初中数学一道中考题的拓展与探究.ppt

借题发挥 一道中考题的拓展与探究 题目：如图1，边长为1的正方形被两条与边平行的线 段分割成四个小矩形，ef与gh交于点p （1）若ag=ae， 证明:af=ah； （2）若fah=450，证明:ag+ae =fh： （3）若rtgbf的周长为1，求矩形ephd的面积 (2009广东省广州市中考数学试卷第24题) 解： (2)将adh绕点a顺时针旋转90度，易证 afhafm,得fh=mb+bf,即：fh=ag+ae (3)设pe=x,ph=y,易得bg=1-x,bf=1-y,fg=x+y-1, 由勾股定理，得 （1-x）2+（1-y）2=( x+y-1)2, 化简得xy=0.5, 所以矩形ephd的面积为0.5 弱化条件，探究结论 探究：若将条件放宽减弱，如图2，在四边 形abcd中，ab=ad，b=d=90， fah=12bad，那么结论bf+hd=fh是否 仍然成立？ 如图3保留条件“在四边形abcd，ab=ad， fah=12bad”。把“b=d=90”替换 成“b+d=180”，此时结论bf+hd=fh还 成立吗？ 条件不变，探究结论 若fah=450时， 证明：设pe=x,ph=y dh+bf=fh,fh=x+a-y c=900，所以fc2+hc2=fh2 （x+a-y）2=y2+（a-x）2 整理，得xy=2ax-ay s矩形pfch=（a-x）y=ay-xy=2ay-2ax=2a（y-x） s矩形agpe = （a-y）x=ax-xy=ay-ax=a（y-x） s矩形pfch = 2s矩形agpe 则s矩形pfch=2s矩形agpe 逆向思维，横向拓展 探究： (1)若ag+ae =fh,证明: fah=450 (2)若s矩形pfch=2s矩形agpe， 则fah=450 条件与结论互换 探究：把正方形abcd改为矩形abcd中，四边形 agpe为正方形，且fah=450时，那么s矩形 pfch=2s矩形agpe还成立吗？ 证明：如图，连结ap 则fah= apg=450 ， pah+ahp= paf+pah=450 ahp= paf aph= apf=1350 aphfpa， ph:ap=ap:pf s矩形pfch=21 =2s矩形agpe 逆向思维，纵向拓展 从特殊到一般拓展 探究：若正方形abcd的边长为a，bgf的周长也 为a，则s矩形phde= a 。 证明：连结,， 设则gf=a-x-y de=a-x,dh=a-y,在rt gbf中， 因为b=900 bf2+gb2=gf2,所以x2+y2=(a-x-y)2 ax+ay-xy=12a2 s矩形phde=(a-x)(a-y)=a2-(ax+ay-xy)=12a2 命题：在矩形abcd中，若四边形agpe 为正方形，且fah=450时，那么s矩形 pfch=2s矩形agpe。 正方形abcd的边长为a，点e.f分别在bc,dc边 延长线上，fae=45 0 （1）若ce=cf，证明：ae=af scef=a2 （2）让fae绕点a旋转一定角度,使cecf时， 则 cef的面积是否发生改变如不改变，请证明；