矢量分析与场论.ppt

电磁场 郑州大学电气工程学院 李景丽 QQ：276999092 Email： 办公室：电气1334 一、电磁学的重要性 1.法拉第和麦克斯韦建立的电磁场理论是19世纪物理学最伟大 的成就；电磁学基本规律的广泛应用和近代发展对技术进步和 人类文明产生了不可磨灭的深远影响。 电气工程领域：能量的转换、传输、分配和利用，旋转电机、变压器、输电线路与 电缆、电容器、电抗器、开关设备、互感器等。 电子工程领域：信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、天线、雷达、卫星、 光纤、遥感、遥测、遥控等。 其他工程领域：电磁兼容、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮、超导等。 绪论 电磁场理论：提供了解决所有电气工程与电子工程问题的根本计算方法和 理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电路理论解决的电磁问题等。 2.电磁场理论是电气工程与电子工程学科的基础课程。 电路理论：提供了计算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论 。 二、课课程的特色与学习习方法建议议 课课程学时时：32学时。 课课程的特色：体系完整、逻辑性强、内容抽象。 教材的特色：电气工程与电子工程相结合、理论与工程的结 合，突出理论应用、提高学习兴趣。 建议参考教材:工程电磁场原理 倪光正 高等教育出版社。 学习习方法建议议：注重物理概念，强调数学方法，培养抽象思 维能力，通过例题和习题充分理解电磁场理论。 3.电磁场理论是理解、发现和实现一切与电磁现象与电磁效应 相关技术必不可少的知识本源。 绪论 电 磁 场 矢量与场论基础 正交坐标系 矢量运算 标量场与矢量场 1、直角坐标系：x y z 单位向量： ex，ey，ez 元长度：dl = exdx + eydy + ezdz 元面积：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy 元体积：dV = dxdydz 0.1 正交坐标系 2、圆柱坐标 f z 单位向量： e，ef，ez 元长度：dl = ed + efdf + ezdz 元面积：dS = edfdz + efddz + ezddf 元体积：dV = ddfdz 3、球坐标 r f q 单位向量： er，eq，ef 元长度：dl = erdr + eq rdq + ef r sinqdf 元面积：dS = err2sinqdfdq + eq rsinqdrdf + ef rdrdq 元体积：dV = r2sinqdqdfdr 1、标量 仅用一个数值(变量)就可以描述的物理量，如电压、电荷、电流、 高度、距离等 V(x,y,z,t)、Q(x,y,z)、I(t)、H、L 3、矢量运算 点乘（数量积） ： 2、矢量 需要用二个数值(变量)描述的物理量，如电场强度、速度、电流密度、位置等 在圆柱坐标系中 在球坐标系中 直角坐标系中的矢量表达式 0.2、矢量运算 其中ex、ey、ez分别是x、y、z 轴上的单位矢量，其长度为一，方向分别与x、y、 z 轴的方向相同。 矢量点积的坐标表达式： 这种表达式是教材中经常要用到的。 叉乘（矢量积） ： 哈密顿算符： 直角坐标系中 ： 圆柱坐标系中 球坐标系中 矢量积的坐标表达式： 这种表达式也是教材中经常要用到的。 其他运算公式 0.3 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 形象描绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线 标量场-等值线(面). 其方程为 其方程为 三维场 在直角坐标下: 二维场 图0.1.2 矢量线 图0.1.1 等值线 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 0.4 标量场的梯度 一. 梯度 当 ,即 与 方向一致时, 为最大. 梯度(gradient) 则有: 式中 ， ， ，分别是P点方向l与x,y,z轴的夹角 式中 称为哈密顿算子 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方向 导数为: 例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数； 二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; 图0.2.1 三维高度场的梯度 图0.2.2 电位场的梯度 0.5 矢量场的通量与散度 一、矢量场的通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源) 图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据 净通量的大小判断闭合面中源的性质: 二、矢量场的散度 如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积 之比的极限存在，即 由奥斯特罗格拉特斯基公式： 散度(divergence) 定义： 所以通量可以看作是体积V内散度的体积分： （高斯散度定理 ） 三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场 中处处 A=0，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； A= 0 (无源 ） A= 0 (负源) A= 0 (正源) 四、高斯公式(散度定理) 高斯公式 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。 图0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 体积分后，为穿 出闭合面S的通量 0.6 矢量场的环量与旋度 一、矢量场环量 该环量表示绕线旋转趋势的大小。 水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动 流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分 环量 例：流速场 图0.4.2 流速场 图0.4.1 环量的计算 二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设 则环量可写成： 由斯托克斯公式： 和直角坐标下矢量积的定义： 则环量可写成： 空间中有向曲面的定义 ： 1. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为使得环量密度 取最大值时曲面元S的方向。 称为旋度(curl) 它与环量密度的关系为 定义矢量： 2. 环量密度 过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向 成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限 其中rotnA表示rotA在S的法线方向en上的投影，取不同的路径时，其环量密度也不同。 称为环量密度 旋度与环量的关系： 三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 四、斯托克斯(Stockes)定理 AdSi 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环 量。因此，其面积分后，环量为 Stockes定理 在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。 矢量函数的线积分与面积分的互换 。 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。 图 0.4.3 斯托克斯定理 0.7 亥姆霍茨定理 亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 已知 矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件 在电磁场中 电荷密度 电流密度J 场域边界条件 （矢量A唯一地确定） 例：判断矢量场的性质 =0 =0 =0 0 0=0 0.8 三种特殊形式的场 1.平行平面场：如果在垂直于某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布 都相同，即