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第第 6 6 讲讲 杂题选讲杂题选讲 1. （08 年试题）10 个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天 平平衡，这堆砝码总重量最少为_克。 2. 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密。若按照“叠 3 加 1 取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”。若某个四位明码 按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是_ . 3. （第 4 届试题）甲、乙、丙、丁四位探险者去楼兰古城。每人准备了 5 天的 饮食。但这样不够到达楼兰，再返回原地的需要。他们商议后想出一种方案， 可以使一人恰好到达楼兰，而且四人都能安全返回。从出发地到楼兰单程要 走 天. 4.（10 年试题）一群酒鬼聚在一起饮酒，要比一比酒量。先上 1 瓶各人平分， 这酒厉害，喝完后立马倒了几个。于是再来 1 瓶，余下的人平分，结果又有 几个人倒下。现在能坚持的人很少，但一定要决出胜负，不得已又来 1 瓶， 还是平分， 结果全倒了。 只听见最后倒下的醉鬼中有人喊： “我正好喝了 1 瓶。 ” 这句话符合实际情况，一共有_ _个醉鬼. 5.（第 4 届试题）有 10 根长度不等的木条，每根长度都是整数，最短的为 1， 最长的 89。现在想用其中的 3 根拼成一个三角形木架，但是不管怎样都不能 拼成。这 10 根木条中第二长的木条长 . 巩固训练巩固训练 1、有 4 袋糖块，其中任意 3 袋的总和都超过 60 块那么这 4 袋糖块的总和最 少有多少块? 2、有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子， 或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆 开始时， 第一堆有 1989 块石子，第二堆有 989 块石子，第三堆有 89 块石子问能否 做到： (1)某 2 堆石子全部取光? (2)3 堆中的所有石子都被取走? 3、房间里有 12 个人，其中有些人总说假话，其余的人说真话其中一个人说： “这里没有一个老实人 ”第二个人说： “这里至多有一个老实人 ”第三个人说： “这里至多有两个老实人”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有 11 个 老实人”问房间里究竟有多少个老实人? 4、设有 25 个标号筹码，其中每个筹码都标有从 1 到 49 中的一个不同的奇数， 两个人轮流选取筹码当一个人选取了标号为x的筹码时，另一个人必须选 取标号为99x的最大奇因数的筹码如果第一个被选取的筹码的编号为 5， 那么当游戏结束时还剩 个筹码 5、用 10 尺长的竹竿做原材料，来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 答答 案案 例题答案例题答案 1.1. 1023 2. 2. 2009 3.3. 4 天. 4.4. 6 人 5.5. 2 巩固训练巩固训练答案答案 1 1、 【解】解】 方法一方法一：设这 4 袋为 a、b、c、d，为使 4 袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽 量平均，有 a、b、c 袋糖有 20、20、21 块糖 则当 a、b、d 三袋糖在一起时，为了满足条件，d 袋糖不少于 21 块， 验证 a、b、c、d 这 4 袋糖依次有 20，20，2l，2l 时满足条件，且 总和最少 这 4 袋糖的总和为 20+20+21+21=82 块 方法二方法二：设这 4 袋糖依次有 a、b、c、d 块糖， 有 61 61 61 61 abc abd acd bcd ，+得：3（a+b+c+d）244,所以 a+b+c+d81 1 3 ,因为 a+b+c+d 均是整数， 所以 a+b+c+d 的和最小是 82 2 2、 【解】解】 (1)可以，如(1989，989，89) (1900，900，0)(950，900，950) (50，0，50)(25，25，50)(o，0，25) (2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半 移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少 3 的倍数，要么不变 现在共有 1989+989+89=3067，不是 3 的倍数，所以不能将 3 堆中所有 石子都取走 3 3、 【解】解】 方法一：假设这房间里没有老实人，那么第 1 个人的话正确，说正确话的人应该 是老实人，矛盾； 假设这房间里只有 1 个老实人，那么第 212 个人的话都正确，那么 应该有 11 个老实人，矛盾； 假设这房间里只有 2 个老实人，那么第 312 个人的话都正确，那么 应该有 lo 个老实人，矛盾； 假设这房间里只有 3 个老实人，那么第 412 个人的话都正确，那么 应该有 9 个老实人，矛盾； 假设这房间里只有 4 个老实人，那么第 512 个人的话都正确，那么 应该有 8 个老实人，矛盾； 假设这房间里只有 5 个老实人，那么第 612 个人的话都正确，那么 应该有 7 个老实人，矛盾； 假设这房间里只有 6 个老实人，那么第 712 个人的话都正确，那么 应该有 6 个老实人，满足； 以下假设有 712 个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有 6 个老实 人 方法二： 如果一共有 n 个老实人， 则说“至多 0 个老实人”、 “至多 1 个老实人” “至多 n 一 1 老实人”的都是骗子； 说“至多 n 个老实人”、 “至多 n+1 个老实人”“至多 11 个老实人”的都 是老实人，共有 n 个老实人、n 骗子，而一共 12 个人，所以 n=6 综上所述，一共 6 个老实人 4 4、 【解】解】 若 x 99x 5 47 47 13 13 43 43 7 7 23 23 19 19 5 当一个人拿到 19 时，下一个人就要拿 5 了，故游戏结束，拿了 7 个剩 25718(个) 5 5、 【解】、 【解】 分析 不难想到有三种截法省料： 截法 1：截成 3 尺、3 尺、4 尺三段，无残料； 截法 2：截成 3 尺、3 尺、3 尺三段，残料 1 尺； 截法 3：截成 4 尺、4 尺两段，残料 2 尺。 由于截法 1