苏州市2015-2016年中考数学试卷含答案(几何动点型题复习).doc

蔡老师数学苏州市20152016学年初三中考数学动点型题复习知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题归纳 1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质【例1】已知：如图，在rtabc中，c=90，ab=5cm，ac=3cm，动点p从点b出发沿射线bc以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒（1）求bc边的长；（2）当abp为直角三角形时，求t的值；（3）当abp为等腰三角形时，求t的值归纳 2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容注意问题归纳：在计算的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合【例2】如图，在rtabc中，acb=90，ac=6，bc=8，ad是bac的平分线若p，q分别是ad和ac上的动点，则pc+pq的最小值是（ ）a b c d（例2图）练习：（2013日照）问题背景：如图（a），点a、b在直线l的同侧，要在直线l上找一点c，使ac与bc的距离之和最小，我们可以作出点b关于l的对称点b，连接ab与直线l交于点c，则点c即为所求（1）实践运用：如图（b），已知，o的直径cd为4，点a在o上，acd=30，b为弧ad的中点，p为直径cd上一动点，则bp+ap的最小值为 （2）知识拓展：如图（c），在rtabc中，ab=10，bac=45，bac的平分线交bc于点d，e、f分别是线段ad和ab上的动点，求be+ef的最小值，并写出解答过程归纳 3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合基本方法归纳：一次函数图象是一条直线，反比例函数图象是双曲线，二次函数图象是抛物线注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势【例3】如图，在矩形abcd中，ab=2，点e在边ad上，abe=45，be=de，连接bd，点p在线段de上，过点p作pqbd交be于点q，连接qd设pd=x，pqd的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）归纳4：函数中的动点问题基础知识归纳：函数中的动点问题的背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。基本方法归纳：一是利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题；二是利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。注意问题归纳：化动为静，画出符合条件的图形。【例4】（2015年江苏盐城12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，将抛物线的对称轴绕着点p（，2）顺时针旋转45后与该抛物线交于a、b两点，点q是该抛物线上的一点.（1）求直线ab的函数表达式；（2）如图，若点q在直线ab的下方，求点q到直线ab的距离的最大值；（3）如图，若点q在y轴左侧，且点t（0，t）（t2）是直线po上一点，当以p、b、q为顶点的三角形与pat相似时，求所有满足条件的t的值.巩固练习：1. （2015年江苏扬州3分）如图，已知rtabc中，abc=90，ac=6，bc=4，将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，若点f是de的中点，连接af，则af= 2. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点p的坐标为（0，4），直线与x轴、y轴分别交于点a，b，点m是直线ab上的一个动点，则pm长的最小值为 （第1题）（第2题）3. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形abcd与边长为的正方形aefg按图1位置放置，ad与ae在同一直线上，ab与ag在同一直线上（1）小明发现dgbe，请你帮他说明理由（2）如图2，小明将正方形abcd绕点a逆时针旋转，当点b恰好落在线段dg上时，请你帮他求出此时be的长（3）如图3，小明将正方形abcd绕点a继续逆时针旋转，将线段dg与线段be相交，交点为h，写出ghe与bhd面积之和的最大值，并简要说明理由4. 如图，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒（1）求正方形的边长 （2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求两点的运动速度 （3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点坐标图图（4）若点保持（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小当点沿着这两边运动时，使的点有个 中午作业：1（2014年甘肃天水）如图，扇形oab动点p从点a出发，沿线段bo、oa匀速运动到点a，则op的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（ ）abcd2（2014年贵州安顺）如图，mn是半径为1的o的直径，点a在o上，amn=30，点b为劣弧an的中点点p是直径mn上一动点，则pa+pb的最小值为（ ）a b c d（第2题）（第4题）（第5题）3如图，矩形abcd中，ab=3，bc=4，动点p从a点出发，按abc的方向在ab和bc上移动，记pa=x，点d到直线pa的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）a. b c d4（2014年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的o相切于点a，p是o上的一个动点（不与点a重合），过点p作pbl，垂足为b，连接pa设pax，pby，则（xy）的最大值是 5（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形abcd中，e是ab边上的一点，且ae=3，点q为对角线ac上的动点，则beq周长的最小值为_6（2014年浙江嘉兴中考）如图，点c在以ab为直径的半圆上，ab=8，cba=30，点d在线段ab上运动，点e与点d关于ac对称，dfde于点d，并交ec的延长线于点f下列结论：ce=cf；线段ef的最小值为；当ad=2时，ef与半圆相切；若点f恰好落在bc上，则ad=；当点d从点a运动到点b时，线段ef扫过的面积是其中正确结论的序号是 （第6题）7.（2015柳州）如图，在四边形abcd中，adbc，b=90，ab=8cm，ad=12cm，bc=18cm，点p从点a出发以2cm/s的速度沿adc运动，点p从点a出发的同时点q从点c出发，以1cm/s速度向点b运动，当点p到达点c时，点q也停止运动设点p，q运动时间为t秒（1）从运动开始，当t取何值时，pqcd？（2）从运动开始，当t取何值时，pqc为直角三角形？8. （2015年江苏苏州10分）如图，在矩形abcd中，ad=acm，ab=bcm（ab4），半径为2cm的o在矩形内且与ab、ad均相切现有动点p从a点出发，在矩形边上沿着abcd的方向匀速移动，当点p到达d点时停止移动；o在矩形内部沿ad向右匀速平移，移动到与cd相切时立即沿原路按原速返回，当o回到出发时的位置（即再次与ab相切）时停止移动已知点p与o同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）（1）如图，点p从abcd，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图，已知点p从a点出发，移动2s到达b点，继续移动3s，到达bc的中点若点p与o的移动速度相等，求在这5s时间内圆心o移动的距离；（3）如图，已知a=20，b=10是否存在如下情形：当o到达o1的位置时（此时圆心o1在矩形对角线bd上），dp与o1恰好相切？请说明理由回家作业：1.（2015盐城）如图，在边长为2的正方形abcd中剪去一个边长为1的小正方形cefg，动点p从点a出发，沿adefgb的路线绕多边形的边匀速运动到点b时停止（不含点a和点b），则abp的面积s随着时间t变化的函数图象大致是（）a b cd2.（2015乐山）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于a、b两点，p是以c（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结pa、pb则pab面积的最大值是（）a8 b12 c d（第2题）（第3题）3.（2015咸宁）如图，已知正方形abcd的边长为2，e是边bc上的动点，bfae交cd于点f，垂足为g，连结cg下列说法：agge；ae=bf；点g运动的路径长为；cg的最小值为其中正确的说法是 （把你认为正确的说法的序号都填上）4.（2015年江苏徐州8分）如图，在矩形oabc中，oa=3，oc=5,分别以oa、oc所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，d是边cb上的一个动点（不与c、b重合），反比例函数的图像经过点d且与边ba交于点e，连接de.（1）连接oe，若eoa的面积为2，则k= ；（2）连接ca、de与ca是否平行？请说明理由；（3）是否存在点d，使得点b关于de的对称点在oc上？若存在，求出点d的坐标；若不存在，请说明理由.5. （2015年江苏宿迁8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点a（8，1），b（0，3），反比例函数的图象经过点a，动直线x=t（0t8）与反比例函数的图象交于点m，与直线ab交于点n（1）求k的值；（2）求bmn面积的最大值；（3）若maab，求t的值6. （2015年江苏常州10分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点a、b，过点a作x轴的垂线l，点p为直线l上的动点，点q为直线ab与oap外接圆的交点，点p、q与点a都不重合（1）写出点a的坐标；（2）当点p在直线l上运动时，是否存在点p使得oqb与apq全等？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由（3）若点m在直线l上，且pom=90，记oap外接圆和oam外接圆的面积分别是s1、s2，求的值参考答案例1. 解：（1）在rtabc中，bc2=ab2ac2=5232=16，bc=4（cm）；（2）由题意知bp=tcm，当apb为直角时，点p与点c重合，bp=bc=4cm，即t=4；当bap为直角时，bp=tcm，cp=（t4）cm，ac=3cm，在rtacp中，ap2=32+（t4）2，在rtbap中，ab2+ap2=bp2，即：52+32+（t4）2=t2，解得：t=，故当abp为直角三角形时，t=4或t=；（3）当ab=bp时，t=5；当ab=ap时，bp=2bc=8cm，t=8；当bp=ap时，ap=bp=tcm，cp=|t4|cm，ac=3cm，在rtacp中，ap2=ac2+cp2，所以t2=32+（t4）2，解得：t=，综上所述：当abp为等腰三角形时，t=5或t=8或t=【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解例2. 【答案】c【解析】解：如图，过点c作cmab交ab于点m，交ad于点p，过点p作pqac于点q，ad是bac的平分线pq=pm，这时pc+pq有最小值，即cm的长度，ac=6，bc=8，acb=90，ab=，sabc=abcm=acbc，cm=考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2角平分线的性质；3勾股定理；4直角三角形的面积练习：解：（1）作点b关于cd的对称点e，连接ae交cd于点p，此时pa+pb最小，且等于ae作直径ac，连接ce根据垂径定理得=acd=30，aod=60，doe=30，aoe=90，cae=45，又ac为圆的直径，aec=90，c=cae=45，ce=ae=ac=2，即ap+bp的最小值是2故答案为：2；（2）如图，在斜边ac上截取ab=ab，连结bbad平分bac，bam=bam，在bam和bam中，bambam（sas），bm=bm，bma=bma=90，点b与点b关于直线ad对称过点b作bfab，垂足为f，交ad于e，连结be，则线段bf的长即为所求（点到直线的距离最短）在rtafb中，bac=45，ab=ab=10，bf=absin45=absin45=10=5，be+ef的最小值为例3. 【答案】c【解析】abe=45，a=90，abe是等腰直角三角形，ae=ab=2，be=ab=2，be=de，pd=x，pe=depd=2x，pqbd，be=de，qe=pe=2x，又abe是等腰直角三角形（已证），点q到ad的距离=（2x）=2x,pqd的面积y=x（2x）=（x22x+2）=（x）2+,即y=（x）2+，纵观各选项，只有c选项符合考点：动点问题的函数图象例4. 解：（1）如答图1，设直线ab与轴的交点为m，p（，2），.设直线ab的解析式为，则，解得.直线ab的解析式为.（2）如答图2，过点q作轴的垂线qc，交ab于点c，再过点q作直线ab的垂线，垂足为点d，根据条件可知，是等腰直角三角形.设，则，.当时，点q到直线ab的距离的最大值为.（3），中必有一角等于45.由图可知，不合题意.若，如答图3，过点b作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，此时，.根据抛物线的轴对称性质，知，是等腰直角三角形.与相似，且，也是等腰直角三角形.i）若，联立，解得或. .，此时，.ii）若，此时，.若，是情况之一，答案同上.如答图4，5，过点b作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，以点为圆心，为半径画圆，则都在上，设与y轴左侧的抛物线交于另一点.根据圆周角定理，点也符合要求.设，由得解得或，而，故.可证是等边三角形，.则在中，.i）若，如答图4，过点作轴于点，则，.，此时，.ii）若，如答图5，过点作轴于点，设，则.，.，此时，.综上所述，所有满足条件的t的值为或或或.巩固练习：1. 如答图，连接，过点作于点，在rtabc中，abc=90，点f是de的中点，.是等腰三角形.将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，bc=4，ac=6，.，.又分别是的中点，是dec的中位线.在rtagf中，由勾股定理，得af=5.2. 根据垂线段最短得出pmab时线段pm最短，分别求出pb、ob、oa、ab的长度，利用pbmabo，即可求出答案如答图，过点p作pmab，则：pmb=90，当pmab时，pm最短，直线与x轴、y轴分别交于点a，b，点a的坐标为（4，0），点b的坐标为（0，3）.在rtaob中，ao=4，bo=3，根据勾股定理，得ab=5.bmp=aob=90，abo=pbm， pbmabo. ，即：，解得.3. 解：（1）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dag=bae=90，ag=ae，adgabe（sas）.agd=aeb.如答图1，延长eb交dg于点h，在adg中，agd+adg=90，aeb+adg=90.在edh中，aeb+adg+dhe=180，dhe=90. dgbe.（2）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dab=gae=90，ag=ae，dab+bag=gae+bag，即dag=bae，adgabe（sas）.dg=be.如答图2，过点a作amdg交dg于点m，则amd=amg=90，bd为正方形abcd的对角线，mda=45.在rtamd中，mda=45，ad=2，.在rtamg中，根据勾股定理得：，.（3）ghe和bhd面积之和的最大值为6，理由如下：对于egh，点h在以eg为直径的圆上，当点h与点a重合时，egh的高最大；对于bdh，点h在以bd为直径的圆上，当点h与点a重合时，bdh的高最大.ghe和bhd面积之和的最大值为2+4=6【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用4. 解 （1）作轴于，（2）由图可知，点从点运动到点用了10秒又两点的运动速度均为每秒1个单位（3）方法一：作轴于，则，即， 即，且，当时，有最大值此时，点的坐标为方法二：当时，设所求函数关系式为抛物线过点， ，且，当时，有最大值此时，点的坐标为 （4） 点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难中午作业：1. 【答案】d考点：1动点问题的函数图象；2分类思想的应用2. 【答案】a考点：1轴对称的应用（最短路线问题）；2圆周角定理；3等腰直角三角形的判定和性质（2题答图）（3题答图）（4题答图）3. 【答案】b考点：1单动点问题函数图象的分析；2由实际问题列函数关系式；3矩形的性质；4相似三角形的判定和性质；4. 【答案】1考点：1圆周角定理；2相似三角形的判定和性质；3由实际问题列函数关系式；3二次函数的最值5. 【答案】6考点：1单动点问题；2轴对称的应用（最短路线问题）；3正方形的性质；4勾股定理（5题答图）（6题答图）6. 【答案】考点：1轴对称的性质；2垂直线段的性质；3圆周角定理；4含30度角直角三角形的性质；5等边三角形的性质；6切线的判定7. 解：（1）当pqcd时，四边形pdcb是平行四边形，此时pd=qc，122t=t，t=4当t=4时，四边形pqdc是平行四边形（2）过d点，dfbc于f，df=ab=8fc=bcad=1812=6，cd=10，当pqbc，则bq+cq=18即：2t+t=18，t=6；当qppc，此时p一定在dc上，cp1=10+122t=222t，cq2=t，易知，cdfcq2p1，解得：t=， 情形：当pcbc时，因dcb90，此种情形不存在当t=6或时，pqc是直角三角形8. 解：（1）.（2）在整个运动过程中，点p移动的距离为cm，圆心移动的距离为cm，由题意得.点p移动2s到达b点，即点p用2s移动了cm，点p继续移动3s到达bc的中点，即点p用3s移动了cm，.联立，解得.点p移动的速度与o移动的速度相等，o移动的速度为（cm/s）.这5s时间内圆心o移动的距离为（cm）.（3）存在这样的情形.设点p移动的速度为cm/s，o移动的速度为cm/s，根据题意，得.如答图，设直线oo1与ab交于点e，与cd交于点e，o1与ad相切于点pg.若pd与o1相切，切点为h，则.易得do1gdo1h，adb=bdp.bcad，adb=cbd. bdp =cbd.bp=dp.设cm，则cm，cm，在中，由勾股定理，得，即，解得.此时点p移动的距离为（cm）.efad，beo1bad. ，即.cm，cm.当o首次到达o1的位置时，o与移动的距离为14cm.此时点p移动的速度与o移动的速度比为.此时dp与o1恰好相切.当o在返回途中到达o1的位置时，o与移动的距离为cm.此时点p移动的速度与o移动的速度比为.此时dp与o1不可能相切.【考点】单动点和动圆问题；矩形的性质；直线与圆的位置关系；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；方程思想和分类思想的应用. 【分析】（1）根据矩形的性质可得：点p从abcd，全程共移动了cm.（2）根据“在整个运动过程中，点p移动的距离等于圆心移动的距离”和“点p用2s移动了cm，点p用3s移动了cm”列方程组求出a，b，根据点p移动的速度与o移动的速度相等求得o移动的速度，从而求得这5s时间内圆心o移动的距离.（3）分o首次到达o1的位置和o在返回途中到达o1的位置两种情况讨论即可.回家作业：1. 【答案】b【解析】试题分析：当点p在ad上时，abp的底ab不变，高增大，所以abp的面积s随着时间t的增大而增大；当点p在de上时，abp的底ab不变，高不变，所以abp的面积s不变；当点p在ef上时，abp的底ab不变，高减小，所以abp的面积s随着时间t的减小；当点p在fg上时，abp的底ab不变，高不变，所以abp的面积s不变；当点p在gb上时，abp的底ab不变，高减小，所以abp的面积s随着时间t的减小；故选b考点：1动点问题的函数图象；2分段函数；3分类讨论；4压轴题2. 【答案】c【解析】试题分析：直线与x轴、y轴分别交于a、b两点，a点的坐标为（4，0），b点的坐标为（0，3），即oa=4，ob=3，由勾股定理得：ab=5，点c（0，1）到直线的距离是=，圆c上点到直线的最大距离是=，pab面积的最大值是=，故选c考点：1圆的综合题；2最值问题；3动点型3. 解：在正方形abcd中，bfae，agb保持90不变，g点的轨迹是以ab中点o为圆心，ao为半径的圆弧，当e移动到与c重合时，f点和d点重合，此时g点为ac中点，ag=ge，故错误；bfae，aeb+cbf=90，aeb+bae=90，bae=cbf