GPS控制网的优化设计毕业论文.doc

- 1 - gps 控制网的 优化设计 - 2 - gps 控制网的优化设计 摘要 优化设计是最优化理论和方法在设计中的应用，力求以最低的 成本、最高的效率达到最优的目标。本文通过一系列的分析，对 控制网的优化方法进行分析，说明可行性。gps 为了解决控制网优化设计问题，本论文分两大部分，gps 网的 优化设计和 gps 网的精度和可靠性，在 gps 网形设计中，首先根据 工程的特点和 gps 网设计规范的要求，大致确定网的规模，用图论 和树的有关算法推导出 gps 网形中点、边、异步环之间的关系，然 后给出一种生成网形的算法，自动生成初步网形，并用模拟法在顾 及精度和可靠性准则下对初步网形进行优化设计，确定最终网形， 并按最小路径方法生成观测方案。 关键词：关键词： gpsgps 控制网，优化设计，精度，可靠性控制网，优化设计，精度，可靠性 - 3 - optimizing designing of control network abstractabstract the optimization design is a application of the most optimizative theory and method in the design. it is hopeful that the best target obtained through the expenditure of the fewest cost and the best efficient. the essay is a feasibility report of the optimization design of gps control networks methods by a series of analysis. this paper consists of two parts: optimizing designing of gps control network and the precision and reliability of gps network. when designing a gps control network ,its scale should be predicted as the project requested and the gps surveying standard disciplined. according to the relationship among gps points , edges and nonsynchronous loops, we can use an algorithm of graphic theory to produce a network when given the number of points and the maximum edges of each nonsynchronous loop, after being modified by using simulate optimizing method we can draw the ultimate network, then the observation plan can be gained by using the best way algorithm. keywords：gps control network, optimizing designing, precision, reliability - 4 - 目录目录 摘要1 abstract2 1 绪论 4 1.1 控制网优化设计的发展历史 4 1.2 gps 控制网的发展历史.6 1.3 gps 控制网的技术设计.7 1.4 gps 控制网的图形设计10 1.5 gps 网形的特点13 1.6 gps 系统的应用前景15 2 gps 网的精度和可靠性 .16 2.1 gps 网平差的数学模型16 2.2 误差的传递与转换 .17 2.3 相对点位精度的合理评定 .19 2.4 gps 控制网的可靠性23 3 gps 控制网优化设计 .27 3.1 gps 网优化设计的数学模型27 3.2 一阶段优化设计 .29 3.3 三阶段优化设计 .32 结论.35 参考文献.36 致谢.37 - 5 - 前言 全球定位系统（global positioning system-gps）是美国从 20 世纪 70 年 代开始研制，历时 20 年，耗资 200 亿美元，于 1994 年全面建成，具有在海、 陆、空、进行全方位实时三位导航与定位能力的新一代卫星导航与定位系统。 最近十年我国测绘等部门的使用表明，gps 以全天候，高精度，自动化，高效 益等显著特点，赢得广大测绘工作者的信赖，并成功的应用于大地测量、工程 测量、航空摄影测量、运载工具导航和管制、地壳运动监测、工程变形监测， 资源勘探、地壳运动学等多种学科，从而给测绘领域带来了一场深刻的技术变 革。 随着全球定位系统的不断改进，硬、软件的不断完善，应用领域正在不断 的开拓，目前已遍及国名经济各不呢不，并开始逐步深入人们的日程生活。 1 绪论 1.1 控制网优化设计的发展历史 最优化问题是一个具有很久的研究历史和广阔的应用前景的领域，早在 公元前 500 年毕达哥拉斯就发现了黄金长方形，即长方形的长与宽的最佳比率 为 1.61 8， 称为黄金分割比，在建筑或绘画中应用这个比例将使建筑和艺术最 优美、协调。在微积分出现以前，己有许多人开始应用代数的或几何的方法来 解决最优化问题;在微积分出现以后，利用求导法、变分法和拉格朗日乘数法， 有效地解决了可导函数的极值问题，这类方法也称为古典最优化问题。近 30 年 来，由于科学技术发展的需要，实践中许多最优化问题已无法用古典方法来解 决，因此，许多新的最优化技术应运而生，为解决各种优化设计问题提供了有 效的方法。目前最优化设计己普遍应用于国民经济的各个领域，如生产管理、 运输调度、服务系统、信息系统等等。 在测绘学科方面，高斯所创立的最小二乘法至今仍是应用最广的数据处理 方法。18 年 helmert 发表了关于“测量的合理性研究” 的论文，1882 年 shreibe : 曾提出过著名的“线网最适当权分配”的方法，对基线扩大网的测角 观测方案进行了优化设计，这可以看作是对测量控制网的优化设计所做的开创 性工作。但是在相当长的一段时间内，这一问题未得到深入而系统的研究。直 到六十年代，由于整个科学技术的发展和电子计算机的应用，测量控制网的优 化设计问题引起了测绘学者的重视，尤其是近 2 0 年来，控制网的优化设一直 是人们感兴趣的课题之一。值得提及的是 baarada 对控制网的质量标准问题进 行了入的研究，提出了评价控制网质量的三项标准，即精度、可靠性(即抵抗观 - 6 - 测粗差即其影响的能力)和经济性，并于 1971 年首先引入了准则矩阵的概念， 提供了一种更为全面和密的精度标准。grafarend 对控制网优化设计问题作了广 泛的理论研究，提出了现已为国际上所公认的四阶段优化分类概念，系统地应 用了各种数学规划方法来解决控制网优化设计问题。在 1972 年 grafarend、schaffin 导出了具有均匀和各向同精度结构的准则矩阵，即著名的 taylor - karman 结构，简称 tk 结构。他们的工作为控制网的优化设计奠定了 理论基础。 在 gps 技术广泛应用于测量工作以前，控制网的优化设计理论与方法主要 应用于传统的二角网、边角网、导线网以及变形监测网，其内容涉及:各种准则 矩阵的构成，网形优化设计、观测权优化设计和附加观测值的优化设计，其目 标函数主要有精度(包括整体精度与局部精度)、可靠性(内部可靠性和外部可靠 性)、经济性、灵敏度等。采用的主要方法主要有解析法( analytical method)和 机助模拟法(computer aided simulative method)，解析法设计的原理为在各阶段 设计中根据固定参数及有关的约束条件，对待定参数求最优解，其函数模型可 表示如下: llvxd ssxb rrxa l s , 2 , 1 2 , 1min , 2 , 1max 1 r 约束条件： ：目标函数： 式中( )表示不等式或不等式或等式 求待定参数的方法主要是线性规划法，但由于实际的控制网约束条件 复杂，不确定因素很多，很难计算出可行解，因此解析法主要用于小范围的精 密工程控制网。 模拟法是指对于初步确定的网形与观测精度，模拟一组起始数据与观 测值，输入计算机，然后根据平差原理计算出未知参数及其函数的精度，估算 成本，或进一步计算观测值的可靠性、敏感性等信息，与预定的精度要求、成 本约束、可靠性约束等相比较;根据计算机所提供的信息与设计者的经验，对控 制网的基准、网形、观测精度等进行修正;然后重复计算，直至获得符合各项设 计要求的较理想的设计方案。其工作流程可示如下: - 7 - 显然，模拟法由于所得的最后结果会受到设计者经验的影响.只是一种相对 的最优，而非严格最优方案，但是这种方法的数学模型不需建立。可以用于任 何类型的设计优化问题，同时，它的最后结果一定是满足要求的、切实可行的 近似最优方案。 1.2 gpsgps 控制网的发展历史控制网的发展历史 近十年来，随着 gps 技术的出现，由于其具有控制点间不需要相互通视、 测量速度快、精度高、能全天侯作业等常规测量方法无法比拟的优点，在城市 或工程控制网的测量中，它基本己取代了常规的测量方法，因此对 gps 网的设 计与优化进行研究具有较强的现实意义和广阔的应用前景。目前，人们对 gps 网形设计主要形成了以外一些观点，一些人认为 gps 网的图形矩阵 a 类似于水 准网，而在水准网中的设计矩阵 a 与网的点位无关，也就是说 gps 网的优化设 计类似于相应的水准网的优化设计，也有文章认为 gps 网的网形，即点位的分 布， 则主要考虑点的观测条件及未来扩展的方便，观测权的优化设计对 gps 网 意义不大，也有一些人主张加测 gps 基线以增加网的图形强度。但还未和常规 控制网的优化设计一样，对 gps 网的优化设计进行系统的研究，其主要原因在 于和常规的测量方法相比较，gps 观测具有以下特点： 具有更为复杂的函数、随机模型，这些模型的先验信息在设计阶段难于 获取和准确估计，即在实测前，各基线观测向量的误差(权逆阵)与模型误差一 样属于非参数估计； 基线观测问题不受或几乎不受)通视条件限制，因而 gps 网具有更为 灵活，多样的布网形式，为优化设计提供了更为确实可行的条件。 - 8 - 这些特点决定了 gps 网优化设计与实测方案难于完全吻合，即“最优”设计仅 有理论上的意义而并非能在实测中完全准确实现，对 gps 网的优化不仅对网形 进行优化，而且还应对基线向量的观测时段、每时段的观测长度、地面点的几 何精度因子(gdop)等指标进行优选，因而导致了 gps 网优化设计的复杂性。 1.3 gpsgps 控制网的技术设计控制网的技术设计 gps 是英文 navigation satellite timing and ranging/global positioning system 的字头缩写词 navstar/gps 的简称。它的含义是：利用导 航卫星进行测时和测距，以构成全球定位系统。gps 具有全能性、全球性、全 天候、连续性和实时性的精密三维导航与定位功能，而且具有良好的抗干扰性 和保密性。因此，gps 技术在大地测量、工程测量、航空摄影测量、海洋测量、 城市测量等测绘领域得到了广泛的应用。 建立城市或其它局部性 gps 控制网是一项重要的基础性工作，而技术设计 则是建立 gps 网的第一步，是保证 gps 网能够满足经济建设需要，并保证 gps 成果质量可靠的关键性工作。因此，必须科学地、严谨地作好这一工作。gps 网设计设计的一般原则包括以下几个方面。 1 充分考虑建立 gps 控制网的应用范围 对于工程建设的 gps 网，应该既考虑勘测设计阶段的需要，又要考虑施工 放样等阶段的需要。对于城市 gps 控制，既要考虑近期建设和规划的需要；又 要考虑远期发展的需要；还可以根据具体情况扩展 gps 控制网的功能，充分发 挥 gps 网和测绘工作在城市建设中的作用。 2 采用分级布网的方案 适当地分级布设 gps 网，有利于根据测区的近期需要和远期发展分阶段布 - 9 - 设，而且可以使全网的结构呈长短边相结合的形式。与全网均由短边构成的全 面网相比，可以减少网的边缘处误差的积累，也便于 gps 网的数据处理和成果 检核分阶段进行。分级布网是建立常规测量控制网的基本方法，因为 gps 测量 有许多优越性，所以并不要求 gps 网按常规控制网分很多等级布设。例如，大 城市的 gps 控制网可以为三级：首级网中相邻点的平均距离大于 5km；次级网 中相邻点平均距离为 15km；三级网相邻点平均距离可小于 1km，且可采用 gps 与全站仪相结合的方法布设。对于小城市，分两级布设 gps 网即可。 为提高 gps 网的可靠性，各级 gps 网必须布设成由独立的 gps 基线向量边 （或简称为 gps 边）构成的闭合图形网，闭合图形可以是三边形、四边形或多 边形，也可以包含一些附和路线，gps 网中不允许存在支线。 3 gps 测量的精度标准 gps 测量的精度标准通常用网中相邻点之间的距离中误差表示，其形式为： 式中：距离中误差（mm） ； a固定误差（mm） ； b比例误差系数（ppm） ； d相邻点的距离（km） 。 2001 年实施的“全球定位系统（gps）测量规范”将 gps 的测量精度分为 aae 六级（见表 1） 。其中 aa、a、b 三级是国家 gps 控制网，c 级主要用于大、 中城市及工程测量的基本控制网，d、e 级主要用于中、小城市、城镇及测图、 勘测、建筑施工等控制测量。 - 10 - 项目 aaabcde 固定误差 a（mm） 358101010 比例误差系数 b（ppm） 0.010.1151020 相邻点最小距离（km） 30010023421 相邻点最大距离（km） 300090021036208 相邻点平均距离（km） 10003007010155100.25 表 1 在 gps 网的技术设计中，应根据测区大小，gps 网的用途，来设计网的等 级和精度标准。 4 坐标系统与起算数据 gps 测量得到的是 gps 基线向量，是属于 wgs84 坐标系的三维坐标差，而 我们需要得到的是属于国家坐标系或地方独立坐标系的坐标。为此，在 gps 网 的技术设计中，必须说明 gps 网的成果所采用的坐标系统和起算数据，也就是 说明 gps 网所采用的基准。 gps 网的基准与常规控制网的基准类似，包括位置基准、方位基准和尺度 基准。 当测区有旧的地面控制点成果时，应既考虑充分利用旧资料，又要使新建 的高精度 gps 控制网不受旧资料精度较低的影响。为此，应将新的 gps 网与旧 控制点进行联测，联测点一般不应少于 2 个。 gps 望的坐标系统应尽量与测区过去采用的坐标系统一致，如果采用的是 - 11 - 地方独立坐标系，一般应该了解以下几个参数： a.所采用的参考椭球体，一般是以国家坐标系的参考椭球为基础； b.坐标系的中央子午线的精度值； c.纵、横坐标的加常数； d.坐标系的投影面高程及测区平均高程异常值； e.起算点的坐标。 gps 网的位置基准，通常都是由给定的起算点坐标确定。方位基准可以通 过给定起算方位角值确定，也可以由 gps 基线向量的方位作为方位基准，尺度 基准可以由地面的电磁波测距边确定，或由两个以上的起算点之间的距离确定， 也可以由 gps 基线向量的距离确定。 5 gps 点的高程 为了得到 gps 点的正常高，应使一定数量的 gps 点与水准点重合，或者对 部分 gps 点联测水准。为了便于进行水准联测，且便于进行 gps 观测，提高 gps 作业效率，gps 点一般应设在交通方便的地方。 1.4 gpsgps 控制网的图形设计控制网的图形设计 1.4.1 网的图形设计主要是根据网的用途和用户要求，侧重考虑如何保证 和检核 gps 数据质量；同时还要考虑接收机类型、数量和经费、时间、人力及 后勤保障条件等因素，以期在满足要求的前提条件下，取得最佳的效益。 设计的一般原则 （1）gps 网一般应采用由独立观测边构成的闭合图形。例如三角形、多边 形或附和线路，以构成检核条件，提高网的可靠性。 - 12 - （2）gps 网点尽量与原有的地面控制网点相重合。重合点数应多于 3 个， 以便可靠地确定 gps 网与地面网之间的转换参数。 （3）gps 网点应考虑与水准点相重合，而非重合点一般应根据要求以水准 测量方法进行联测。 （4）为便于观测和水准联测，gps 网点一般应设在视野开阔和交通方便的 地方。 （5）为了便于用常规方法联测或扩展，c、d、e 级控制网点应有 12 个方 向通视。 1.4.2 gps 网的基本形式 根据 gps 测量的不同用途，gps 网的几何图形结构，有以下三种形式。 （1）三角形网 如图 1 所示。图中各三角形边是由非同步观测的独立边所组成。这种 网的几何图形结构强，具有良好的自检能力，能有效地发现观测成果的粗差， 确保网的可靠性。经平差后网中相邻点间基线向量的精度分布均匀。 图 1 gps 三角网 这种网的主要缺点是观测工作量较大，尤其当接收机的数量较少时，将使 观测工作的时间大为延长。因此，通常只有当网的可靠性和精度要求较高时， - 13 - 才单独采用这种图形结构的网。 （2）环形网 由若干个含有多条独立观测边的闭合环所组成的网，称为 环形网，如图 2 所示。这种网的图形结构强度较三角网差，其优点是观测工作 量较小，具有较好的自检性和可靠性。其缺点主要是非直接观测的基线边（或 称间接边）精度较直接观测边低，相邻点间的基线精度分布不均匀。由于环形 网的自检能力和可靠性与闭合环中所含基线边的数量有关，所以，一般根据网 的精度要求，规定闭合环中包含的基线边的数量。表 2 是相应于表 1 所列精度 要求所提出的规定。 类级 abc 闭合环中的边数 81012 表 2 闭合环基线边数的限值 三角网和环形网是大地测量和精密工程测量普遍采用的两种基本图形。通 常，根据实际情况往往采用上述两种图形的混合网形。 图 2 gps 环形网 （3）附和线路和星形网 在 gps 高级网中需进一步加密控制点时，可采用附和线路，如图 3 所示。 为保证可靠性和精度，附和线路所包含的边数也不能超过一定限制。 - 14 - 图 3 附合线路 星形网的几何图形如图 4 所示。其图形简单，直接观测边之间不构成任何 闭合图形，所以检验和发现粗差的能力差。这种图形的主要优点是观测中只需 要两台 gps 接收机，作业简单。它广泛地应用于工程测量、边界测量、地籍测 量和碎部测量等方面，定位中采用快速定位的作业模式。 图 4 星形网 1.5 gps 网形的特点 (1) gps 网的同步环与异步环 gps 同步观测是指使用台 gps 接收机，同时在相同的时段内连续2mm 跟踪接收相同的卫星组信号。通常称同步观测的时间段为时段或测段，台m gps 接收机在一个时段内同步观测，可以由软件算得各点间的 gps 基线向量(或 简称 gps 边)，这些 gps 边可以构成一个完全图，图形中包括的 gps 边的边数为: （1-3-1）2/1mmnb 但其中仅有 m-1 条是独立的 gps 边，其余的都是非独立的 gps 边，非独 立的 gps 边可以由独立的 gps 边推算得到。 当同步观测的 gps 接收机数时，独立的 gps 边和非独立的 gps 边将3m 构成闭合的多边形环，称为多边形闭合环，同步闭合环的最少个数为: （1-3-2） 2/211mmmnn br 理论上，同步闭合环中各 gps 边的坐标差之和（即闭合差）应为 0，但 - 15 - 因为有时各 gps 接收机并不是严格同步和各种误差的影响，使得同步闭合环的 闭合差并不等于零，只要同步闭合环的闭合差不超过限差，则认为此测段的 gps 观测是合格的，但并不能说明 gps 边的观测精度较高，也不能发现接收机 的信号受到干扰而产生的粗差。 为了确定 gps 观测效果的可靠性，有效地发现观测值的粗差，必须使 gps 网的独立边构成一定的几何图形，这种几何图形可以由数条 gps 独立边构成非 同步多边形 （或称为非同步闭合环、异步环） ，如四边形、五边形等，gps 网中的图形设计，就是根据所布设的 gps 网的精度、可靠性及其它方面的要求， 设计出由独立 gps 边构成的多边形网（ 简称为 gps 网） 。 (2)gps 网中各要素之间的关系 gps 网形可以由图论来描述，从其组成要素上来看，它类似于 gis 空间数 据的构成要素，也是由点、线、面构成的，这里的点是指已选定位置的 gps 点， 线表示两点之间存在独立的 gps 边，面指由独立的 gps 边构成的异步环。 gps 网形是靠一定数量的 gps 接收机在野外观测一定数量的时段而实现的， 因此在设计网形、编制观测纲要时一定要建立这些量之间的关系。设为 gps p n 点的个数，为整个网中的独立边数，为异步环的个数。在 gps 测量规范 b n r n 中，有的要求网中异步环的边数小于某个给定的整数值，有的要求每个点上至 少应设站两次，实际上这两个规定有其一致性。 （）当要求 gps 网由 m 边形组成时，存在以下关系: （1-3-3） 1 1 21 pbr b nnn kmkn 其中： 2 2 int 1 m n k p 0 2 2 1 0 2 2 2 2 2 mod 2 m n m n m n k p pp int( )表示取整数，mod ( )表示取余数，对于不同的和 m ，按上式 p n 计算出相应的和，从上式可以看出，在根据测区范围和精度要求确定 b n r n 和 m 以后，可以由上式求出需 要观测的独立的 gps 边数和，从而对 p n b n r n 布设 gps 网的工作量有一个恰当的估计。 （）当要求每个点上至少设站次时:2tt 对于一个有个点的控制网，如果在每个点上至少设站 t 次，则共应 p n - 16 - 设站次，如果用于观测的 gps 接收机有 m 台，则需要观测的总时段数 k 为: p tn （2-3-4） m tn m tn m tn m tn m tn m tn k ppp ppp int1int intint ， ， 此时，独立的 gps 边和网中闭合环数为: （2-3-5） 11 1 pr b nmkn mkn 1.6 gps 系统的应用前景 当初，设计 gps 系统的主要目的是用于导航、手机情报等军事目的。但是， 后来的应用开发表明，gps 系统不仅能够达到尚书目的，而且用 gps 卫星发来 的导航定位信号能够进行厘米级甚至毫米级精度的静态相对定位，米级至亚米 级精度的动态定位，亚米级至厘米级精度的速度测量和毫微秒级精度的时间测 量。应此 gps 系统展现了极其广阔的应用前景。 其主要应用有： (1)在控制测量中的应用； (2)在精密工程测量及变形监测中的应用 (3)在航空摄影测量中的应用 (4)在线路勘测及隧道贯通测量中的应用 (5)在地形、地籍及房地产测量中的应用 (6)在海洋测绘中的应用 (7)在智能交通系统中的应用 (8)在地球动力学及地震研究中的应用 (9)在气象信息测量中的应用 (10)在航海航空导航中的应用 - 17 - 2 gps 网的精度和可靠性 2.1 gps 网平差的数学模型 大地测量控制网的优化设计是通过调整观测点的位置及观测方案来达到使 目标函数最优的目的，为此，首先要建立起观测量、未知参数、观测量的权以 及未知参数的方差、协方差矩阵之间的函数关系。 gps 接收机的初始观测量是瞬时载波相位差.而未知参数包括卫星坐标的改 正量、地面点的坐标以及一些系统误差参数 (卫星钟差、接收机钟差、电离层、 对流层的折射延迟以及整周模糊度等)，作为第一步，首先要解出基线向量，文 献2对 gps 基线向量的解算已有详细叙述，本文不再述及。而以基线向量作 为观测值的网平差的数学模型和随机模型正是本文所关心的。 “基线选择法”是 gps 控制网平差最常用的方法，它通过选择独立基线来组 成平差网形，分为两个过程，首先解算出同一时段的基线向量，然后从基线向 量中选取独立的基线向量进行网平差。在网平差阶段，将地面点在的三维坐标 当成待求的未知参数，从而得到以下的 gauss-markov 模型: axre )( (2-1-1) r crd )( 这里 a 是由 0，1 组成的图形矩阵，x 是待定点的近似坐标改正数向量，而r 则由下式给出 : （2-1-2）)( 21 t n tt rrrr (2-1-3) i i i k k k j j j kji z y x z y x z y x rrr 获得 (3-1-1)式基线向量方差的方式有两种，第一种方法是采用基线 向量解算时计算出的方差和协方差阵作为验前协方差阵，第二种方法是在基线 向量的经验公式。的基础上采用验后最小范数二次无偏估 2222 sba i 计(minque 估计)得到，其中常数 a、b 分别为接收机的固定误差和比例误差系 数，s 为基线长度。 在 gps 网的优化设计中，由于没有实际观测值，采用以下的经验公式作为 基线向量各分量的近似精度: (2-1-4) 2222222 3/ izyx sba iii 若某 gps 网有 n 条基线，并不考虑同一基线各坐标分量之间的相关性，则 所有基线分量的方差、协方差阵可表示为: - 18 - （2-1-5） iirr idiagcdiagc j 2 ni2 , 1 其中 diag是一个由 n 个的单位矩阵所组成的对角阵。 ii i 2 33 2.2 误差的传递与转换 gps 网精度估算是指在选定的基准条件下，通过误差传播律来近似计算待 定点的方差和协方差、各点之间的相对中误差、或边长、方位角误差等。若以 表示 gps 网中所有点的协方差阵，由于其它量 (如边长、方位角等)均为坐 xx q 标未知数的函数，因此也可以用误差传播律来求坐标未知数函数的协方差( ),因此 gps 网的精度评定主要是计算精度估算与网平差的区fqfq xx t ff xx q 别在于:精度估算中作为观侧值的基线向量是一个未知量，其先验的协方差未知， 而在网平差中，基线向量的协方差阵己在基线解算中获得，其次，网平差中常 数项可以准确地计算出，而在设计阶段，其值未知。在精度估算中，基线向量 各分量的先验精度采用 (3-1-4)式的计算方法获得，在网形设计阶段，我们最 关心的是在独立坐标系下的精度，因此误差要经过以下一系列的计算和传播过 程。 1 gps 网的三维平差 设任意两点 i, j 的 gps 基线向量观测值为(),它门是 wgs- ijijij zyx, 84 坐标系中的空间直角坐标差，又设待定点在 wgs-84 坐标系中的空间直角坐 标为未知参数并记为: （2-2-1） i i i z y x i i i i i i z y x z y x 0 0 0 其中，()为坐标近似值，()为坐标平差值，(,)为 000 , iii zyx iii zyx , , i x i y i z 坐标改正数，容易得出 gps 基线向量观测值()与未知参数存在以 ijijij zyx , , 下关系: (2-2-2) i i i j j j zij yij xij ij ij ij z y x z y x vz vy vx z y x y y y _ 式中，()表示为()的改正值，从而写成 ijijij zyx vvv, ijijij zyx , , 误差方程的形式: - 19 - （2-2-3） 设某 gps 网中共有 m 个点，观测了 n 条基线，则上式写成矩阵的形式为: （2-2-4）lxav v: 3n 1 阶矩阵，表示基线向量的改正数 a: 3n 3m 阶矩阵，称为系数矩阵或图形矩阵，与网形有关 :3m 1 阶矩阵，坐标未知数的改正数:x l:常数项向量。 (2-2-4)式是不包含基准条件的误差方程，其系数矩阵是秩亏的，无法求解， 对于三维控制网而言，本应包含三个位置基准，一个尺度基准，三个方位基准， 在网平差时可以通过以下约束条件来获得网的基准: (1)固定约束 (即固定点的坐标值): (2)条件约束 (即通过使某些未知参数之间满足给定的条件); (3)权值约束 通过给某些观测量或未知量分配很大或很小的权)。 对于 gps 网，作为观测值的 gps 基线向量包含了尺度和方位信息，因此， 在 wgs-84 坐标系中平差时，可以取 gps 基线向量提供的尺度基准和方位基准， 在此，我们取 b 点的单点定位的三维坐标作为固定值，从而可以写出基准方程: （2-2-5） 0 0 0 b b b z y x 写成矩阵形式为:0 1 xgt （2-2-6） 00000 00100 00010 1 t g (2-2-4), (2-2-6)式联立，即为附加基准条件的 gm 模型，在最小二乘准则 下求解得: (2-2-7)plaqplaggpaax tttt 1 1 11 (2-2-8) 11 paqaqq t xx 需要说明的是，在城市或大型工程控制网中，经常采用分级布网的方案， 对于分级布设的 gps 网，首级网一般采用只固定一个位置基准的无约束条件的 0 0 0 _ ijij ijij ijij z y x z y x z y x zz yy xx v v v i i i j j j ij ij ij - 20 - 三维平差，而次级网是在固定多个首级网点的情况下的有约束条件的三维平差， 很明显，次级网的误差也包含首级网的误差，在次级网点的精度评定时，一定 要考虑首级网的误差，具体的估算方法将在以后的章节中详细述及。 2 gps 网空间直角坐标的协方差阵转换成大地坐标协方差阵 gps 网在空间直角坐标系下进行三维平差之后，需要在椭球下(wgs-84 椭球、国家椭球或地方区域椭球) 将空间直角坐标( x y z ) 转换成大地坐 标 ( b l h)，有以下熟知的公式: （2-2-9） nbyxh yxbnezarctgb xyarctgl cos/ /sin / 22 222 其中 为椭球的第一偏心率，n 为卯酉面的曲率半径，对 e be a w a n 22 sin1 上式微分，得出大地坐标与空间直角坐标的微分关系: t xyzblh rqrq 11 3 gps 网大地坐标协方差阵转换为高斯坐标协方差阵: gps 的大地坐标要变换成平面坐标，要通过高斯投影来得到，而高斯 投影要先选择中央子午线，中央子午线可以按国家坐标系的 3 度、6 度带来选 择，也可以选择任意的中央子午线，如在城市独立坐标系中，一般选择过城市 中心区域的经线做为中央子午线。通过高斯投影的正算可以得到各网点的高斯 坐标及其协方差阵。其协方差计算可以采用如下: dl db r d d g y x b l bnblm blbnb l m rg 2 2 2 2 sin21 2 1cossin cossinsin21 2 1 其中: m , n 分别为子午面和卯酉面的曲率半径，经差(为 中 0 lll 0 l 央子午线经度),按误差传播公式，存在下式: t gblhgxy rqrq 2.3 相对点位精度的合理评定 普通的( 绝对)点位精度是指控制点相对于一组起算数据(包括起算点 的坐标、起算方位角和起算边长)的精度，而传统的相对点位精度评定方法是利 - 21 - 用坐标差来确定两点之间的相对点位精度: (2-3-1) kjj kkjkkjjjkjj yykyy yxyxyxyxxxkxx yxy yxx ddd ddddddd dd dd 2 2 对称 这种相对点位精度的评定方法与绝对点位精度相比较，仅仅是改变了起算 点的位置，而没有改变起算方位角和起算边长的位置，因而理论上是不严密的 训，不能合理地评定两点之间的相对精度，而在实际工作中，有时需要根据不 同位置的起算数据来分析控制网的精度。例如在工程控制网中，为确定离起算 数据较远的控制点是否满足精度要求，有时并不要求这些点相对于原起算数据 有很高的精度，而只要求它们相对于邻近某个点、某个方位和边长的相对精度， 为了便于合理地评定相对点位精度，我们把平差基准分为坐标基准和方差基准。 1 坐标基准 在平差问题中，待估的未知参数往往不是观测值，例如在 gps 网平差中， 观测值更准确地说应该是伪观测值)为基线向量，而取点的坐标为参数，如果 没有足够的基准条件，这种坐标参数是无法确定的，这种起算数据称为平差问 题的基准。为了便于和后面提出的方差基准区分，我们称此基准为坐标基准。 gps 测量的基准条件可统一表示成为下式: (2-3-2)0xgt 若在基准条件为的条件下，则附基准条 件的 guass-markov 模型表示为: 1 g (2-3-3) 0 11 1 xg lxav t 在最小二乘准则下组成法方程:( 其中: k 为附加的参数向量): (2-3-4) 0 11 11 xg plakgxn t t 上式中由于 n 秩亏，令， 对上面两个方程进行矩阵的初等 t ggnn 11 变 换，可以证明 n 是满秩的，按文献的分块矩阵求逆公式，可得到(3-3-5) ， 这与文献的附参数条件的间接平差计算结果是一致的。 = 000 2212 1211 1 11 pla qq qqpla g gn k x tt t (2-3-5) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 11 pla gngnggng gnggnggnggnn t ttt ttt - 22 - 即： (2-3-6)plarplanggnggnnx t n ttt ) ( 1 1 1 1 1 11 1 11 (2-3-7) nnx nrrq 1 在只固定一个基准点的情况下，上式可简化为： (2-3-8)plaggnx tt 1 111 (2-3-9) 1 11 1 111 tt x ggnnggnq 但在城市控制网的首级网和工程控制网中，一般只取 gps 基线的尺度基准， 采用固定一个地面网的基准点和一个起始方位的无约束条件的三维平差，因此， 在 wgs-84 坐标系中对基线向量进行三维平差时应加入方位角信息。若以为 0 p 基 准点，以的大地方位角为方位基准，由 gps 三维坐标差求得的大地坐 10,p p 标方位角为: (2-3-10) 0100100100 010010 01 cossincossin cossin zbylxlb ylxl arctga g 令 ， 0100100100100100 cossin,cossincossinylxlvzlylxlbu 对上式线性化，得 （2-3- 22 000100010133 22 00010010122 22 00010010111 /coscoscossin/ /coscossin/ /cossinsin/ 1 1 1 vublybbxddaa vublzbxddaa vublzbyddaa z g y g x g 11） 在加入方位角条件下，基准变为： （2-3- 332211 2 000 000100 000010 000001 aaa g 12） 为方便计算，可以将基准条件中的方位角条件作为伪观测值，取其权值为 无穷大，在有 m 条基线的情况下，在附加第 3 m + 1 个条件方程(3-3-13) ，从 而仍可以沿用(3-3-8)和(3-3-9)式: (2-3-13) 1313 mm lxav 2 方差基准 在选定的坐标基准下，若同时默认起始数据的方差为零，即可得出重 - 23 - 合于坐标基准的协方差基准，在此基准条件下得出的平差后网点坐标的协方差 阵就是通常所说的相对于起算数据的绝对点位精度(绝对点位精度) 。如图，设 4,7 点 为某隧道控制网的两个洞口点，设所选定的坐标基准条件为固定 1 点即 1 g 1-2 方位，而我们所关心的并非洞口点的绝对点位精度，而是在固定 7 号点和 7 -3 方位条件下(称为)4 号点的点位精度。在测量控制网中，我们关心的是平 2 g 面坐标系 f 的点位精度，由于大地方位角和地面独立坐标系的起始方位角只差 一个极小量的旋转角，因此在空间三维直角坐标系中固定大地方位角与在平面 上固定坐标方位角是等价的，完全可以在二维的独立坐标系下对控制网进行协 方差基准变换，若以点为墓准点，两点的方位角为起算方位角,(2-3-12)的 0 p 10,p p 三维基准条件与下面的二维基准条件是一致的: （2-3-14） 00cossincossin 000010 000001 01010101 1 t g 故在三维平差中，由三维基准条件与二维基准条件的一致性，将空间三维 直角坐标下的坐标协方差阵转换成平面坐标协方差阵后.再沿用文献列出的 19 协方差基准的性质和转换公式，并由这些性质检验协方差基准的正确性，具体 的公式在此不再推导。 3 在不同的方差基准下求相对点位梢度的实用公式 设在给定的坐标基准条件下，未知点的协方差阵经过三维平差以后，经过 前已述及的一系列变换，得到了其高斯坐标的协因数阵，设新的方差基准 1 x q 条件 为固定 点及之间的坐标方位角，取： 2 giji, （2-3-15） 2 2 1 1 101010 010101 mm t xyxyxy g - 24 - 式中，。 ij il l s xx x ij il l s yy y mi1 条件也可写为: 2 g （2-3-16） 0cossincossin00 0001000 0000100 2 ijijijij t g 如果求出所有点在新方差基准下的协因数阵，其计算量会相当庞大，也会 占用较多的内存，而在实际工作中，我们只需要评定某两个点的相对点位精度， 即某个点如 k 点)在新的方差基准下的点位精度，故可对式简化。 2.4 gps 控制网的可靠性 控制网的可靠性概念是为研究模型误差 (土要是粗差和系统误差)而提出来 的，用来描述网本身发现某一模型误差的能力的指标称为网的内部可靠性，控 制网抵抗模型误差的能力称为网的外部可靠性。 在工程