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文档简介

含参二次方程根的分布问题二次函数是高中阶段的一个非常重要的内容，是比较难的知识点。而含有参数的二次函数则是难上加难，尤其是涉及到一些根，零点的问题，下面我们结合实例来探讨一下含有参数的二次方程的根的分布问题。二次方程在某个区间上的解的问题一共有以下几种:无解一解两解，方程有解就包含了一解和两解的问题。问题1： 已知方程在上有解，求的范围解：方法1：把方程的左边看成是二次函数，即令，这个问题就转化为二次函数的图像与轴有交点的问题。但问题是有几个解，故讨论有两个解：图像如右图，等价条件为解得或有一个解：图像如右图，等价条件为（其中也有两解的情形）解得或由可知， 方法2：分离参数 当时，所以不是方程的根把方程变式为，令画出图像容易发现，所以问题2 ：已知方程在上有两解，求的范围这里要值得注意的两个概念是“根”和“零点”：当二次方程的的时候，有两个相等的根，但零点只有一个。解：方法1：则只要考虑上面的第一种情形就可以了，图像如右下图，等价条件为解得或方法2 ：则函数应与的图像有两个公共点，故可能得到这个错误的答案，错误的原因就在于或时，有一个交点但却有两个相等的实根。所以最终或如果问题2，改为已知方程在上有两个不同的解，则 ，所以看清问题的问法非常的重要。问题3 已知方程在上有且只有一个解，求的范围解：方法1：则只要考虑上面的第二种情形就可以了，图像如右下图，等价条件为但还要检验或时，另一根是否在内，如果在则舍去，如果不在则保留。（这里的检验是非常有必要的，是很多同学最容易遗漏的）解得或方法2 ：则函数应与的图像有一个公共点，故解得或说明：如果把问题3中的区间改为，问题有什么变化呢？方法1变化为： 但还要检验或时，另一根是否在内，如果在则保留，如果不在则舍去。结合上面的问题1,2,3，我们分别研究了含参二次方程在区间上有解，有两解，有一解的情形，利用二次函数图像和参数分离两种方法都可以解决这类问题。我们来对两种方法作一下比较，方法1我们姑且把它叫做是利用二次函数的图像和根的分布来处理 方法2我们把它叫做分离参数利用图像与图像的交点来处理。方法1给我们的感觉是讨论要比较周全，条件要写的到位。方法2 给我们的感觉则是思路比较顺畅，而且处理也相当简便。请用上面的两种方法体会下面三题：1 若函数在区间内有且只有一个零点，求实数的取值范围2 已知函数与非负半轴至少有一个交
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