随机误差的统计特性及其估算方法.ppt

2.2 测量误差的分类 2.2.1 误差的来源 仪器误差 影响误差 方法误差和理论误差 人身误差 2.2.2 测量误差的分类 据误差性质分：系统误差、随机误差 和疏失误差三类。 1 系统误差 系统误差的定义：在相同条件下多次测量同一量时， 误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确 定规律而变化的误差称为系统误差。 恒值系统误差：不随某些测量条件而变化的系统误差 。 造成系统误差的原因很多，常见的有：测量设备原因 （测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放 置和使用不当等）；测量环境原因（温度、湿度、电源电 压变化、周围电磁场的影响等）；测量方法原因；测量人 员的原因（感觉器官不完善、生理上的最小分辨能力限制 、不正确的测量习惯等）。 2 电流表 电压表 电流表 电压表 (A) R R (B) 图2-2 测量电阻中的电压和电流时存在的方法误差 方法误差举例 3 随机误差（偶然误差） 随机误差的定义：在实际相同条件下多次测量同一量 时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差 称为随机误差。 造成随机误差的根源：由那些对测量值影响较微小， 又互不相关的多种因素共同造成。如热骚动、噪声干扰、 电磁场的微变、空气扰动、大地微振等。 随机误差的特点：1. 有界性（多次测量中，随机误差 的绝对值不会超过一定的界限）；2. 对称性（绝对值相等 的正负误差出现的机会相同）；3. 抵偿性（随机误差的算 术平均值随着测量次数n的无限增加而趋近于零）。 4 粗大误差（疏失误差） 粗大误差的定义：超出在规定条件下预期的误差称为 粗大误差，又称寄生误差。 造成粗大误差的主要原因：（1）主观原因：读数错误 、测量方法错误；（2）客观原因：测量条件突然变化。 粗大误差明显地歪曲了测量结果，对应的测量结果称 为坏值，应剔除不用。 5 2.2.3 测量结果的评定 通常用准确度、精密度和精确度来评 定测量结果。 1、 准确度：是指测量值与真值的接近程度 。它反映系统误差的影响。 2、精密度：是指测量值重复一致的程度。 它反映随机误差的影响。 3、精确度：它反映系统误差和随机误差综 合的影响程度。精确度高，说明准确度和 精密度都高，意味着系统误差和随机误差 都小。 6 2.3 随机误差的统计特性及其估算方法 2.3.1 测量值的数学期望与标准差 1、 等精密度测量：在相同条件下，用相同的仪器和 方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量 ，称为等精密度测量。 2、数学期望 设对某一被测量x进行测量次数为n的等精密度测 量，得到的测量值xi（i=1，2，n）为随机变量。 其算术平均值为 x = xi n 1 i=1 n 也称样本平均值 7 当测量次数 n 时，样本平均值 x 的极限 称为测量值的数学期望 Ex = lim xi n 1 i=1 n n 也称总体平均值 3、算术平均值原理 （1）算术平均值的意义 由随机误差的抵偿性可知，当测量次数为无穷多 时，随机误差的算术平均值 i 将趋于0，即 = lim i n 1 i=1 n n =0 8 对于有限次测量，当测量次数足够多时可近似认 为 = i n 1 i=1 n 0 可见，当不存在系统误差且无粗大误差时，测量 值的数学期望可视为被测量的相对真值。 换言之，在仅有随机误差的情况下，当测量次数 足够多时，测量值的平均值接近于真值。 因此，经多次等精密度测量的算术平均值称为真 值的最佳估计值，写为 A0= x =Ex 9 （2）剩余误差 各次测量值与其算术平均值之差，称为剩余误差 （又称残差）。 ui = xi x 对剩余误差求和，有 ui = xi n x = n x n x = 0 i=1 n i=1 n 即当n足够大时剩余误差的代数和为0。利用这一性 质可以检验所计算的算术平均值是否正确。 10 结论： 1. 对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测 量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的 系统误差。 2. 系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不 存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。 3. 某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的 数学期望之差。即随机误差使测量值偏离数学期望。 下面用图来表示测量误差对测量结果的影响 11 x Ex =A0 i x i 不存在系统误差时 x A0 i x i Ex 存在随机误差和系统误差时 x x0 i x iEx x k（坏值） 三种误差同时存在时 测量误差对测量结果的影响 i = xi Ex = Ex A0 12 4、方差与标准差 方差定义：当测量次数n 时测量值与数学期望 值之差的平方的统计平均值，称为方差。它表示测量数据的 分散程度。 2 = ( xi Ex )2 n 1 i=1 n 因为i = xi Ex，可得标准差 = i 2 n 1 i=1 n 显然，标准差对较大的误差反映灵敏，是表征精密 度的参数， 大表示测量值分散。 13 5、算术平均值的标准差 当对测量的精密度要求很高时，可采用多组测量 的方法。即在相同条件下对同一个量值作m组划分， 每组重复n次测量，每一组数据列都有一个平均值。由 于随机误差的存在，各算术平均值并不相同，围绕真 值有一定的分散性，即算术平均值还存在误差。这时 可用算术平均值的标准差 x来评定。 容易得到： x = n 14 2.3.3 均匀分布情况下的标准差 1、均匀分布的概率密度 在测量中，均匀分布是仅次于正态分布的一种重 要分布。均匀分布的概率密度曲线如图所示。 (x) x 0 Ex K ab 均匀分布的概率密度 (x)= K a x b 0 xb 均匀分布范围在ab之间，设 K dx=1 则 K=1/(a-b) a b 15 2、均匀分布的数学期望与方差 Ex = (a+b)2 2 = (b a)212 = (b a) 12 16 例：用一只150的电压表进行测量，示值为Vx=100V ，仪表的分辨力为1V，求Ex及 的值。 解：据题意，示值可认为在99101V之间均匀分布 ，因而a=99V，b=101V，故有 Ex = (a+b)2= 100（V） = (b a) 12 0.58 （V） 17 2.3.4 非等精密度测量 1、权的概念 各次（或组）的测量值可靠程度不同的测量，称为 非等精密度测量。 在非等精密度测量中，可靠程度大的测量结果在最 后测量报告中占的比重应大一些，可靠程度小的占的 比重小些。表示这种可靠程度的量称为“权”，记做W 。 在多组测量过程中，如果系统误差为0，则权的定义 Wi= i=1，2，m 2x i k 常数 18 例：对于电压有三组不等精密度测量值的算术平 均值 x1=20.5V，x2=20.1V，x3=20.3V，又知x 1=0.05 ， x 2=0.20 ， x3=0.10 则 W1 : W2 : W3= ： ： =16:1:4 111 0.0520.2020.102 2、加权平均值 加权平均是将非等精密度测量等效为等精密度测 量，从而求出非等精密度测量的估计值的方法。也就 是将每个权为Wi的测量值xi （或一组测量值的算术平 均值xi ）看成Wi次等精密度测量的平均值。 考虑各组数据加权后的平均值，称为加权平均值 。 19 xW