (,)p xy 00 (,)qxy 22 00 1 42 xy 22 00 24xy ，直线方程为，( 2,0)a pa 0 0 (2) 2 y yx x 0 0 2 (0,) 2 y m x 直线方程为， 9 分qa 0 0 (2) 2 y yx x 0 0 2 (0,) 2 y n x 以为直径的圆为，mn 00 00 22 (0)(0)()()0 22 yy xxyy xx 即 12 分 2 22 000 22 00 44 0 44 x yy xyy xx ， 22 00 42xy 22 0 0 2 20 x xyy y 令，解得，0y 22 20xy2x 以为直径的圆过定点 16 分mn(2,0)f （苏州期末）如图，已知椭圆，点 b 是其下顶点，过点 b 的直线交椭圆 c 于另一点 22 :1 124 xy c a（a 点在轴下方） ，且线段 ab 的中点 e 在直线上xyx （1）求直线 ab 的方程； （2）若点 p 为椭圆 c 上异于 a，b 的动点，且直线 ap，bp 分别交直线于点 m，n，证明：yx om on 为定值a 解：（1）设点 e（m，m） ，由 b（0，2）得 a（2m，2m+2） p n m b o a x y e - 18 - 代入椭圆方程得 22 4(22) 1 124 mm ，即 2 2 (1)1 3 m m ， 解得 3 2 m 或 0m （舍） 3 分 所以 a（ 3 ， 1 ） ，故直线 ab 的方程为 360xy 6 分 （2）设 00 (,)p xy ，则 22 00 1 124 xy ，即 2 20 0 4 3 x y 设 (,) mm m xy ，由 a，p，m 三点共线，即 apam uu u ruuur p ， 00 (3)(1)(1)(3) mm xyyx ， 又点 m 在直线上，解得 m 点的横坐标 00 00 3 2 m yx x xy ， 9 分 yx 设 (,) nn n xy ，由 b，p，n 三点共线，即 bpbn uuruuu r p ， 00 (2)(2) nn xyyx ， 点 n 在直线上，解得 n 点的横坐标 0 00 2 2 n x x xy 12 分 yx 所以 omon= 2 |0|2 |0| mn xx = 2| | mn xx =2 00 00 3 | 2 yx xy 0 00 2 | 2 x xy 16 分 222 000000000 222 20000 00000 26263 2|2|2| 6 ()4 2 33 xx yxx yxx y xxxy xx yx y （淮安宿迁摸底）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的xoyc 22 1 2412 xy 00 (,)r xyc 任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.or 22 00 8xxyypq （1）若直线，互相垂直，求圆的方程；opoqr （2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；opoq 1 k 2 k 12 210k k （3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 22 opoq x o y p q a r - 19 - （1）由圆的方程知，圆的半径的半径，rr2 2r 因为直线，互相垂直，且和圆相切，opoqr 所以，即，1 分24orr 22 00 16xy 又点在椭圆上，所以，2 分rc 22 00 1 2412 xy 联立，解得 3 分 0 0 2 2, 2 2. x y 所以所求圆的方程为 4 分r 22 2 22 28xy （2）因为直线：，：，与圆相切，op 1 yk xoq 2 yk xr 所以,化简得6 分 100 2 1 | 2 2 1 k xy k 222 0100 10 (8)280xkx y ky 同理，7 分 222 020020 (8)280xkx y ky 所以是方程的两个不相等的实数根， 12 ,k k 222 0000 (8)280xkx y ky 8 分 222 0 12 2 0 844 228 ybbacbbacc kk aaax 因为点在椭圆 c 上，所以，即， 00 (,)r xy 22 00 1 2412 xy 22 00 1 12 2 yx 所以，即 10 分 2 0 12 2 0 1 4 1 2 82 x k k x 12 210k k （3）是定值，定值为 36，11 分 22 opoq 理由如下： 法一：是定值，定值为 36，11 分当直线 22 opoq 不落在坐标轴上时,设,op oq 1122 ( ,),(,)p x yq xy 联立解得12 分 1 22 , 1, 2412 yk x xy 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 24 , 12 24 . 12 x k k y k (第 19 题) - 20 - 所以， 2 22 1 11 2 1 24(1) 12 k xy k 同理，得，由， 2 22 2 22 2 2 24(1) 12 k xy k 12 1 2 k k 所以13 分 222222 1122 opoqxyxy 22 12 22 12 24(1)24(1) 1212 kk kk 2 2 11 2 2 1 1 1 24(1 () ) 24(1)2 1 12 12() 2 kk k k 2 1 2 1 3672 12 k k 15 分36 (ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，,op oq 22 36opoq 综上： 16 分 22 36opoq 法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,op oq 1122 ( ,),(,)p x yq xy 因为，所以,即， 12 210k k 12 12 2 10 y y x x 2222 1212 1 4 y yx x 因为在椭圆 c 上，所以， 即， 1122 ( ,),(,)p x yq xy 22 11 22 22 1 2412 1 2412 xy xy 22 11 22 22 1 12 2 1 12 2 yx yx 所以， 2222 1212 111 (12)(12) 224 xxx x 整理得，所以， 22 12 24xx 2222 1212 11 121212 22 yyxx 所以 14 分 22 36opoq (ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，,op oq 22 36opoq 综上： 16 分 22 36opoq （南京盐城二模）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 e：1(ab0) 的离心率为， x2 a2 y2 b2 直线 l：y x 与椭圆 e 相交于 a，b 两点，ab2c，d 是椭圆 e 上异于 a，b 的任意两点，且直线 1 25 ac，bd 相交于点 m，直线 ad，bc 相交于点 n x y a o b c d m n (第 18 题图) - 21 - （1）求 a，b 的值； （2）求证：直线 mn 的斜率为定值 解解：（1）因为 e ，所以 c2 a2，即 a2b2 a2，所以 a22b2 2 分 c a 2 2 1 2 1 2 故椭圆方程为1 x2 2b2 y2 b2 由题意，不妨设点 a 在第一象限，点 b 在第三象限 由解得 a(b，b) y 1 2 x， x2 2b2 y2 b2 1，) 2 3 3 3 3 又 ab2，所以 oa，即 b2 b25，解得 b23 55 4 3 1 3 故 a，b 5 分 6 3 （2）方法一方法一：由（1）知，椭圆 e 的方程为 1，从而 a(2，1)，b(2，1) x2 6 y2 3 当 ca，cb，da，db 斜率都存在时，设直线 ca，da 的斜率分别为 k1，k2，c(x0，y0)，显然 k1k2 从而 k1 kcb y01 x02 y01 x02 y021 x024 3(1sdo1(f(x02,6)1 x024 2 x02 2 x024 1 2 所以 kcb 8 分 1 2k1 同理 kdb 1 2k2 于是直线 ad 的方程为 y1k2(x2)，直线 bc 的方程为 y1(x2) 1 2k1 由解得 y1 1 2k1 (x2)， y1k2(x2)， ) - 22 - 从而点 n 的坐标为(，) 4k1k24k12 2k1k21 2k1k24k21 2k1k21 用 k2代 k1，k1代 k2得点 m 的坐标为(，) 4k1k24k22 2k1k21 2k1k24k11 2k1k21 11 分 所以 kmn 1 4(k1k2) 4(k2k1) 即直线 mn 的斜率为定值1 14 分 当 ca，cb，da，db 中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线 ca 的斜率不存在，从而 c(2，1) 仍然设 da 的斜率为 k2，由知 kdb 1 2k2 此时 ca：x2，db：y1(x2)，它们交点 m(2，1) 1 2k2 2 k2 bc：y1，ad：y1k2(x2)，它们交点 n(2，1)， 2 k2 从而 kmn1 也成立 由可知，直线 mn 的斜率为定值1 16 分 方法二方法二：由（1）知，椭圆 e 的方程为 1，从而 a(2，1)，b(2，1) x2 6 y2 3 当 ca，cb，da，db 斜率都存在时，设直线 ca，da 的斜率分别为 k1，k2 显然 k1k2 直线 ac 的方程 y1k1(x2)，即 yk1x(12k1) 由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0 yk1x(12k1)， x2 6 y2 3 1 ) 设点 c 的坐标为(x1，y1)，则 2x1，从而 x1 2(4k124k12) 12k12 4k124k12 2k121 所以 c(，) 4k124k12 2k121 2k124k11 2k121 又 b(2，1)， - 23 - 所以 kbc 8 分 2k124k11 2k121 1 4k124k12 2k121 2 1 2k1 所以直线 bc 的方程为 y1(x2) 1 2k1 又直线 ad 的方程为 y1k2(x2) 由解得 y1 1 2k1 (x2)， y1k2(x2)， ) 从而点 n 的坐标为(，) 4k1k24k12 2k1k21 2k1k24k21 2k1k21 用 k2代 k1，k1代 k2得点 m 的坐标为(，) 4k1k24k22 2k1k21 2k1k24k11 2k1k21 11 分 所以 kmn 1 4(k1k2) 4(k2k1) 即直线 mn 的斜率为定值1 14 分 当 ca，cb，da，db 中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线 ca 的斜率不存在，从而 c(2，1) 仍然设 da 的斜率为 k2，则由知 kdb 1 2k2 此时 ca：x2，db：y1(x2)，它们交点 m(2，1) 1 2k2 2 k2 bc：y1，ad：y1k2(x2)，它们交点 n(2，1)， 2 k2 从而 kmn1 也成立 由可知，直线 mn 的斜率为定值1 16 分 （南京三模）在平面直角坐标系 xoy 中，设中心在坐标原点的椭圆 c 的左、右焦点分别为 f1、f2， 右准线 l：xm1 与 x 轴的交点为 b，bf2m （1）已知点(，1)在椭圆 c 上，求实数 m 的值； （2）已知定点 a(2，0) - 24 - 若椭圆 c 上存在点 t，使得，求椭圆 c 的离心率的取值范围； ta tf12 当 m1 时，记 m 为椭圆 c 上的动点，直线 am，bm 分别与椭圆 c 交于另一点 p，q， 若 ，求证：为定值 am ap bm bq 解：解：（