《数值分析》课程中教学内容的分析设计.doc

编号楚 雄 师 范 学 院 本科生毕业论文（设计） 题 目 数值分析课程中教学内容的分析设计 专 业 信息与计算科学 年级班级 10级 3班 学 号 20101022108 学生姓名 罗世豪 指导教师 刘 鹏 职称： 副教授 教务处印制目 录摘 要1abstract2前言31、 数值分析课程的教学大纲及基本要求41.1、绪论41.2、解非线性方程的数值方法41.3、线性方程组的数值解法41.4、解线性方程组的迭代法51.5、插值方法51.6、函数逼近与数据拟合51.7、数值积分51.8、常微分方程的数值解62、 hyperlink l _toc355644471 数值分析课程的教材分析63、数值分析课程的教学内容及实验报告分析73.1、预备知识分析73.2、非线性方程错误！嵌入对象无效。的解法分析73.3、线性方程组错误！嵌入对象无效。的数值解法分析103.4、插值与多项式逼近分析123.5、曲线拟合分析193.6、数值微分分析223.7、数值积分分析253.8、微分方程求解分析303.9、特征值与特征向量分析314、结束语33参考文献34致谢35摘 要数值计算方法是信息与计算科学、数学与应用数学本科专业必修的一门专业基础课程，学生需在掌握数学分析、高等代数和常微分方程的基础知识之上，学习本课程，在实际中，数学与计算技术一向有着密切关系相互影响，科学技术各领域的问题通过数学建模与数学产生密切的联系，并以各种形式运用于科学和工程领域，而所建立的这些数学模型，在许多情况下，要获得精确的值是十分困难的，有时是不可能的，这就使得研究各种数学问题的近似解变得十分重要了，数值计算方法就是专门研究各种数学问题的近似解的一门课程，通过这门课程的教学，使学生掌握用数值分析方法解决实践问题的算法原理及理论分析，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。随着计算机技术的迅速发展和广泛应用，在众多领域内，人们在越来越多的问题中是通过计算matlab程序来实现的。计算数学是数学与计算机科学的交叉科学，它既有数学的抽象性与严密性，又有计算机科学的实践性和技术性。基于计算数学的以上特性，人们也越来越注重使用计算数学方法来完成许多的问题。本论文就数值分析课程中教学内容进行分析设计。关键词：数值分析；计算数学；分析设计abstractnumerical calculation method is a compulsory courses of undergraduate and information，calculation science，mathematics and applied mathematics is involved, students study this course based on the knowledge of mathematical analysis,higher algebra and differential equations,in reality,mathematical and computational techniqu -es have traditionally been closely relationship,through mathematical modeling and mathematics,every field of science and technology questions is connected closely , and in various forms used in the fields of science and engineering,in many instances, it is very difficult to obtain accurate values and impossible,this makes the study of various mathematical approximate solution of the problem has become very important, the numerical method is a course that approximate solutions specializes in all kinds of mathematical problems,enable students to master the numerical analysis method practical problem solving algorithm and principle and theory analysis by teaching this course,to improve the students ability to use mathematical knowledge to solve practical problems at the same time. with the rapid development and wide application of computer technology, people are more and more problems are calculated in many areas by realize the matlab program, computational mathematics is a cross science of mathematics and computer science,and it have the property that abstract and rigorous of mathematics,practice and techniques of computer science,based on the above characteristics of computational mathematics, people are also more and more solve many problems by computational mathematics,the course of teaching content of numerical analysis will be analysis and design in this articlekey words:numerical analysis,computational mathematics；analysis and design前言数学作为一门基础科学，一直是理工类学科的基础，是物理、化学等学科用来描述自然规律的语言。所以高等数学课程是理工类大学生的必修课程，高等数学的教育也是大学生本科教育中的重要组成部分传统的数学教育以高等数学分析为主，强调学生的理论分析、公式运用的能力由于数学问题固有的复杂性，使得许多理工学科专业问题在数学上解析求解无法实现传统的数学分析可以描述问题，却不能解决问题，这个矛盾让许多大学生感到数学“看似有用，实则无用”，同时也使得许多大学生在学习数学时毫无兴趣，毕业以后缺乏运用数学解决问题的能力这样以至于一方面，数学工作者注重理论分析，缺乏从实际问题提炼数学模型的能力；另一方面，实际工作者缺乏运用数学工具处理数学模型的能力在传统的高等数学分析在解决实际问题中看似无用的时候，另外一些数学分支却迅速发展起来 随着计算机的发展，计算数学和应用数学中的各种方法也相应发展起来，特别是应用数学，它已经越来越渗透到其它非理工学科和各行各业中，尤其表现在生命科学、政治、军事、经济等非传统数学应用领域同时许多教师在实践中也认识到，现有的大学数学教学内容与实际要求相去甚远它既是必修课程，又具有像数学建模那样培养学生分析问题、解决问题能力的课程呢?事实上，现有的数学课程中，数值分析课程本身就具有一定的理论教学与实践的意义 数值分析是一门介绍适合于在计算机上使用的数值分析方法的课程，有时也称为计算方法课程，与其它相关数学课程相比，数值分析方法是偏重于应用的一门课程，其中的理论和方法不仅在其他专业课程中常常运用，而且在解决实际问题中也常常会用到数值分析方法课程的基础是数学分析、线性代数、微分方程等数学理论，这些理论都为普通工科高等数学教育所覆盖，它的内容大体包括三个部分：数值逼近、数值代数、微分方程数值求解数值分析方法作为理工科学生的一门必修课，它的特点是： 注重方法性和实用性数值分析中的许多方法的理论基础是在高等数学中学习过的内容，但是与在高等数学中强调理论分析不同，它更注重怎样运用这些理论分析的结果例如，差商型数值微分公式就是高等数学中taylor级数的运用，函数插值综合运用了线性代数中函数空间的概念与高等数学中的微分中值定理，追赶法运用了线性代数中矩阵分解理论数值分析课程是一门更注重应用的科学，特别注意在方法的精确性和有效性之间平衡1、 数值分析课程的教学大纲及基本要求1.1、绪论掌握误差的来源与误差的基本概念，包括：误差的来源、绝对误差与绝对误差限、相对误差与相对误差限、有效数字等的概念，同时要学生理解数值计算中需要注意的问题：避免两个相近的数相减、 防止大数“吃掉”小数、注意简化计算步骤、减少运算次数1-2。本章作为绪论，应先讲一些有关数值分析的基本知识，如数值分析是处理哪些问题，在工程有什么用途，以及如何学习数值分析课程。本章的内容只要作简单介绍，考试内容不会涉及到本章的知识点，让学生记住1。2节的三点避免两个相近的数相减、防止大数“吃掉”小数和避免误差的传播与积累，其中避免误差的传播与积累书上没有，作为补充。在第一节课，告诉学生，本学期数值分析的教学作部分改革并注意以下事项：1.2、解非线性方程的数值方法掌握二分法、迭代法、newton等三种方法的基本概念和定理、算法的基本思想、误差估计与收敛性分析及算法和算法的优缺点本章的重点是二分法的基本思想、误差估计，以及算法的优缺点。重点是让学生掌握如何判定非线性方程组在区间内有根；如何计算迭代次数；二分法是局部收敛还是大范围收敛的。迭代法的基本思想和几何解释。由误差估计导出算法的终止条件。考试题可能会涉及到如何选择迭代格式使迭代收敛，给出某种迭代格式，如何判断它的收敛阶，迭代加速只简单介绍了解即可。newton法的基本思想和几何意义，如何用newton求非线性方程的根。newton在什么情况下收敛是二阶的，什么情况下是一阶的。考试题要求学生用newton法导出某种计算公式（如在没有开方运算的情况下，如何计算一个数的开方）。1.3、线性方程组的数值解法在消去法这一部分，需要学生掌握gauss消去法、列主元gauss消去法、gaussjordan消去法本节只要求学生会用列主元消去法求解方程组即可，没有太多知识点。矩阵分解要求学生会作矩阵的lu分解并用lu分解求解线性方程组。对称矩阵的cholesky分解中的平方根法，即cholesky分解。正定矩阵的性质只作为复习。平方根法的可能是作cholesky分解，或者一个矩阵能作平方根法的条件等。向量与矩阵的范数要求到会计算向量与矩阵的范数，判断什么情况下是范数。方程组的性态主要介绍条件数和病态方程组的概念。基本要求会计算条件数。1.4、解线性方程组的迭代法掌握jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法求解方程组。以及迭代法的收敛性（ 迭代收敛定理、迭代收敛速度）。在对角占优阵一节中，掌握如何判断迭代格式收敛。如何判断是否收敛；给出矩阵（带有参数）两种迭代格式的收敛区域是什么。超松驰(sor)迭代法的迭代法、收敛性。1.5、插值方法掌握lagrange 插值多项式及lagrange 插值公式的计算会推导或写出lagrange插值多项式，知道插值多项式是存在且唯一，会估计插值余项。newton 插值法需要掌握什么是均差及 newton基本插值公式、差分、等距节点的newton插值公式知道均差与导数之间的关系（会出考试题）。学会用差分计算恒等式。等距节点的newton插值公式只作简单介绍。hermite 插值需要知道简单推导二次和三次的hermite插值公式，掌握hermite插值的思想，并不用具体计算。考试题可能会是这样，给二、三个的函数值，一、二个点的导数值，用学过的方法构造出一个多项式。分段低次插值中runge 就给出了一个等距插值多项式不收敛的例子引出，高次插值并不是好的，因此需要低次插值。分段线性插值收敛，但插值函数不可微（不光滑）；分段三次hermite插值可微，但某些点不存在二阶导数，所以要引进三次样条插值。掌握三次样条插值的概念，满足什么条件的插值函数是三次样条插值。1.6、函数逼近与数据拟合 本节的重点是正交多项式，介绍两个重要的正交多项式chebyshev (切比雪夫)多项式和legendre (勒让德)多项式。会构造简单的正交多项式（如利用定义构造一个二阶的正交多项式）。函数的最佳平方逼近需要知道最佳平方逼近的概念及计算，以及用正交函数作最佳平方逼近。会用最小二乘方法作数据拟合，如线性拟合，或化为线性拟合，及会用正交函数作最小二乘不作要求。1.7、数值积分掌握newton-cotes求积公式的基本概念。会计算代数精确度（如何计算某求积公式的代数精确度）。课上详细推导梯形求积公式和simpson求积公式，其他公式不用推导。从计算稳定性问题出发，引出高阶公式不好的概念（只要讲清理念就行，这里不会有习题），所以需要复化公式。在复化求积公式学习中会用复化梯形公式和复化simpson公式计算积分，会用复化梯形公式和复化simpson公式余项来估计复化的次数。romberg求积公式是求积公式中最有效的公式，所以一定要介绍。但其计算复杂，计算比较费时（richardson (理查森)外推加速法不作为要求，只要让学生知道，romberg求积公式的合理性即可。简单介绍gauss求积公式，教师可根据学时情况选讲，也可以不讲（如果学时不够）。1.8、常微分方程的数值解重点是介绍euler方法、梯形公式和改进euler方法等三种方法，会作简单的计算。注意，这里有显式格式和隐式格式，这一点后面会用到。考试题可能会是一些简单的计算，或递推公式。了解runge-kutta（龙格-库塔）方法的基本思想，会用四阶runge-kutta法计算微分方程。变步长的runge-kutta法可能不讲。掌握收敛性和稳定性的概念。会计算某些计算公式的稳定区间，或判断是否为无条件稳定的。会讨论上述算法（显式、隐式）的优缺点（主要从收敛性和稳定性方面考虑）。2、数值分析课程的教材分析现代教学论认为，要实现教学最优化，就必须实现教学目标最优化和教学过程最优化。教材的分析和教法的研究，正是实现教学过程最优化的重要内容和手段。另外，教材分析是教师备课中一项重要的工作，是教师进行教学设计编写教案、制订教学计划的基础；是备好课、上好课和达到预期的教学目的的前提和关键，对顺利完成教学任务具有十分重要的意义。教材分析和教法研究的过程，既是教师教学工作的重要内容，又是教师进行教学研究的一种主要方法，这个过程能够充分体现教师的教学能力和创造性的劳动。所以，教材分析的过程，就是教师不断提高业务素质和加深对教育理论理解的过程，对提高教学质量，提高教师自身的素质都具有十分重要的意义3。教材分析总的要求是：要深入理解和钻研教学大纲，充分领会教材的编写意图，熟悉整个教材的基本内容，了解教材的各个部分在整个学科、篇、章或课时中所处的地位；具体分析教材的内容，包括教材的知识结构体系（能准确精练地写出教材的知识结构方框图）、教材的教学目的和要求、教材的特点、教材的重点、难点和关键。根据教学目的、内容和教学原则，按照教学大纲要求，结合学校和学生的实际情况，研究如何优化处理教材，如何突出重点、抓住关键、克服难点，明确教材中培养学生的能力因素，选择恰当的教学方法和教学手段，写出可行的教学方案，通过教材分析才能提高教学质量4。教材分析的目的，就是通过教材分析，进一步对不同类型教材进行示范分析，使师范院校学生明确教材分析的重要性和教材分析的依据、内容和方法，逐步培养他们分析、研究和处理教材的能力，提高教师的教学业务能力。教材分析的依据是教学大纲、教材和学生，同时还需要参阅必要的教学参考书。这里必须指出，尽管教材是大纲的具体化，是教和学的主要依据。但不能就教材分析教材，而应该站在教学大纲的高度去分析教材，研究教法。因此教材是根据教学大纲编写的，因此，钻研教学大纲、领会其实质，是进行教材分析的首要步骤。钻研教学大纲和教材，还应当用历史发展的观点去分析研究，才能结合大纲真正领会教材的编写意图，才能对教材的内容和编写特点，以及教材内容的处理方式有深入的认识。教师备课教课不能单纯从教材出发，停留于对教材的钻研，必须研究学生。对学生进行全面了解，包括学生学习的心理特点和思维障碍，了解学生原有的知识基础和已掌握的知识和技能的深广度，学生的学习目的、学习方法、兴趣爱好等。只有在认真钻研教学大纲、教材内容和深入了解学生的基础上，才能很好地去组织教材、选择恰当的教学方法，突出重点，克服难点，这个过程包括了教师对教材内容的自我意识、自我转化和创造性构思的过程。否则教材教法的分析和研究就可能无的放矢或流于形式。只有以教学大纲、教材和学生为依据，参考必要的教学资料，才能达到教材分析的目的，同时紧扣教材又不照本宣科，有的放矢地把教材内容用活讲活。3、数值分析课程的教学内容及实验报告分析3.1、预备知识分析 数学是研究数与形的科学。其中研究怎样利用手指、算盘、算尺、计算器、计算机等工具，来求出数学问题数值解答的学问，就是计算方法，或称计算数学。它是数学中最古老的部分，但只是在电子计算机出现以后，人们获得了高速度、自动化的计算工具，才为众多浩繁的数值问题的解决展现了光明的前景。从此，科学研究与工程设计的手段，发生了由模型试验向数值计算的巨大转变。在农业科学研究中，数值计算方法已经成为不可缺少的有力工具。我校开设数值计算方法课已有二十几年的历史，许多研究生通过学习，在毕业论文中引用了数值计算方法解决应用问题，提高了论文水平，也有许多在职教师和科研人员学习这门课程后，将数值方法引用到科研课题中，取得了较好的结果。本讲义旨在为农业院校高年级学生、研究生提供一本学习数值计算方法的入门工具。3.2、非线性方程的解法分析 非线性方程的解法主要有对分法、迭代法。区间二分法对函数要求低，计算简单；但收敛慢且对有偶数重根的情况不适合；对于牛顿迭代法，如果初始点选择的好，则收敛快，但由于每步都要计算函数值及其导函数值，程序常发生中断，且其迭代的敛散性与初始值的选择有很大关系；弦截法利用数值微分的思想，用均差代替导数，减少了计算量，但其收敛速度稍慢于牛顿法。通过实验，让学生熟悉线性方程组的求根的经典解法。掌握二分法、简单迭代法、和牛顿迭代法的算法思想。理解二分法、简单迭代法、牛顿迭代法、弦截法的mathematica程序，并能够采用不同的方法求出方程的根，并比较各个不同方法的优劣。例如：1、利用二分法及3种迭代法求方程12-3x+2cos(x)=0的解； 2、求非线性方程组在(1,0)的解。（1）作图找出根所在的区间（2）二分法（3）简单迭代法（4）牛顿迭代法（5）弦截法（6） 求非线性方程组的解3.3、线性方程组的数值解法分析求解方程组所采用的方法中：列主元高斯消元法主要三步骤：先是按列选主元，然后后消元，持续这两步骤将增广矩阵化为行阶梯矩阵，最后进行回代。 lu分解法是把系数矩阵分解为下三角矩阵l和上三角矩阵u,又对方程组中b项有与u相似的公式，即可对增广矩阵作lu分解，即可得等价方程组，而后进行回代即可得解。于雅克比迭代法是把方程组写与其同解的方程组形式，该同解方程组是把系数矩阵对角元中的变量（未知数）写到方程组左边。然后得到迭代公式，后就迭代求解直到满足精度为止。高斯-塞德尔迭代法其实与雅克比迭代法差不多唯一的差别是迭代公式上，它把前面方程已算得的变量带到后面方程中，其余未得的用前次的代替，而雅可比迭代法则都是有前次代替，具体原理是：（1）列主元高斯消元法： 。按列选主元。k-1次消元后，选第k列中的对角元以下绝对值最大的元素为该列主元即。( )。交换增广矩阵第t和k行，记住新的主对角元。用高斯消去法进行第k次消元。消元完成以后，进行回代求解。图1 列主元高斯消元法流程图分析：从流程图看2，3，4步骤为选主元，5，6步骤为消元过程。其次其中并无约束系数矩阵a需为方阵。（2）lu分解法：。根据非奇异矩阵a可分解为一个下三角矩阵l和一个上三角矩阵u乘积即a=lu。lu分解法式子为: 。由式与式比较可知把增广矩阵采用lu分解格式，即可得到与原方程同解的方程组。即ax=blux=b,由u为上三角矩阵，而后回代即可求出原方程的解。分析：从流程图中可看出1，2，3步骤为对增广矩阵进行lu分解，4步骤为进行回代求解。从1步骤中i,j的取值知系数矩阵需为方阵（3）雅克比迭代法：。雅克比迭代法基本思想与迭代法相同是一种逐次逼近的方法。首先给定一个较粗糙的初值，然后采用迭代公式，进行多次迭代，直到满足所要求的精度为止。迭代公式：。判断是否收敛：，分析：从流程图中看1步骤为选定初值，后面步骤为迭代部分。同时对系数矩阵没有明确约束，但从原理中知判断迭代格式收敛时矩阵一般为方阵。4高斯-塞德尔迭代法。 高斯-塞德尔迭代法基本思想同上雅克比迭代法。迭代公式： 。判断是否收敛：，分析：从流程图中看1步骤为选定初值，后面步骤为迭代部分。同时对系数矩阵没有明确约束，但从原理中知判断迭代格式收敛时矩阵一般为方阵。从程序，实验结果表1至表4，流程图及原理中知列主元高斯消元法具有较强的普适性，相对约束较少，但从流程图及原理上可知其计算量较大，而lu分解法虽然要求其系数矩阵为方阵但对求解相同系数矩阵不同的端向量上具有比列主元高斯消元法更大的优势。 。 对雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法都属于迭代法范畴，虽其约束多，须在一定条件下迭代格式才收敛，但其效率较高，计算结果满足精度要求。从计算结果看，雅克比迭代法对方程组中迭代收敛的方程组迭代法效率高于雅克比迭代法。从个迭代收敛的方程迭代过程图中也可看出。属于受敛的情况高斯塞德尔迭代法rho小于雅克比迭代法，可见对于方程组其迭代格式中rho（）越小者收敛速度越快。对于高斯赛德尔迭代法rho大于雅克比迭代法rho,由于其迭代格式发散应使用前结论的逆否命题可由图观察知其正确。3.4、插值与多项式逼近分析插值就是用给定的未知函数的若干函数值的点构造的近似函数，要求与在给定点的函数值相等，则称函数为插值函数。下面我们给出插值函数的一般定义：为定义在区间上的函数,为上n+1个互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数满足：则称为关于节点在上的插值函数，称点为插值节点。这样，对函数在区间上的各种计算，就用插值函数的计算取而代之。构造插值函数需要关心下列问题：插值函数是否存在？插值函数是否唯一？如何表示插值函数？如何估计被插函数与插值函数的误差？插值法常用的有：插值、插值、分段插值、三次样条插值。（1）插值对于插值函数，我们通常可以选择多种不同的函数类型，但由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，我们常选用代数多项式作为插值函数.首先我们来看这样一个问题：给定两个插值点其中怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值.下面先用待定系数法构造插值直线.设直线方程为将分别代入直线方程，得 , 当时,因所以方程组有解，且解唯一.这也表明，平面上两个点有且仅有一条直线通过，用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量大且不便向高阶推广，故这种构造方法不宜采用.当时，若用两点式表示这条直线，则有： 这种形式称为插值多项式. 记 称为插值基函数，计算的值,可知在插值多项式中，可将看作两条直线与的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位是平等的.如果我们给定三个插值点，其中互不相等，那么该怎样构造函数的二次（抛物线）插值多项式呢？仿照线性插值的插值，我们可设 为二次函数对来说，要求是它的零点，因此可设同理也有相应形式. 将分别代入，可得 有一般地，当给定n+1个互不相同的插值节点时，就可得出函数的n次插值多项式: 下面我们以定理的形式来给出插值多项式的误差估计.设在区间上有直到n+1阶导数，是上n+1个互异节点，满足的n次插值多项式，则对，有，其中，且依赖于（2）插值插值多项式的优点是格式整齐和规范，它的缺点是计算量大且没有承袭性，当需要增加插值节点时，不得不重新计算所有插值基函数，所以我们再来引进具有承袭性的插值多项式.先来介绍一下差商运算.一阶差商：函数值的差与自变量的差之比值，记为 而称为关于点的二阶差商.一般地，k阶差商为： 我们知道差商的值只与节点有关而于节点的顺序无关，所以有： 如果给定，其中互不相同，那么如何来构造n次插值多项式？由一阶差商的定义得类似地，由二阶差商至n阶差商的定义可得到下列方程组 解这个方程即得为不高于n次的多项式，可验证，称是过n+1个插值点的n阶插值多项式. 为插值多项式的误差.由插值多项式的唯一性知，拉格朗日插值多项式与插值多项式完全相同，只是表达形式不同，因此得到它们的误差也应完全相等，故当时，有 （3）、分段插值在构造插值多项式时，适当提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但不能因此认为插值多项式的次数越高越好，例如我们所熟悉的龙格现象就说明了这一点.既然增加插值节点并不能提高插值函数的逼近效果，那么采用分段插值的效果又如何呢？例如，当给定了n+1个点上的函数值后，若要计算点处函数值的近似值，可先选取两个节点与，使，然后在小区间上作线性插值，即得 这种分段低次插值叫分段线性插值.类似地，为求的近似值，也可选取距点最近的三个节点进行二次插值，即取 这种分段低次插值叫分段二次插值，为了保证是距点较近的三个节点，可通过下面方法确定: （4）、三次样条插值分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现等优点，但它只能保证各小段曲线在连接点上的连续性，却不能保持整条曲线的光滑性，对一些实际问题，不但要求一阶导数连续，而且要求二阶导数连续.为了克服上述缺点，我们考虑使用逐段表示成低次多项式的光滑函数作为的插值函数，这将是我们要介绍的样条插值函数.给定区间上个节点和这些点上的函数值，若函数满足：在每个子区间上是不高于三次的多项式在上连续满足插值条件，则称为函数关于节点的三次样条插值函数.要在每个子区间上构造三次多项式共需要个条件，由插值条件提供了个条件,用每个内点的关系建立条件 又得到了个条件，再附加两个边界条件，即可唯一确定样条函数了.设，由于在上为线性函数，故在上做的分段线性插值函数： 令，得到对积分两次有将代入可解出 在每个小区间上具有不同的表达式，但由于在整个区间上是二阶光滑的，故有 列出每一个关系式，再经计算得 其中由得到个未知数的个方程组，现补充两个边界条件，使方程组只有唯一解，下分三种情况讨论边界条件：给定的值（时称为自然边界条件）,此时阶方程组有个未知量，即给定的值，它们分别代入在中的表达式，得到另外两个方程： 于是需要解阶方程组 被插函数以为基本周期时，即，即（4），即此时化为个变量，个方程的方程组.通过分析这四种插值法各自的适用范围以及优劣性.插值法是一个古老而实用的数值方法，它为今后学习数值微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析奠定了基础.3.5、曲线拟合分析在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。曲线拟合(curve fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对(xi,yi)，i=1，2，3，m，其中各xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y=f(x)来反映量x与y之间的依赖关系。即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。 拟合方法论述有：最小二乘法、移动最小二乘法、nurbs三次曲线拟合。基于rbf的曲线拟合。最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次 该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：=对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。移动最小二乘法是在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数 从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。移动最小二乘法的拟合函数设拟合函数为f(x)在求解域内的n个节点pi(i=1、2、3、n)，则：f(x)=式中，(x)为待求系数；k(x）为线性基函数。一般令k(x)=1,x,yt，m=3；求解过程可以参照文献1，从而可求(x)，得到f(x)。移动最小二乘法的算法流程为（1）将区域进行分段。（2）对每个分段点进行循环：1）确定网格点的影响区域大小；2）确定包含在网格点的影响区域内的节点；3）计算型函数；4）计算网格点的节点值。（3）连接网格点形成拟合曲线。nurbs作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代图 形 学 的 基 础 ，因此nurbs 曲 线 拟 合 有 着 重 要 的 实 际 意 义。rbf（radial basis function），径向神经网络是以径向基函数（rbf）作为隐单元的“基”，构成隐含层空间，隐含层对输入矢量进行变换将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。这是一种数学分析方法，具有较快的收敛速度 强大的抗噪和修复能力。rbf神经网络结构图如图1所示。图1 rbf神经网络结构图各算法流程如下：最小二乘法通过建立二次函数进行拟合。建立拟合函数f(x)=ax2+bx+c，求所有数据点与二次曲线的距离和最小的二次曲线，得到a,b,c，从而得到二次曲线图像。移动最小二乘法的流程是：(1)nurbs曲线拟合：确定节点矢量，本文通过弦长累加来确定节点矢量。 在nurbs 曲线拟合时，设置最前4个节点矢量的值相同和最后4个节点矢量的值相同，那么拟合的曲线将通过给定型值点的第一个点和最后一个点.由于opengl有现成的nurbs曲线拟合函数，因此本文将借助vc进行编程，实现nurbs三次曲线拟合。(2)基于rbf曲线拟合流程：本文将采用高斯函数作为rbf函数的核函数。1）采用k- 均值法，确定聚类中心；2）按聚类中心分组；3）计算样本均值；4）重复2）、3），直到聚类中心不再变化；5）确定半径；6）调节输出层权。实例论证为了比较上述4种方法的优劣，本文采用1组数据，用4种方法进行拟合，然后比较拟合的情况，从而进行判断 如果型值点经比较后，在型值点变化微小的情况下，拟合的曲线将趋于平稳 ，就难以分出其优劣，因此在给定数据的时候（表1），特地给出一个奇异点（第3个点）通过对该表的数据点进行4种拟合方法来比较各种方法的优劣。表1 给定实验数据x12345678910y11.512.31.81.21.23.34.13.13.5采用不同的拟合方法对数据点进行拟合，得到的拟合曲线如图2所示。 (a) 最小二乘法拟合 (b) 移动最小二乘法拟合 (c) nurbs三次拟合 (d) 采用rbf拟合通过上述4个拟合的曲线可以得出：最小二乘法的精度最差。使用rbf进行曲线拟合的精度最高，但不易用数学表达方式去表达，而nurbs 曲线易用数学表达。能用数学方式去表达rbf拟合的曲线，将使rbf拟合方法更具发展空间。3.6、数值微分分析通常把偏微分方程分两类：所有变量都是空间变量的定态方程和包含对时间与空间微分的发展方程。我们已经看到了一些定态方程的例子，例如，泊松方程和双调和方程。典型的，这类方程描述行为依赖于某个变量最小化的物理现象，例如势能就是这样量。这类方程在力学和单行理论中无所不在，发展方程模拟随时间变化的系统，他们是描述波动现象，热动力学，扩散过程和人口动力学的重要工具。在偏微分方程理论中通常给出椭圆方程，抛物型方程和双曲型方程之间的区别，除了说明椭圆型方程是定态偏微分方程，而抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程是发展方程外，这里我们不希望研究这种形式体系，甚至也不给出必要的定义，这种区分的简单解释在于三类不同的方程具有不同的特征。发展偏微分放在某种意义上是常微分方程的扩展。常微分方程的确能看成没有空间变量的发展微分方程。下面将看到常微分方程发展偏微分在数值处理方面有许多相似之处，实际上，计算后者的最有效方法之一就是将它近似转化成一个常微分方程组。然而，这样相似是靠不住的，数值求解发展偏微分方程要在时间上和空间上离散，在一个成功的算法中这两个过程不是独立的。发展偏微分方程数值解析中的那些基本概念听起来很熟悉，但它们比第一章至第三章的对应概念更复杂更微妙。发展方程的第一个例子是扩散方程 ， 也是众所周知的热传导方程。函数附带两种“边条件”即一个是初始条件, 和边界条件 = (t), u(1,t)= (t) 像它的名字的含义一样，方程13.1模拟扩散热传导现象。方程13.1是最简单的扩散方程。它可以安一下几种方式推广增加空间变量，方程为 (13.4) 其中；1. 增加一个受迫项，得 (13.5)其中;2. 增加一个变量的扩散系统a，方程为 13.6其中是可微函数，并且对所有有3. 设x在r的任意区间内变化，最重要的特殊情况是cauchy问题，其中，代替边界条件13.3的是对所有平方可积，即 当然，我们可以把上述几种推广结合起来。我们从最基本的形式开始，随后将讨论不同的扩展，我们的目的是用有限查分逼近方程13.1，为此取整数d，并在 条形区域上给出一个矩形网络其中的近似值为.后者中n是上标，而不是幂，用这个几号可以很清楚的区分时间和空间，它是发展方程数值分析中的主旋律。分别用中心差分和向前差分二阶空间导数和一阶时间导数，即将它们代入方程13.1并乘以，得到欧拉方法其中比例 特别重要，被称为courant数为了进行递推过程13.7，利用初始条件13.2并设注意，当=1和=d时方法13.7的计算需要用到边界条件13.3中的边界值，即 和 方法13.7精度如何呢？根据我们对常微分方程数值格式中介的定义，令有 (13.8)假定x和t以保持不变的方式趋于0（后面会看到这个假设非常有意义！），因此，当，13.8变为我们称欧拉方法13.7是二阶的。 阶的概念在研究如何利用有限差分格式很好的模拟连续微分方程中是很重要的，但是像第二章的微分方程形式，我们主要关心的是收敛性，而不是阶。我们称方法13.7收敛，如果给点任意 则对所有 成立和以前一样，保持不变。3.7、数值积分分析（1） 牛顿柯特斯公式对求积节点作适当的限制和选择，可以简化问题的复杂性和提高公式的性能。设将积分区间a,b划分为n等分，步长h=(b-a)/n，选取等距节点x k=a+kh构造出的差值型求积公式 称为牛顿柯特斯公式，式中称为柯特斯系数。按（1.6）式，引进变换x=a+th，则有 , （其中）.（2） 复化梯形公式求积算法设将区间a,b分为n等分，分点在每个子区间xk,xk+1上采用梯形公式，则得 记 称为复化梯形公式。（3） 龙贝格积分法对于定积分，把区间 a,b 两分0次（即等分20次）用梯形公式求得的值记为t(1,1),把a,b区间两分1次（即等分21次），用复化梯形公式求得的值记为t（2,1），一般的，把a,b区间两分k次（即等分2k次），用复化梯形公式求得的值记为t（k+1,1），将这些值用外推公式 (k=1,2,m=2,3, k+1)进行线性组合，可获得更高精度的加速值t(k,k),数学上也已经证明这就是著名的龙贝格积分法。（3）：实验问题及方法、步骤 1、（1）用牛顿柯特斯公式计算的近似值in(n=1,2,，8)；（2）根据计算结果说明在n=8的情况下，其计算结果不准确。 编程思想：1、为被积函数创建函数文件f.m，其代码如下； function y=f(x) y=1/(1+x2); 2、 用8行9列矩阵cotes存放牛顿柯特斯系数表，用0表示空格。3、 为使系统具有一般性，用a、b分别表示积分区间的左右端点。这里a=-3,b=3.用n表示牛顿柯特斯公式的阶数,这里n=1,2,8 .4、牛顿柯特斯公式的计算算法如下： （1） 对于n-1,2,8 ,做以下操作：s0,h(b-a)/n.（2） 对于k=1,2,n+1,做以