毕业设计（论文）-阶的运算及其应用.doc

重庆科技学院毕业设计（论文） 题 目 阶的运算及其应用 院 （系） 数理学院 专业班级 应数普2008-01 指导教师 职称 讲 师 评阅教师 职称 2012年 6 月 4 日 注 意 事 项 1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字.3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）.4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范.图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用a4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明 本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料.与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 毕业设计（论文）作者（签字）： 年 月 日重庆科技学院本科生毕业设计 摘要 摘 要无穷小量是伴随微积分产生的，无穷大量则是相对于无穷小量的量，为了表明变量在变化趋势方面的差异，我们引入了无穷量的“阶”的概念.阶的概念与极限过程的概念是不能分离的，简单地说，极限过程即是变量的变化过程，而阶的概念则反映着过程中变量变化的快慢状态，速度的快慢是相对的，只有通过比较，才能比出那个快那个慢.我们用无穷小的阶这个概念来描述在同一自变量的变化过程中，多个无穷小趋向于零的速度.因此，无穷大量与无穷小量的阶，是数学分析中的基本概念.本文首先介绍无穷量的阶的相关概念，然后阐述了阶的比较及其相关性质，最后强调了阶的相关原理在求极限，判断正项级数和广义积分的敛散性中的重要作用，内容丰富，应用广泛.关键词：无穷量的阶 极限运算 敛散性 应用 ii重庆科技学院本科生毕业设计 abstract abstractinfinitesimal accompany calculus, of infinity with respect to infinitesimal amount, in order to show the differences of the variables in terms of trends, we have introduced the infinite amount of order.the concept of the order and the concept of the limiting process can not be separated, simply limiting process is a process of change of variables, while the order of the concept of process variable change speed state, the pace is relative, only through compared to than the that fast that slow. we use infinitesimal order of this concept to describe the same independent variables change process, more than infinite small tend to zero speed. therefore, of infinity and infinite small amount of bands, is a mathematical analysis in the basic concepts,this paper first introduces the relevant concepts of the infinite amount of bands, and then describes the order of comparison and its related properties, finally stressed that the relevant principles of the order of the limit, determine an important role in the convergence and divergence of series of positive terms and the generalized integral rich in content and widely used. keywords: order of infinitesimal；limit operation；convergence；application 重庆科技学院本科毕业设计 目录目 录摘 要iabstractii1 绪论11.1 无穷小量与无穷大量11.2无穷小无穷大阶的比较21.2.1 无穷小量阶的比较31.2.2 无穷大量阶的比较41.3 无穷小量与无穷大量的性质52阶在极限计算问题中的应用62.1有关与的基本运算法则62.2求极限时等价无穷小和等价无穷大的代换73无穷量阶在敛散性讨论中的应用123.1阶在正项级数收敛性问题上的应用123.2阶在广义积分收敛性问题上的应用154结束语185参考文献196致谢20重庆科技学院本科毕业设计 1绪论1 绪论1.1 无穷小量与无穷大量无穷小量、无穷大量分别简称为无穷小、无穷大.在数学分析中，无穷小与极限具有同等的重要地位.一方面，任何类型函数的极限都可以转化为无穷小；另一方面，导数可以表示为两个无穷小之商的极限，定积分可以表示无限多个无穷小之和，数项级数的敛散性也与无穷小有着十分紧密的联系.首先给出无穷小量的定义，如下：定义1 设在某内有定义.若，则称为当时的无穷小量，简称为无穷小.若函数g在某内有界，则称g为当时的有界量.注 1)无穷小不是一个很小很小的数，它是在某个极限过程以零为极限的函数.2)仅仅说某函数是无穷小是不够确切的，必须指出其极限过程才有意义.例如：都是当时的无穷小，但不是时的无穷小.是时的无穷小量，而，为时的无穷小量.又如sinx是时的有界量，是当时的有界量.特别，任何无穷小量也必是有界量.3)可完全类似的定义， ，时的无穷小量与有界量.4)区别“有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在m0，在定义域内每一点，都有.这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界.既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么是“无穷大量”？ “无穷小量是以0为极限的函数”.那么能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数” ？按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的.讲a为函数当时的极限，意味着a是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当时，与无限接近.例如， 1)，当时，与越来越接近，而且只要与0充分接近，就会无限增大；2)，当时，也具有上述特性.在分析中把这类函数称为当时有非正常极限.其精确定义如下：定义2（非正常极限）设函数在某内有定义，若对任给的，存在，使得当时有，则称函数当时有非正常极限，记作.注 1) 若“”换成“”，则称当时有非正常极限；若换成 则称当时有非正常极限，分别记作,.2) 关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列当时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如：，当时，; ，当时，.下面给出无穷大量的定义：定义3 对于自变量的某种趋向（或），所有以，或为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.例如，当时是无穷大量；当时是无穷大量.注 1)无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;2)若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.例如；在上无界，但.1.2无穷小无穷大阶的比较无穷大量与无穷小量的概念，只反映变量的变化趋势，对于变量的其它性质并未做出任何描述.而在具体的问题当中，除了变量的变化趋势，我们更关心的却是对于这种变化趋势的量的方面的了解.事实上，经常需要比较变量的变化趋势在量的方面的差异，并通过对这些差异的分析，找出它们的内在联系.在这些差异中，最明显的就是变化的“速度”不同，例如，、与当时虽然都是无穷大量，但是它们趋于的“速度”是大不相同的：由于，粗略地说，趋于的“速度”相对于趋于的“速度”是一个无穷大量.相对于亦有这种关系.为了表明变量在变化趋势方面的差异，我们在数学分析中引进无穷量“阶”的概念，其中两个无穷小（大）阶的比较十分重要.1.2.1 无穷小量阶的比较 无穷小量阶的比较（主要对叙述，对其它类似）设当时，均为无穷小量，一般地，有下面定义：定义4 若，则称时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作. 即.例如， ，.定义5 若存在正数和，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量.特别当时，与必为同阶无穷小量.注 1)不存在，并不意味着与不全为同阶无穷小量.如，不存在.但，所以与为当时的同阶无穷小量.2)并不是任何两个无穷小都可以进行这种阶的比较.例如：当时，与都是无穷小，但是它们的比或者都不是有界量，所以它们就不能进行阶的比较.定义6 若当时，与是同阶无穷小，则称当时，是的k阶无穷小.定义7 设，若存在常数a0,使得成立，则称是的强函数，记为.显而易见，改变与在有限个点的数值，不影响强函数关系.例如.注 在上面定义中，常数a被称为“大常数”，它们与变量无关.但是，“大常数”可能与参变量有关，例如，在中，“大常数”与参数无关；但在中，“大常数”与参数有关，此时我们可用代替，以表明大常数与参数有关，例如.由上述可知：若与是当时的同阶无穷小量，则一定有：.定义8 若，则称与是当时的等价无穷小量，记作.例如，）; ）.如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念.1.2.2 无穷大量阶的比较 以下讨论均在同一个自变量的变化过程之下(以为例).定义 9 设 ，1） 若，则称是在下的低阶无穷大， 记为 ； 2） 若（a为不为0的有限数），则称与在下是同阶无穷大，特别，时，称与在下是等价无穷大，记为 () .定义10 设是时的无穷大， 1）若存在，使 (为有限数)，则称是时的阶无穷大； 2）若对任意，都有，则称是时的零阶无穷大； 3）若对任意，都有，则称是时的超阶无穷大. 关于无穷大的阶有如下一些结论： 1）当时，是一个比另一个更高阶的无穷大； 2）与是时的等价无穷大； 3）时，是一个比另一个更高阶的无穷大；4）时，是比高阶的无穷大；是比高阶的无穷大.1.3 无穷小量与无穷大量的性质上面给出了无穷小量与无穷大量的相应概念，那么进一步讨论，这些“量”有哪些性质呢？定理1 的充分必要条件为，其中.定理2无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.定理3两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.（可延伸至有限）例如， .定理4 （定理1的另一种表述）是当时的无穷小量.定理51)设在内有定义且不等于0，若为当时的无穷小量，则为时的无穷大量；2)若为时的无穷大量，则为时的无穷小量.20重庆科技学院本科毕业设计 2阶在极限的计算问题中的应用2阶在极限计算问题中的应用2.1有关与的基本运算法则法则1 若是无穷大量，并且，则，法则2 若，则法则3 若，则法则4 法则5 法则6 法则7 法则8 法则9 法则10 法则11 ，是正数法则12 法则13 若，则法则14 若，则以上法则都容易验证，我们仅举几条证明如下:法则6的证明：设，且，则:即有：法则11的证明：设，则，即，注 一般的“大常数”与有关.2.2求极限时等价无穷小和等价无穷大的代换定理6 （等价无穷小代换）设函数，在内有定义，那么：1) 若，则，2) 若，则.证 1) 2) 类似证明定理7 等价无穷小的符号“”具有如下性质：对称性 若当时，则当时，；传递性 若当时， ，则当时，.证 1） 因为，所以即当时，有；2） 因为，则有:.所以当时，有同理可证得同阶无穷小也具有传递性，等价无穷大也具有对称性和传递性.注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代. 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”.定理8 （定理6的延伸） 设，同为无穷大或同为无穷小，且，为任意函数，则 1) ； 2). 证 1) 设（为有限数），由可得:.若不存在，则必不存在.若不然，则 ，知存在矛盾.2） 同理可证.该定理说明在乘积运算的极限中，用等价无穷小或等价无穷大替换，极限的存在性及极限值均不变.定义11 设（或），若，则称时是的主部. 定理9 设，同为无穷大或同为无穷小，且，则 的充要条件是.证 必要性：设，则 ，因此，,即. 充分性 ： 设， 则 . 因此，. 本定理给出了两个无穷小或两个无穷大可比但不同阶的和差取大规则. 例 1 求. 解 当时， 的主部为；的主部为，因此，.定理10 设，同为无穷大或同为无穷小（， ，），若，且（为有限或无限）， 则. 证 . 本定理给出了和差代替规则，适合与同阶但非等价的情形. 推论 1 设，同为无穷大或同为无穷小，且，若， ，均为有限或无限且1，则. 证 由归纳法即得. 推论 2 设，同为无穷大或同为无穷小(，)，若，且( a为有限或无限)，则. 例2 求（k1为正整数）.解 由于，.，故有.定理11 设，同为无穷大或同为无穷小(，)， 若，则.证 先证，因 为，所 以，其中故，而，所以. .该定理说明，在求，型极限时，其底与指数可分别用它们的等价无穷小或等价无穷大代换，极限的存在性及其值不变.例 3 求.解 当时， 所以.例 4 求.解 当时， 所以.定理12 设，为无穷小，为无穷大，且，则 .证 .该定理适用于 型极限.例 5 求. 解 当时，所以 .例6 求极限 ，.解 当时，由于，有 因此，所求极限是.重庆科技学院本科毕业设计 3无穷量阶在敛散性讨论中的应用3无穷量阶在敛散性讨论中的应用3.1阶在正项级数收敛性问题上的应用数学思维是人类思维的一种重要形式，是人们从事数学活动时的认识过程和思维过程，是数学素质的核心.数学思维以逻辑思维为主，并辅以形象思维和直觉思维.直觉思维是数学思维发展到一定水平后，由逻辑思维和形象思维的有机结合达到质变时的升华形态，是创造性数学思维的核心.数学分析这门课程具有结构严谨、逻辑性强的特点，由于传统的教学模式重演绎推理和知识传授，轻归纳渗透和思想方法，使得学生花费大量精力学习却收效甚微，更不利于学生创造性思维能力的培养.其实，数学分析这门课程虽然内容很多，高度抽象，但前后知识之间的内容和方法存在着密切联系，无穷小分析的思想方法处处体现，它已渗透在后续内容之中.若能在教学中充分揭示和展现这一思想，引导大家发现这一问题，正确运用化归的思想方法，不仅能减轻大家学习的负担，帮助大家建立起一定的知识网络，还可以使大家重视数学思想方法的学习，有助于培养大家的数学思维和提高数学能力.当我们用比值和根值判别法(或其极限形式)判定正项级数的敛散性失效时，一般都要采用比较判别法(或其极限形式)来判定正项级数的敛散性.而这种方法的关键在于，首先需要我们要有一种直觉，所给出的级数名应该是收敛的还是发散的，然后要求我们去寻找一个敛散性很容易判定的，而且和的敛散性一致的级数来和它进行比较，再进一步说明的敛散性.然而，对大家来说往往有难以下手之感.这种直觉从何而来呢？若我们能很好地引导大家，选取我们已经熟悉的级数来和给出的级数进行比较，并用有关无穷 小阶数的概念来作进-步的分析讨论，便可以得到很好的解决.据此可得到以下结论.设 为一正项级数，若当时，关于为等于或高于阶的无穷小，则正项级数收敛；若当时，关于为等于或低于阶的无穷小, 则正项级数发散.说明 :当时，若关于为等于或高于阶的无穷小,根据无穷小比较的定义可得：，其中:为常数.而我们已知级数，当时收敛，因此，由正项级数的比较判别法知：正项级数收敛；类似的当时，若关于为等于或低于阶的无穷小时，可以说明正项级数发散.有了这样的结论之后，我们可以发现，有关正项级的敛散性讨论实际上可以化归为无穷小阶数的讨论，只要能够知道正项级数的无穷小()的阶数,由值的大小就可以知道正项级数习的敛散性， 然后我们只要用敛散性已知的级数来和它比较. 定理13 设有正项级数，当时， (，) 1） 若 或，且收敛，则收敛；2） 若 或，且发散，发散.下面给出无穷小的阶数在正项级数敛散性讨论中的一些应用，例 7 判正项级数的敛散性.解 当时，而收敛，从而原级数收敛.例8 判正项级数 的敛散性. 解 当时，而收敛，从而原级收敛. 定理14 设有正项级数，时， 1）若为阶无穷大，为阶无穷大，当时，收敛，时，发散； 2） ，均为超阶无穷大，若存在，使，则收敛；若存在，使则发散.例 9 判正项级数的敛散性.解 当时，为0阶无穷大，为2阶无穷大，故收敛 .例 10 判正项级数的敛散性. 解 因为，所以发散. 例 11 判定下列正项级数的敛散性.1) 2) 解 1）由于当时，为关于的阶无穷小，于是正项级数发散.2）当时，关于为低于阶的无穷小，于是正项级数发散.例 12 判别下列级数的敛散性. 1） 2） 解 1） 当时，选取调和级数 因 即与当时是同阶无穷小；又调和级数发散，故级数发散.2） 当时，,又时p级数收敛取 (使)，即，因，即当时，是比 高阶无穷小.并且级数收敛，故级数收敛.3.2阶在广义积分收敛性问题上的应用关于非负函数无穷积分的敛散性的讨论，我们的教材中给出了如下结论:定理15 设，函数，且极限 1) 若，则无穷积分收敛；2) 若，则无穷积分发散.利用以上结论来判定无穷积分的敛散性，关键在于寻找合适的值.这也需要学生能有直觉，学生往往难以下手.然而，如将以上定理中的极限形式变形，表示成以下形式: 利用无穷小的阶数加以说明，利用无穷小的阶数讨论非负函数无穷积分的敛散性，我们便可以得出以下结论：设函数在区间上连续，且.若当时，关于为等于或高于阶的无穷小，则无穷积分收敛；若当时，关于为等于或低于阶的无穷小，则无穷积分发散.有了这样的结论之后,关于非负函数无穷积分敛散性的讨论,也完全化归为无穷小的讨论,大家就容易接受了.下面给出无穷量的阶数在广义积分敛散性讨论中的一些应用，例13 判定下列无穷积分的敛散性.1）（a0） 2） (a0) 3） 解 1）由于当时，关于为=1阶的无穷小，因此无穷积分发散.2）由于当时，关于为=31阶的无穷小，（前已说明）因此无穷积分收敛.3）由于当时，关于为高于任何数1阶的无穷小，因此无穷积分收敛. 例14 判断无穷积分或无穷级数的收敛性. 1）； 2），解 首先注意，本例中的级数（或积分）的通项（或被积函数）对于充分大的n（或x）皆取正值（或恒负值）.1）当时，因此，由比较判别法可知，2） 当时，由于，有因此 据实践证明，利用无穷小的阶数讨论敛散性问题，一方面可以让我们掌握比较判别法的实质，另一方面，也可以让我们牢固树立无穷小分析的思想方法，进一步提高我们的数学思维能力和发现问题、解决问题的能力.数学分析里面对于无穷量阶的内容较少，然而阶的一系列性质在实际问题中应用广泛，我们要加强对这方面内容的理解，以便深人研究下去.重庆科技学院本科毕业设计 4结束语4结束语无穷大量与无穷小量的阶，是数学分析中的基本概念之一，它们本身具有很强的抽象性，它们之间的比较就更是显得抽象，难以理解，因此，阶的相关理论在数学分析中具有重要意义.研究阶的相关性质，说到底是学习一种数学思想，阶的概念涉及到无穷小及无穷大的阶.在 数学分析课程中，无穷小分析是贯彻始终的一个重要工具，一般教科书中，在介绍了无穷小概念后，除了强调利用等价无穷小求极限之外，对于阶的运算法则就没有提及了,无穷大的阶及无穷大等价代换的方法就更少提及.其实，在实际求极限时，往往会碰到其他情况.若能正确地运用等价无穷小与等价无穷大代换，将会大大简化极限运算.另外，判别正项级数的敛散性，比较判别法是重要工具，特别是比较判别的极限式，它的实质是无穷小或无穷大阶的比较.因此阶的运算在极限的计算、广义积分的收敛性及正项级数的收敛性的判定都有广泛的应用，所以归纳总结关于阶的运算规律及运算法则对于本学科的学习具有重要的意义. 目前国内外关于阶的理论知识研究成果相对零散、不系统，没有现行的哪本教材或文献对阶的一系列的重要的应用进行总结归纳和对比.本文旨在综合前人对阶的诸多研究基础上，以大多数数学家理论为基础.对无穷量的阶的理论成果作全面的梳理整合，使阶的理论更全面、细