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中国地质大学（北京）继续教育学院 2012年09课程考试高等数学一模拟题（开卷） 一 填空题 1 2 ，2 ，3已知, 则 2 ，4函数的单调减区间为 ，5微分方程 的通解是 ，6 ，7 ，8 。二单项选择题 1设, 则的定义域是（ b ）。a 0 , 4 b -2 , 2 c 0 , 2 d 1 , 3 2设在上连续，则的值为（ d ）。a-1 b0 c1 d23对于函数，下面叙述正确的是（ b ）。a函数连续且一阶导数也连续 b函数连续但一阶导数不连续c函数不连续但一阶导数连续 d函数不连续且一阶导数也不连续4设是的一个原函数，则有下面成立的是（ c ）。a bc d5微分方程的 阶 数 为（ b ）。a0 b1 c2 d36函数的定义域是（ a ）。a （-1 , 1 b -1 , 1 c （-1 , 2 d -1 , 2 7当时，是的（ d ）。a低阶无穷小 b等阶无穷小 c同阶但不等阶无穷小 d高阶无穷小8函数在点（ d ）。a连续且可导 b连续但不可导 c不连续但可导 d不连续且不可导9设是的一个原函数，则有下面成立的是（ c ）。a b c d10下列那一项不是常微分方程（ a ）。a b c d三计算题 1 解： = =2设，求 解：=3 解：， 所以 = =4 解： 令，那么， ， 且，故=22= 2()=25 解： =6设，求 解：=7 解：= =8求微分方程的通解。 解：这是变量分离方程，变量分离，两边积分，有，即为原方程的通解。四应用题 1已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。 解：在方程两边关于x求导， 有所以 ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率，故切线方程为。2计算抛物线与直线所围成的图形的面积。 解：抛物线与直线相交于点(2,-2,), (8,4), 如图所示。选取y为积分变量， 那么。3已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。 解：在方程两边关于x求导， 有所以 ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率，故切线方程为。4计算抛物线与所围成的图形的面积。 解：两抛物线与直线相交于点(0,0,), (1,1)。选取x为积分变量， 那么 =。五 证明题 1解：解法一：利用中值定理。考虑函数，显然函数在上满足拉格朗日中值定理，所以存在， 使得 即，因为， 所以成立。 解法二：利用函数的单调性。 考虑函数， 那么 当，所以单调递增。从而。命题得证。2. 当时，.解：解法一：利用中值定理。考虑函数，显然函数在上满足拉格朗日中值定理，所以存在， 使得 即，因为， 所
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