数学系毕业论文.docx

绵阳师范学院本科生毕业论文（设计）题 目 不等式在中学数学中的应用 专 业 数学与应用数学 院 部 数学与计算机科学学院 学 号 0808410229 姓 名 余 红 指 导 教 师 汪元伦 副教授 答 辩 时 间 二一一年五月 论文工作时间： 2011 年 12月 至 2011 年 5月论文题目来源：国家自然科学基金项目编号：四川省自然科学研究项目编号：校级自然科学研究项目编号：不等式在中学数学中的应用学 生： 余 红指导教师： 汪元伦摘 要：在我们的一般生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是比较量大小有关的问题，都要用到不等式的知识，在中学数学中初看起来不等式的内容涉及并不多，但事实上只有不等式关系才使绝对的。不等式在中学数学算是一个比较难的知识，但近年高考对不等式颇为重视，所以不等式在中学数学中算是一个很重要的内容。所以不等式的内容是中学数学必不可少的。本文通过理解掌握均值不等式、绝对值不等式来说明不等式在中学数学中的重要性，研究均值不等式、绝对值不等式所得相关结果，用于解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的实际问题，具有极为重要的意义。关键词：不等式 ； 均值不等式； 绝对值不等式inequality in middle school mathematics applicationundergraduate: yu hongsupervisor: wang yuan lunabstract: n our normal life and production .quantity is equal relations, also has the relation of inequality, normally have a size related problems, must use the inequality of knowledge. in the middle school mathematics at first seems inequality involves not much,but in fact only the inequality relationship that absolute. inequality in middle school mathematics is a difficult knowledge,but in recent years the college entrance examination for inequality is quite seriously.so the inequality in middle school mathematics is a very important content. so the content of middle school mathematics inequality is essential. this article through the understanding of mean value inequality and absolute value inequality to illustrate the importance of inequality in middle school mathematics ,study of mean inequality, absolute value inequality of income related results, for solving the most value problem, proof of inequality and the actual life of the practical problems have very important significance.key words: an inequality; the mean inequality; absolute value inequality目录绪论11 不等式11.1 不等式的由来11.2 不等式的定义11.3 不等式的基本性质11.4不等式解法42 .均值不等式和绝对值不等式62.1 均值不等式62.1.1 利用均值不等式证明不等式62.1.2 抓条件“一正、二定、三等”求最值82.1.3 抓“当且仅当等号成立”的条件，实现相等与不等的转化92.1.4 利用均值不等式解应用题102.2 绝对值不等式132.2.1 几何意义132.2.2 应用举例13总结18参考文献19致 谢20绪论均值不等式是高中数学中的重要知识点之一，应用均值不等式求最值是历年高考考查的重要知识点之一。因此有必要对不等式的性质进行归纳研究及应用。1 不等式1.1 不等式的由来 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式感兴趣的国家的数学工作者遍布世界各个国家。 在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；hardy,littlewood和 plya的著作 inequalities的前 言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。a. m.fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 g. h. hardy,j. e. littlewood和g. plya的著作 inequalities由cambridge university press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如匡继昌先生的专著常用不等式一书由于供不应求 , 在短短的几年内已经出版了第二版 ,重印过多次。对于数学专著来讲 , 这是少有的现象。另外 , 国内还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个不等式研究通讯的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问。1.2 不等式的定义用“”或“”号表示大小的式子，叫不等式。用不等号可以将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如，等解析：用表示不等式关系的式子也叫不等式不等式中含有未知数，也可以不含未知数注意不大于和不小于的说法1.3 不等式的基本性质如果，那么；如果，那么；（对称性）如果，；那么；（传递性） 如果，而为任意实数或整式，那么；（加法则） 如果，那么；如果，那么;（乘法则） 如果，,那么;如果，,那么; 如果，那么 (充分不必要条件) 如果，那么如果，那么（n为正数）, 如果,那么（n为正数）, 如果，那么 如果，那么如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。例1某学校旅行团到某地旅游，人数估计在1025人之间。甲、乙旅行团的服务质量相同，且组织到该地的旅游价格都是每人200元。该团与旅行社联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位游客的旅游费用，其余游客8折优惠。试问该团应怎样选择（只选择一家旅行社），能使其支付的旅游总费用最少？分析：要使支付的旅游费用最少，那么就要把甲、乙两家旅行团的费用表示出来，设旅行的人有人（1025）, 甲旅行社费用为，乙旅行社费用，则有=0.75200， =0.8200（-1），再比较、的大小。解：设旅行的人有人（10，即150160-160，解得16； b，即15016；c=，即150=160-160，解得=16；因为所以当甲乙两家的旅游总费用一样。当乙家比甲家便宜，当甲家比乙家便宜这里我们除了直接解一元一次不等式外，还可以借助一次函数和一元一次方程来形象直观的解一元一次不等式，也是数形结合的方法。例2已知函数（1）若函数的图象在函数的图象的上方，求实数a的取值范围；（2）当时，解关于的不等式。解：（1）函数的图象在函数图象的上方恒成立 恒成立解集是（2）当时原不等式可化为例3 设为正实数，且，则（ ）a. b. c. d. 解法一：由，得,由正实数，解得),故选a解法二：由,得解关于()的不等式，可得,故选a1.4 不等式的解法1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解注意分类 例1如果恒成立，则实数的取值范围是.a. b. c. d. 错解：由题意：解得：错因：将看成了一定是一元二次不等式，忽略了的情况.正解：当时，原不等式等价于，显然恒成立， 符合题意.当时，由题意：解得：，故选c.例2已知不等式组 的整数解恰好有两个，求的取值范围。解 因为方程的两根为若，则的解集为，由得.因为，所以,所以不等式组无解。若，）当时，,的解集为因为，所以不等式组无整数解。）当时，无解。）当时，由得，所以不等式组的解集为.又不等式组的整数解恰有2个，所以且，所以，并且当时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，的取值范围是.、例3已知，若-求的范围.错解：由条件得 2 6 2得 + 得，错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时, 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解：由题意有 解得：, 把和的范围代入得，反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.解各种类型的不等式都有其“通法”，也有“巧法”，切不可偏爱“巧法”，而忽视“通法”，否则将是本末倒置。2 . 均值不等式和绝对值不等式2.1 均值不等式大家都知道，均值不等式(1)对实数，有 (当且仅当时取“”号)， (2)对非负实数，有 (3)对负实数，有是不等式一章中最基础、广泛的灵活因子，是中学数学的一个很重要的特殊不等式。也是高考重点考查的内容之一，在不等式的证明和求解有关最值等问题中有着极为广泛的应用。所以加强这一不等式的分析探讨，探寻其多种证题途径和方法，是显得很有必要的。下面对均值不等式进行分析和应用2.1.1 利用均值不等式证明不等式利用均值不等式证明其他不等式时，根据题目的结构，一是创设一个应用均值不等式的情景，二是选择恰当的公式。通过特征分析，用于证不等式次数相等项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等不等式的左边和右边积当要证的不等式具有上述性质时，考虑用均值不等式证明例1已知为不全相等的正数，求证：. 分析：观察要证不等式的两端都是关于的3次多项式，左侧6项，右侧系数为6，左和右积，具备均值不等式的特征。 证明: , , 同理, , 又 不全相等， 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此 例2 .若，且，求证. 分析：由，联想均值不等式成立的条件，并把代换 、中的“1”，要证不等式变为, 即，亦即，发现互为倒数，已具备均值不等式的特征. 证明：, ，同理，, , . , 说明：1)此题的证明方法采用的是综合法,用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式. 2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点. 例3如正数，则的取值范围是多少？解析：， 又，即,或（舍）应舍去因为是正数，故应舍去此题运用整体代换的思想2.1.2 抓条件“一正、二定、三等”求最值由均值不等式(2)对非负实数，有推证出最值定理及其使用的前提条件“一正、二定、三等”，所谓“一正、二定、三等”就是变量均为正数、变量积或和为定值、等号成立.求最值时，三者缺一不可.例1 已知且,求的最大值分析：由题可得,一正：;二定：；求积的最大值，可考虑均值不等式求解解：当且仅当时取等号，即时的最大值为36变式 本题若改为：且，求的最大值呢？例2 已知，则有（ ）a. 最大值 b. 最小值c. 最大值1 d. 最小值1解析：因为， 所以，当且仅当时等号成立，故选d。评注：运用均值不等式是求解函数最值的方法之一，解题的关键是将分式拆成满足均值定理条件的式子，应特别注意不等式成立的条件.2.1.3 抓“当且仅当等号成立”的条件，实现相等与不等的转化在均值不等式中“当且仅当等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界限，是相等与不等的突破口。例1在abc中，若三边满足条件，试判定三角形abc的形状。 分析：，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。 解：，故有不等式即，当且仅当时，上式等号成立，故三角形为等边三角例2 已知为正实数，且, . 求的值。 解：由题设得， , 此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即 , , 说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件， 总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口.2.1.4 利用均值不等式解应用题均值不等式的应用十分广泛，往往与应用问题的最值有关，应用不等式解决应用题，应先弄清题意，列出不等式或函数式，再利用均值不等式求解.例1某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件元）在时，每天售出件数为，若想每天获得利润最多，销售价格应为多少元？分析：设每天获得的最大的利润为,解：由题意可得 令 当且仅当时取等号 ， 即所以答：当每件的销售价为60时，当天的利润最多，且最大利润为2500例2 商店经销某种商品，年销量为件，每件商品的库存费用为，每批进货量为件，每次进货所需费用为，现假设商店在卖完每批商品时立即进货，使平均库存量为件，问每批进货量为多大时，全年总费用最省？分析：全年费用由进货费用和库存费用组成，如果每批进货量增大，那么进货次数减少，可以减少进货费用，但是平均库存量增大；如果每批进货量减少，那么平均库存量减少，可以减少库存费用，但进货次数增多，使进货费用增大，这些费用变量之间的相互依赖关系，可以以为自变量，建立以全年费用为函数的数学模型.解：由题意知，库存费用为进货次数为，进货费用为 利用算术平均数与几何平均数定理求t的最小值当且仅当，即时不等式去等号，即每次进货量件时，全年总费用最省为练习 某工厂生产一批精密仪器，这个长有两个分厂，分设在甲、乙两城市.在甲城市的分厂生产半成品，然后运到乙城市的分厂加工成成品.现该厂接受了一批订货，要在100天内制成这批精密仪器，由于乙分厂每天可以加工完一件仪器，而甲分厂的半成品保证满足供应，所以这项订货任务恰好按时完成.今知每个半成品从甲市运到乙市的运费为100元，而每个半成品在乙市储存一天的储存费为2元.问应分几批（批量相等），才能使总花费（包括运输费及储存费）最少？分析：由题设条件，每批送个，由此可建立总的花费的函数例3如图1，p是抛物线c：上一点，直线过点，且与抛物线交于另一点，若直线不过原点，且与轴交于点，与y轴交于点，试求的取值范围.图1解：设直: ，依题意，则， 又设由三点共线，得即则即，于是。分别过、作轴，轴，垂足分别为、，则可取一切不等于1的正数的取值范围是（2，）评注：本题的解题关键是根据题设条件将化简，运用均值定理求出最值，进而求出其取值范围.2.2 绝对值不等式公式： ，当且仅当时左边等号成立，时右边等号成立.表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值两个重要性质：1. ； 2. 可逆2.2.1 几何意义1.当同号时它们位于原点的同一边，此时的距离等于它们到原点的距离之和。 2.当异号时它们分别位于原点的两边，此时的距离小于它们到原点的距离之和。2. 表示与原点的距离，也表示之间的距离绝对值不等式解法：2.2.2 应用举例例1解不等式: 解：由得或即原不等式的解集为例2 已知；若求实数的范围解： 即, 所以实数例3 解不等式: 解:令得(1)当不等式可化为：(2)当时不等式可化为：原不等式的解集为(3)当时， 不等式可化为：原不等式的解为综上所述：由（1）（2）（3）得的解集为即例4 不等式的解集是（ ）a、 b、 c、 d、分析：首先分析题目求不等式的解集因为是绝对值不等式需要，去绝对值号才能求解，故需要用分类讨论的思想分2种情况分别求解即可解 ：则分两种情况讨论：情况1： 即：情况2：即：则：两种情况取并集得故选d 例5设函数，（1） 若解不等式（2） 如果，求的取值范围分析：（1）当，原不等式变为，下面利用绝对值几何意义求解，利用数轴上表示实数左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数-1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集 ， 实数1，-1表示的点距离之和不小3，画出数轴，数形结合，观察分析知，数轴上表示实数左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数-1与1的点距离之和不小3，所以所求不等式解集为；，从而例6关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（ ）a.0 b.1 c.-1 d.2分析：由绝对值几何意义求出的最小值当时，在上恒成立.由绝对值的意义知当时，由于，故只需，即可得到，也即的最大值为1.本题利用绝对值的几何意义：两点间的距离，即数轴上的点到2和对应点的距离之和大于或等于这两点间的距离，使问题“迎刃而解”。例7 若实数满足，则称比接近（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域任取等于中接近0的那个值写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论证明）分析：（1）根据新定义得到不等式，然后求出的范围即可（2）对任意两个不相等的正数，依据新定义写出不等式，利用作差法证明比接近；（3）依据新定义写出函数的解析式，直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可解：（1）；（2）对任意两个不相等的正数，有因为，所以，即比接近；（3），是偶函数，是周期函数，最小正周期，函数的最小值为0，函数在区间单调递增，在区间单调递减，本题是新定义题目，直线审题是能够解题的根据，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果注意转化思想的应用17总结